Mouvement dans un champ newtonien.

Exercices Physique. MPSI 1.
Mouvement dans un champ
newtonien.
1. Mouvement hyperbolique d'un satellite artificiel.
Un satellite artificiel A, de masse m = 2000 kg, est placé sur une orbite circulaire d'attente, de rayon
ro = R + h autour de la Terre (h = 180 km). Lorsque le satellite atteint un point M de cette trajectoire, on
lui communique un excédent de vitesse. La nouvelle vitesse v1 est tangente à l'orbite circulaire et vaut
14 km/s.
1. Exprimer, en fonction de ro, K (constante de la gravitation) la valeur vo de la vitesse lorsque le
satellite est sur son orbite d'attente. Calculer numériquement vo ainsi que l’énergie mécanique.
2. Montrer que la nouvelle trajectoire est contenue dans un plan que l'on déterminera et calculer la
nouvelle valeur de l'énergie.
3. Etablir que l'équation de la trajectoire s'écrit dans ce plan : r = p/(1 + e cos), e et p étant deux
constantes dont on donnera la signification, r la coordonnée radiale et  l'angle que fait le rayon
vecteur avec le rayon vecteur initial.
4. Exprimer p en fonction du moment cinétique et calculer sa valeur. En déduire e.
Données :
Rayon de la Terre :
R = 6400 km ;
Masse de la Terre :
M = 6.1024 kg ;
Constante de la gravitation : G = 6,67.10-11SI.
2. Mouvements de comètes.
Dans ce problème on étudie le mouvement de la Terre ou de comètes attirées par le Soleil, supposé avoir
une masse très grande par rapport à celle des objets étudiés. Le repère associé au Soleil est supposé
galiléen. L’énergie potentielle est prise égale à zéro quand la distance entre les objets cosmiques
concernés tend vers l’infini. On donne:
G = 6, 67.10-11 S.I constante de la gravitation universelle
Mo = 2,0.10.30 kg
masse du Soleil
Ro = 150.106 km
rayon de l’orbite terrestre supposée circulaire
To = 1 an
période de rotation de la terre autour du Soleil
1.
Exprimer la vitesse Vo de la Terre par rapport au repère galiléen associé au Soleil en fonction de
G, Mo et Ro.
2. Exprimer en fonction de G, Mo, Ro et m (masse de la Terre) l’énergie cinétique, l’énergie totale,
le moment cinétique de la terre par rapport au Soleil, et la période To. A quoi correspond la
dernière de ces relations?
Une comète dont la trajectoire est coplanaire à l’orbite terrestre a une masse mC. Son périhélie (point de
passage le plus proche du Soleil) se trouve à la distance Ro / 2 du centre du soleil, la vitesse en ce point
étant 2Vo.
3. Calculer l’énergie totale de la comète et en déduire la nature de la conique qu’elle décrit.
4. Exprimer la vitesse de la comète en fonction de sa distance au centre du Soleil.
5. Déterminer l’équation polaire de la trajectoire de la comète : l’axe polaire sera choisi confondu
avec l’axe focal, et orienté de façon qu’au cours du mouvement  soit une fonction croissante.
Faire un schéma.
6. L’orbite de la Terre coupe celle de la comète en deux points A et B. Montrer que AB est un
diamètre de l’orbite terrestre.
On étudie maintenant la comète de Halley dont l’orbite n’est pas dans le plan de l’orbite terrestre Le
périhélie de la comète de Halley se trouve à la distance 0,6 Ro du centre du Soleil ; sa période est T = 76
années terrestres.
7.
8.
Quelle est la nature de la conique décrite par la comète de Halley? Donner l’expression de son
équation polaire, l’axe polaire étant confondu avec l’axe focal Faire un schéma.
Calculer l’excentricité e et le paramètre p de la comète.
3. Chute d’un météorite.
Un météorite, de masse m, a, très loin de la Terre, une vitesse vo de module vo portée par une droite 
située à une distance b du centre O de la Terre. On suppose que le météorite est soumis uniquement au
champ gravitationnel terrestre et qu’il n’y a jamais de forces de frottement. Soit A le point de la
trajectoire tel que la distance Terre-météorite soit minimale. On note OA = d. On supposera que la Terre
reste immobile dans un référentiel galiléen.
On veut déterminer à partir de quelle valeur de b le météorite s’écrasera sur la Terre. On notera G la
constante de gravitation, M la masse de la Terre, supposée sphérique, homogène, de masse volumique  ,
de rayon R.
1. Donner l’expression de la force de gravitation en un point P de la trajectoire tel que OP  ru r .
Calculer l’énergie potentielle Ep(r) du météorite en ce point.
On prendra Ep( ) = 0.
2. Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du mouvement? On donnera une
justification. En déduire que la trajectoire est plane.
3. Donner l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Montrer qu'en A, point de la trajectoire
le plus proche de O, la vitesse v1 (de norme v1 ) est orthogonale à OA.
4. En explicitant la question 2), trouver deux relations liant b, d, G, M, vo, v1.
5. En déduire l'expression de d en fonction de G, M, b, vo.
6. Soit R le rayon de la Terre. Quelle condition doit satisfaire b pour que le météorite de vitesse
initiale vo rencontre la Terre ?
4. Expérience de Rutherford.
On considère un noyau de masse mN et de charge Ze, immobile en un point O d’un référentiel galiléen
que l’on prend comme origine du repère d’étude. Une particule  de masse m et de charge 2e est émise
par une source de radium éloignée du noyau. La vitesse d’émission est vo et le paramètre d’impact b
(distance du noyau à la trajectoire initiale de la particule ).
1. Montrer que le mouvement de la particule  se fait dans un plan que l’on déterminera (ce plan
sera considéré comme horizontal).
2. Exprimer la constante des aires de deux manières différentes.
3. Montrer que la trajectoire est une conique.
4. Ecrire la conservation de l’énergie mécanique totale du système pour deux positions de la
particule, l’une située avant la zone d’interaction, l’autre après.
Que peut-on en déduire pour la vitesse ?
5. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique en projection sur l’axe Oy, intégrer l’équation
obtenue et en déduire l’angle de diffusion  .