Problème 1 : Masse pesante suspendue à un ressort (10 points)

L1 PC et IM 20082009
UEL SME 20082009
UFR-Sciences de Luminy
Centre d'Océanologie de Marseille
Examen PHY1 Session 1
Département de Physique
DYNAMIQUE DES SYSTEMES PHY1
Examen du 7 janvier 2009
Documents non autorisés Calculatrice non autorisée
Problème 1 : Masse pesante suspendue à un ressort (10 points)
Considérons un objet de masse m suspendu à un ressort, soumis à la force de rappel
F~r = −kz~ez et à la force de gravitation F~g = −mg~ez , où k > 0 est la constante de rappel
et g > 0 la constante de gravitation. La position verticale de la masse est repérée par
l'altitude z et sa vitesse est dénotée v .
1. Etablir l'équation du mouvement. Montrer que l'on obtient une équation diérentielle de la forme z̈(t) + ω 2 z(t) = −g , où t désigne le temps et ω une constante
positive que l'on déterminera en fonction de k et m.
2. Résoudre cette équation diérentielle en prenant comme conditions initiales :
z(t = 0) = 0
v(t = 0) = 0
Quelle est la période d'oscillation T du mouvement obtenu ?
3. L'altitude z(t) oscille entre une valeur minimale zmin et une valeur maximale zmax .
Déterminer zmin et zmax en fonction de m, g et k .
4. Calculer le travail de la force totale F~ = F~r + F~g entre les points d'altitudes zmin et
zmax . Comment interprétez-vous le résultat obtenu ?
Questions indépendantes des précédentes :
5. Déterminez le potentiel V (z) dont dérive la force totale F~ = F~r + F~g avec comme
condition V (z = 0) = 0.
6. Trouver l'altitude z0 pour laquelle la valeur de V (z) est extrémale, calculer V0 =
V (z = z0 ) et tracer l'allure de la courbe V (z). L'altitude z0 est-elle une position
d'équilibre stable ?
7. Donner l'expression de l'énergie totale en fonction de z et de v . Que vaut l'énergie
totale au temps t = 0, sachant que z(t = 0) = 0 et v(t = 0) = 0 ?
−→ TSVP
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Problème 2 : Terre et comète (10 points)
1. On considère le soleil comme un astre à symétrie sphérique dont le centre O est pris
comme origine d'un référentiel galiléen R. On étudie dans ce référentiel le mouvement
d'un point matériel M de masse m. On notera MS la masse du soleil, G la constante
−−→
de gravitation et OM = ~r = re~r la position du point matériel M dans le référentiel
R à un instant donné (r est la norme du vecteur ~r). Ce point M est soumis à la force
→
−
de gravitation due au soleil dont l'expression est : F = − GMr2S m e~r .
~ du point M par rapport à O en
Donner l'expression du moment angulaire L
~ est constant au cours
fonction de ~r, de la vitesse ~v de M et de m. Montrer que L
du mouvement. En déduire que la trajectoire du point M est plane.
Dans le plan de la trajectoire on repère M par ses coordonnées polaires r et θ.
Montrer que la quantité C = r2 θ̇ est une constante du mouvement.
2. On considère que la trajectoire de la terre autour du soleil est un cercle de centre O
et de rayon R.
Montrer que le mouvement de la terre est un mouvement circulaire uniforme.
Déterminer la vitesse (notée v0 = ||~v || dans la suite) de M sur la trajectoire et
son accélération. En écrivant le principe fondamental de la dynamique donner
l'expression de sa période de révolution.
Ecrire le produit GMS en fonction de v0 et R.
3. On peut montrer que la trajectoire la plus générale de M est une conique de foyer
p
avec p ≥ 0.
O et d'équation : r = 1+ecos(θ)
Rappeler la dénition du périhélie que l'on notera rP dans la suite.
Une comète dont la trajectoire est coplanaire à l'orbite terrestre a une masse m.
Son périhélie se trouve à la distance rP = R2 du soleil et la vitesse de la comète
en ce point est égale à 2v0 . Calculer l'énergie totale de la comète. En déduire la
nature de sa trajectoire.
N.B. On rappelle les expressions de la vitesse ~v et de l'accélération ~a en
coordonnées polaires :
~v = ṙe~r + rθ̇e~θ
~a = (r̈ − rθ̇2 )~
er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)e~θ
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