Licence STA - UE Électrostatique-Électrocinétique - S2 groupe PC11 16 mars 2011 Devoir surveillé d’électrostatique 2010-2011 N◦ 1 Durée 2 heures Tous documents, calculatrices et téléphones portables interdits Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre. Les réponses seront systématiquement justifiées. Valeurs numériques fournies ε0 = 8, 8.10−12 F/m, K = 1 4πε0 = 9.109 SI, sin( π6 ) = 12 , cos( π6 ) = √ 3 2 , sin( π3 ) = √ 3 2 , cos( π3 ) = 12 . Exercice 1 (8 points) Trois charges ponctuelles sont placées au sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Le centre de gravité G de ce triangle se trouve à égale distance GA = GB = GC = √a3 des trois sommets. √ On donne q = 10−12 C et a = 3 3 cm. a A B G C 1. On se place tout d’abord dans le cas où qA = qB = q > 0 et qC = −q/2 < 0. Donner l’expression du potentiel électrostatique VG au point G et calculer sa valeur. 2. Calculer le champ électrostatique ~EG en G, en précisant bien à la fois sa norme et sa direction. 3. On suppose maintenant que les trois charges sont égales qA = qB = qC = q. Que vaut le champ électrique en G (calcul direct) ? Le potentiel en G (calcul direct) ? Commenter. 4. On cherche ensuite à calculer le champ électrique en un point M de l’axe Gz perpendiculaire au plan du triangle (et donc de la feuille) et passant par G. On repère la hauteur de M par rapport au plan du triangle par z (z = 0 dans le plan du triangle). Par des arguments de symétrie, peut-on déterminer l’orientation du champ électrique ~EM en M ? Donner l’expression de ce champ ainsi que celle du potentiel VM en M. 5. Comment s’exprime le champ ~E en fonction du potentiel V , de manière générale, et dans le cas particulier d’un système de coordonnées cartésiennes ? Comment se simplifie cette expression si l’on tient compte des symétries du problème et de l’orientation du champ ~E en un point M de l’axe Gz. Vérifier que le champ ~EM obtenu dans la question 4 peut être ainsi retrouvé à partir du potentiel VM obtenu dans la question 4. 1 Exercice 2 (6 points) On considère une boule sphérique de centre O et de rayon R, constituée de métal conducteur, à l’équilibre électrostatique (toutes les charges libres de se déplacer sont immobiles). Elle porte une charge totale Q > 0. R r O M 1. On s’intéresse d’abord à la répartition des charges électriques dans la boule. Montrer que s’il existait des charges libres à l’intérieur de la boule, le champ électrique y serait nécessairement non nul (appliquer le théorème de Gauss à un petit volume intérieur). Ces charges libres pourraient-elles alors rester immobiles ? A l’équilibre, que peut-on en déduire sur leur localisation ? En déduire l’expression de la densité surfacique de charge σ. 2. A quelles symétries obéit le problème ? Que peut-on dire de l’orientation du champ électrique et de sa dépendance par rapport aux coordonnées r, θ , ϕ en coordonnées sphériques ? Par application du thèorème de Gauss, calculer le champ à l’intérieur de la boule. Que peut-on en déduire pour le potentiel à l’intérieur de la boule ? 3. Par application du thèorème de Gauss, donner l’expression du champ électrique ~EM en un point M situé à une distance r du centre O, à l’extérieur de la boule (r > R). Montrer que ce champ est équivalent à celui d’une charge Q qui serait concentrée au point O. En utilisant l’expression du potentiel d’une charge ponctuelle, en déduire le potentiel VM au point M. 4. En utilisant les résultats du 3, indiquer l’orientation du champ électrique à la surface de la boule, et exprimer son intensité Es ? En utilisant la relation entre Q et la densité surfacique σ , exprimer Es en fonction de σ . Retrouver ce résultat par application du théorème de Gauss à un petit cylindre traversant la surface de la boule et dont les parois latérales sont perpendiculaires à cette surface. 5. En utilisant les résultats du 3, quel est le potentiel Vs à la surface de la sphère ? En déduire le potentiel à l’intérieur de la sphère. Représenter graphiquement l’évolution du potentiel V (r) pour r allant de 0 à l’infini. 6. En déduire que quelle que soit la charge Q portée par la boule, on a toujours Q = CVs , où C est une constante dont on donnera l’expression. Rappel : définition des coordonnées sphériques 2 Exercice 3 (6 points) On considère deux armatures métalliques planes et parallèles, de même surface S, situées en z = −d/2 et z = d/2. On suppose que la charge totale est nulle, et on appelle Q la charge portée par l’armature supérieure, qu’on suppose positive et répartie uniformément. z 1 +Q 2 z=d/2 z=−d/2 1. Quelle sont les densités surfaciques de charge sur les deux armatures ? 2. On veut calculer l’expression du champ électrique entre les deux armatures. Pour cela on supposera que les deux armatures sont suffisamment rapprochées par rapport à leurs dimensions transverses pour qu’on puisse les considérer comme équivalents à des plans infinis. (a) Par des arguments de symétrie, montrer que le champ doit être perpendiculaire aux armatures. Justifier le fait qu’il soit nul à l’extérieur des armatures. (b) Par application du thèorème de Gauss, donner l’expression du champ électrique entre les armatures. Quelle est son orientation ? Faire le parallèle avec un résultat similaire obtenu à l’exercice 2 et commenter. 3. En déduire la différence de potentiel V = V1 −V2 entre les deux armatures. 4. Montrer que Q = CV avec C une constante appelée la capacité, dont on donnera l’expression. 5. Les armatures étant isolées électriquement, on les écarte en les amenant à une distance d ′ . Donner les expressions de la charge Q′ de l’armature supérieure et de la différence de potentiel V ′ entre les deux armatures dans cette nouvelle configuration. 3