DS-11/08

Université des Sciences et Technologies de Lille
Licence STA
Semestre 3 MIMP, PC, SPI
14 novembre 2008
Introduction à l’électromagnétisme
Durée : 2 heures 30 mn
Documents et calculatrices non autorisés
Soignez la rédaction et la clarté des explications
FEUILLE D’ANALYSE VECTORIELLE JOINTE
ÉLECTROSTATIQUE
I – Les dents de la mer !
1/ Une charge électrique q positive est placée en un point O. Donner l’expression du champ
électrostatique E créé par cette charge en un point M situé à distance r de O (on appellera u
le vecteur unitaire porté par OM.
2/ Deux charges –q et +q sont placées sur un axe x’Ox, de vecteur unitaire u , respectivement aux
abscisses –a et +a. Soit un point M d’abscisse x > 0 situé sur l’axe x’Ox (x > a).
a - Exprimer le champ électrostatique E d créé par le dipôle (−q, +q) en M (norme, direction,
sens).
b - Sans refaire le calcul, par de simples considérations de symétrie, déduire le champ créé par ce
dipôle pour le point M’, symétrique de M par rapport à O.
c - Que valent ces champs lorsque x est très grand devant a ?
3/ Application : De nombreux poissons prédateurs utilisent le champ électrostatique comme
système de détection : Une séparation des charges électrostatiques de signe opposé dans leur
corps produit des champs électrostatiques de type dipolaire. Les champs électrostatiques
infimes produits par des charges existant dans les corps vivants perturbent ce champ électrique
dipolaire et le prédateur peut ainsi par exemple ‘détecter’ des proies dissimulées dans le sable.
Le système électrostatique du prédateur est schématisé par deux charges –q et +q placées sur
l’axe x’Ox respectivement aux abscisses −a et +a et par un détecteur de champ placé dans la
tête en xd = αa (α > 1).
x’
-a
O
•
+a
•
xd
•
D’après Hergé
•
xp
•
x
a - Quelle est, en fonction de α et de a, l’expression de la norme Ed du champ électrostatique
dipolaire en xd ?
Application numérique : a = 0,6 m, q = 0,25 10-12 C, K =
On prendra
α
(α - 1)
2
2
1
= 9 109 SI .
4πε o
= 4 , ce qui correspond à α ≈ 1,25. Calculer Ed.
b - Une proie, symbolisée par une charge 2q est placée en un point d’abscisse xp. Donner
l’expression de la norme du champ électrostatique Ep créé par cette charge au niveau du
prédateur (c’est à dire en xd).
c - Sachant que le prédateur peut détecter une perturbation telle que E p E d = 2% , à quelle
distance D = xp – xd celui-ci commencera-t-il à pouvoir détecter la proie dissimulée dans le
sable ? Donner les expressions de E p E d et de D. Calculer D.
II - Conducteurs chargés
On considère, dans un milieu de permittivité εo, un conducteur filaire rectiligne très long de rayon
R portant une charge +Q par unité de longueur.
1/ a - À l’aide de considérations d’invariance, déterminer de quelle(s) variable(s), dans le système
de coordonnées adéquat, va dépendre le potentiel V et le champ E créés en un point P
distant de ρ de l’axe ce conducteur.
b - En utilisant les symétries du système physique, donner la direction de E . Donner le sens de
E en justifiant.
2/ a - Énoncer clairement le théorème de Gauss.
b - À l’aide de ce théorème, déterminer l’expression du champ E en tout point de l’espace
(ρ < R et ρ ≥ R). En déduire l’expression du potentiel V en tout point de l’espace, en
choisissant l’origine des potentiels en un point Po situé à distance ρo (> R) de l’axe du
conducteur.
c - Tracer la norme de E , ainsi que V, en fonction de ρ (pour tout ρ ∈ [0, ∞[ ).
+Q
−Q
a
3/ Un deuxième conducteur identique et parallèle au précédent, porte une
charge opposée –Q par unité de longueur. Les axes des deux
conducteurs sont distants de a.
d
d
a - Exprimer, notamment en fonction de a, le champ résultant E r créé par
M
les deux conducteurs en un point M situé à la distance d de chacun
des axes des deux conducteurs.
b - La direction de E r en M aurait-elle pu être pré-établie par des
considérations de symétrie ? Le sens de E r en M aurait-il pu être u
u−
+
également prédit ?
c - Quel est le potentiel résultant en M ? Conclusion.
u + et u − : vecteurs unitaires
4/ Si l’on suppose une surface fermée entourant les deux conducteurs sur une même hauteur de
fil, que vaut le flux du champ électrostatique E r à travers cette surface ? Que peut-on en
déduire sur le champ E r ? Est-ce incompatible avec les résultats précédents ?
III Condensateur déformable ?
On considère un condensateur plan dont les armatures A et B de
surface S sont parallèles et initialement séparées d’une distance e.
Les dimensions des armatures sont grandes par rapport à e, si bien
que l’on négligera les effets de bord. Le diélectrique entre les
armatures est parfait et a une permittivité ε. L’une des armatures
est fixe et est reliée au sol, l’autre est mobile, sans aucun
frottement et peut se déplacer parallèlement à elle-même suivant
l’axe Oz de vecteur unitaire k . L’armature mobile est portée au
potentiel Vo à l’aide d’un générateur.
z
e
k
B
A
O
1/ a - À l’aide de considérations de symétrie, donner la direction du champ électrostatique E
entre les armatures. Quel est le sens de E . De quelle(s) coordonnée(s) vont dépendre
a priori E et le potentiel V entre les armatures.
ρ
b - À l’aide de l’équation de Poisson ∆V + = 0 , et en utilisant les conditions limites en z = 0
ε
et z = e, calculer, en tout point P de cote z, le potentiel V(z).
c - Donner la relation reliant E et V. En déduire une première expression du champ
électrostatique E entre les armatures.
d - Si Q est la charge qui apparaît sur l’armature portée au potentiel Vo, quelle est la charge qui
apparaît sur l’armature reliée au sol ?
e - À l’aide du théorème de Gauss, établir la valeur du champ E à l’extérieur du condensateur,
ainsi qu’une seconde expression de E entre les armatures.
En déduire la capacité C du condensateur.
f - Donner l’expression de l’énergie emmagasinée W dans le condensateur en fonction
notamment de Q et de e.
2/ Le condensateur étant chargé avec une charge Q, on l’isole en le débranchant. Les charges
attachées aux armatures sont à l’origine de forces qui vont s’exercer sur les armatures.
a - En utilisant des considérations de symétrie, donner la direction de la force F qui s’exerce
sur l’armature mobile. Quel est son sens ?
b - Quelle est la variation dW de l’énergie emmagasinée lorsque l’armature mobile subit un
déplacement infinitésimal de ?
c - Afin de ramener l’armature mobile dans sa position initiale, une force extérieure F ext lui
est appliquée. Quel est le travail dT fourni par l’opérateur lors de ce déplacement ?
d - En utilisant le principe de conservation de l’énergie appliqué au condensateur isolé, en
déduire l’expression de la force en fonction de S, Vo et e.
e - Application numérique : Les armatures du condensateur sont des disques de 60 cm de
rayon, espacées de 3 cm. Le diélectrique entre les armatures a une permittivité relative
1
εr = 10 et Vo = 300 volts. On donne ε o =
F/m . Calculer F.
36π10 9
PRINCIPAUX TYPES DE COORDONNÉES ET OPÉRATEURS ASSOCIÉS
CARTÉSIENNES – Champ scalaire Φ(x, y, z) – Champ de vecteurs W(x, y, z)
W = Wx u x + Wy u y + Wz u z
d OM = dx u x + dyu y + dz u z
dτ = dx dy dz
∂Φ
∂Φ
∂Φ
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂ Wx ∂ Wy ∂ Wz
div W =
+
+
∂x
∂y
∂z
 ∂ Wz ∂ Wy 
 ∂ Wy ∂ Wx
∂ Wx ∂ Wz 
 u x + 
−
−
−
rot W = 
 u y + 

∂z 
∂x 
∂y
 ∂z
 ∂y
 ∂x
∂2 Φ ∂2 Φ ∂2 Φ
∆Φ =
+
+
∂ x 2 ∂ y2
∂ z2
z
grad Φ =
dz
M (x,y,z) •
uz
dx
dy
y
O
ux
uy
x

 uz


CYLINDRIQUES – Champ scalaire Φ(ρ, θ, z) – Champ de vecteurs W(ρ, θ, z)
dτ = ρdρ dθ dz
W = Wρ u ρ + Wθ u θ + Wz u z
d OM = dρu ρ + ρdθu θ + dz u z
z
uz
dz
uθ
ρ
M (ρ,θ,z) •
div W =
dρ
uρ
z
y
O
θ
ρdθ
x
grad Φ =
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
uρ +
uθ +
uz
∂z
∂ρ
ρ ∂θ
1 ∂
1 ∂ Wθ ∂ Wz
ρWρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
(
)
 ∂ Wρ ∂ Wz
 1 ∂ Wz ∂ Wθ 
−
−
rot W = 
 u ρ + 
∂z 
∂ρ
ρ ∂θ
 ∂z
2
2
1 ∂  ∂Φ 1 ∂ Φ ∂ Φ
∆Φ =
+
ρ
+
ρ ∂ ρ  ∂ ρ  ρ 2 ∂ θ 2 ∂ z 2
∂ Wρ 

1 ∂
 uθ + 
 uz
ρ
−
(
W
)
θ

ρ  ∂ ρ
∂ θ 

SPHÉRIQUES – Champ scalaire Φ(r, θ, ϕ) – Champ de vecteurs W(r, θ, ϕ)
dτ = r 2 sin θ dr dθ dϕ d OM = dr u r + rdθu θ + r sin θdϕ u ϕ W = Wr u r + Wθ u θ + Wϕ u ϕ
dr
z
ur
M(r,θ,ϕ)
r dθ •
θ
r
uϕ
grad Φ =
uθ
y
O
ϕ
x
∂Φ
1∂Φ
1 ∂Φ
ur +
uθ +
uϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
div W =
(
)
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂ Wϕ
r
W
+
(
sin
θ
W
)
+
r
θ
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
r2 ∂ r
r sinθdϕ
∂ Wθ 
1  ∂
1  1 ∂ Wr
∂

sin θ Wϕ −
 u r + 
−
r Wϕ
r sinθ  ∂θ
∂ϕ 
r  sin θ ∂ ϕ ∂ r
1 ∂2
1
∂2 Φ
1
∂ 
∂Φ
∆Φ =
(
r
Φ
)
+
+ 2
 sin θ

2
2
2
2
r ∂r
∂θ 
r sin θ ∂ ϕ
r sin θ ∂ θ 
rot W =
(
)
(
)  u θ + 1r  ∂∂r (r Wθ ) − ∂∂Wθr  u ϕ


