Rapide rappel de mathématiques

Rapide rappel de mathématiques
BA1 en chimie, mathématiques et physique.

Quelques mots. . .
Les étudiants qui rentrent à l’université proviennent d’horizons parfois fort différents, c’est
évident. Cela semble particulièrement bien vérifié en ce qui concerne le cours de mathématiques ;
c’est la raison d’être du présent document et des “séances de rappels” organisées en début d’année.
Nous avons rassemblé dans ce document divers rappels théoriques ainsi que quelques exercices
concernant une partie des mathématiques vues (ou censées l’être) durant les études secondaire.
Pour l’étudiant, l’intérêt majeur est de se mettre à niveau, ou au contraire de se rassurer sur
l’état de ses connaissances, bref d’éviter les surprises.
Pour le professeur, c’est d’avoir une base mathématique sur laquelle il peut se baser et une
référence à laquelle il peut se référer, bref d’éviter les surprises.
Historique Année 2009-2010 Première version.
Année 2010-2011 Deuxième version.
Table des matières
Quelques mots. . . ....................................... i
1 Fonctions 1
1.1 Généralités ....................................... 1
1.2 Composition ....................................... 3
1.3 Injectivité et surjectivité ................................ 3
1.4 Les fonctions exponentielles et logarithmes ...................... 5
1.5 Exercices ........................................ 5
2 Dérivées 9
2.1 Approche intuitive ................................... 9
2.2 Sens physique de la dérivée .............................. 10
2.3 Dérivée partielle .................................... 11
2.4 Règles simples de dérivation .............................. 12
2.5 Règle de dérivation en chaîne ............................. 13
2.6 Exercices ........................................ 13
3 Trigonométrie 17
3.1 Systèmes de coordonnées du plan ........................... 17
3.2 Le radian ........................................ 18
3.3 Cercle trigonométrique ................................. 18
3.4 Symétries ........................................ 19
3.5 Triangles ........................................ 21
3.6 Exercices ........................................ 22
4 Les nombres complexes 27
i

ii TABLE DES MATIÈRES
4.1 Définitions ........................................ 27
4.2 Plan de Gauss ...................................... 27
4.3 Forme polaire ou trigonométrique ........................... 28
4.4 Racine ned’un complexe ................................ 29
4.5 Exercices ........................................ 29
5 Analyse vectorielle 31
5.1 Introduction : scalaires et vecteurs .......................... 31
5.2 Addition de vecteurs .................................. 31
5.3 Composantes d’un vecteur et vecteurs de base .................... 32
5.4 Produit scalaire ..................................... 33
5.5 Produit vectoriel .................................... 34
5.6 Exercices ........................................ 35
6 Intégration 39
6.1 Introduction ....................................... 39
6.2 Rappels et exercices .................................. 41
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Richard.

Chapitre 1
Fonctions
1.1 Généralités
Une fonction fest la donnée d’un ensemble de départ A, d’un ensemble d’arrivée B, et d’une
règle qui à chaque élément de Aassocie un unique élément de B. En écrivant le symbole « f»
on suppose avoir ces trois données, que l’on résumera sous la forme
f:A→B:x7→ f(x)
où f(x)est l’élément de Bqu’on associe à l’élément xde A(il faut évidemment donner f(x)
pour n’importe quel xde A).
Exemple.
f:R→R:x7→ x2
est une fonction qui à chaque réel associe son carré. Une autre fonction serait
g:R→R+:x7→ x2
qui à chaque réel associe son carré. La subtile différence est que l’ensemble d’arrivée
n’est pas le même : ici c’est l’ensemble des réels positifs (zéro inclus). La différence
est subtile car en pratique elle n’a pas toujours un intérêt flagrant. Il faut cependant
la voir, car quand son intérêt apparaitra, il faudra pouvoir y faire attention. Quant à
la fonction
h:R+→R+:x7→ x2
qui à chaque réel positif associe son carré, elle est clairement différente des deux
précédentes car son domaine n’est pas le même.
Par abus de langage, on parlera parfois de « la fonction f(x)» (qui n’est en réalité qu’un
élément de B, pas une fonction) ou de « la fonction y=f(x)» (qui n’est qu’une égalité, pas une
fonction).
Formons maintenant quelques définitions, pour une fonction f:A→B.
Image d’une fonction L’image, plus précisément « l’ensemble image », de la fonction fest
la collection des f(x)pour xparcourant A, qu’on pourrait écrire f(A). C’est un sous-ensemble
de B, il est noté Im f.
Exemple. L’image de la fonction f: [0,2] →R:x7→ x2est [0,4] ; c’est bien un
sous-ensemble de la droite réelle. Cet ensemble est représenté en trait gras sur la
Fig. 1.1.
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