Espaces vectoriels

MP
Espaces vectoriels
Ce document n’est pas un cours mais pr´esente seulement quelques notions `a connaˆıtre sur le sujet.
1 Quelques structures
1.1 Groupes
D´efinition 1 Soit Gun ensemble non-vide muni d’une loi interne ?
(c’est `a dire d’une application ?:
G×G→G
(x, y)7→ x?y ),
(G, ?)est un groupe si la loi ?v´erifie :
• ∀(x, y, z)∈G×G×G, x ? (y ? z) = (x?y)? z (on dit ?est associative)
• ∃e∈G, ∀x∈G, x ? e =e?x=x(on dit que eest ´el´ement neutre pour ?)
• ∀x∈G, ∃x0∈G, x ? x0=x0? x =e(on dit que tout ´el´ement de Gposs`ede un sym´etrique).
Si de plus ∀(x, y)∈G2, x ? y =y ? x (on dit que ?est commutative), on dit que le groupe (G, ?)est commutatif ou
ab´elien.
Remarque 1 On montre que l’´el´ement neutre est unique, de mˆeme que l’inverse d’un ´el´ement.
Notations :
•La loi d’un groupe ´eb´elien est souvent not´ee additivement + :
– l’´el´ement neutre est not´e 0 ou 0G
– le sym´etrique d’un ´el´ement xest not´e −xet est appel´e l’oppos´e de x
– La puissance d’ordre n∈Nd’un ´el´ement x,x+· · · +x(ntermes) est not´ee n·x(avec 0 ·x= 0).
•Lorsque la loi d’un groupe est not´ee multiplicativement·ou ×:
– l’´el´ement neutre est not´e 1 ou 1G
– le sym´etrique d’un ´el´ement xest not´e x−1.
– La puissance d’ordre n∈Nd’un ´el´ement x,x× · · · × x(ntermes) est not´ee xn(convention x0= 1).
D´efinition 2 Soit (G, ?)un groupe et G0une partie de G
G0est un sous-groupe de (G, ?)si
1. G0est non vide
2. (G0, ?)est un groupe
Proposition 1 soit (G, ?)un groupe et G0une partie non vide de G
G0est un sous-groupe de (G, ?)si et seulement si ∀(x, y)∈G02, x ? y−1∈G0.
D´efinition 3 Soit (G, ?)et (G0, ?0)deux groupes,
on appelle morphisme de groupe toute application fde Gdans G0telle que ∀(x, y)∈G2, f (x?y) = f(x)?0f(y)
On a aussi :
•Un morphisme de groupe bijectif s’appelle un isomorphisme de groupe.
•Pour G0=Gun morphisme de groupe s’appelle un endomorphisme de groupe.
•Pour G0=Gun isomorphisme de groupe s’appelle un automorphisme de groupe.
Proposition 2
Si Aut(G)d´esigne l’ensemble des automorphismes du groupe (G, ?)Alors (Aut(G),◦)est un groupe
Proposition 3 Pour a∈Gl’application ha:G→G
g7→ ha(g) = a?g?a−1est un automorphisme de (G, ?)
appel´e automorphisme int´erieur.
D´efinition 4 Soit (G, ?)et (G0, ?0)deux groupes et fun endomorphisme de groupe
•On appelle noyau de fla partie de G, ker f={g∈G, f(g) = eG0}o`u eG0est l’´el´ement neutre de G0
•On appelle image de fla partie de G0,Imf={g0∈G0,∃g∈G, f (g) = g0}.
Proposition 4 Soit (G, ?)et (G0, ?0)deux groupes et fun endomorphisme de groupe.
Le noyau de fest un sous-groupe de (G, ?)et l’image de fest un sous-groupe de (G0, ?0)
LGT Baimbridge 1 C.Susset

MP
1.2 Anneaux
D´efinition 5 Soit Aun ensemble non vide muni de deux loi internes +et ×.
(A, +,×)est un anneau si
1. (A, +) est un groupe ab´elien
2. la loi ×v´erifie :
(a) ×est associative
(b) ×poss`ede un ´el´ement neutre
(c) la multiplication ×est distributive sur l’addition `a droite et `a gauche :
∀(x, y, z)∈A3, x ×(y+z) = x×y+x×zet (x+y)×z=x×y+x×z
•Si ×est commutative on dit que l’anneau est commutatif.
•Si ×est commutative et n’a pas de diviseur de 0, c’est `a dire que ∀(x, y)∈A2, x ×y= 0 ⇒x= 0 ou y= 0
on dit que l’anneau est int`egre.
L’´el´ement neutre de (A, +) se note en g´en´eral 0 ou 0Aet l’´el´ement neutre de la multiplication se note 1 ou 1A
Comme pour les groupes on d´efinit les sous-anneaux et les morphismes d’anneaux
D´efinition 6 Si (A, +,×)est un anneau et A0est une partie non-vide de A,A0est un sous-anneau de (A, +,×)
si (A0,+,×)est un anneau et 1A∈A0
Proposition 5 Si (A, +,×)est un anneau et A0est une partie non-vide de A
A0est un sous-anneau de (A, +,×)si et seulement si
1. (A0,+) est un sous-groupe de (A, +)
2. ∀(x, y)∈A02, x ×y∈A0
3. 1A∈A0
Pour un anneau commutatif on d´efinit la notion d’id´eal
D´efinition 7 Soit (A, +,×)un anneau commutatif et J⊂A,Jest un id´eal de Asi
•(J, +) est un sous-groupe de (A, +)
• ∀(a, b)∈A×J, a ×b∈J
Remarque 2 Si Jest un id´eal d’un anneau commutatif (A, +,×)et 1A∈Jalors J=A
Proposition 6 Les id´eaux de l’anneau (Z,+,×)sont les parties nZ={n×m, m ∈Z}de Zpour n∈N.
Proposition 7 Soit (A, +,×)et (A0,+,×)deux anneaux, un morphisme d’anneau est une application fde A
dans A0telle que :
1. ∀(a, b)∈A2, f(a+b) = f(a) + f(b)
2. ∀(a, b)∈A2, f(a×b) = f(a)×f(b)
3. f(1A) = 1A0
Proposition 8 Si fest un morphisme d’un anneau Asur un anneau A0alors
•Le noyau de f, ker f=−1f({0A0})est un id´eal de A
•L’image de Apar f, Imf=f(A)est un sous anneau de (A0,+,×)
Proposition 9 Soit (A, +,×)un anneau, l’application : ϕ:Z→A
n7→ n.1A
est un homorphisme d’anneau de noyau n0Zo`u n0∈N
D´efinition 8 (caract´eristique d’un anneau) Pour un anneau (A, +,×)
l’unique entier n0de la proposition pr´ec´edente s’appelle la caract´eristique de l’anneau A
Notation
Pour un anneau (A, +,×) on note A∗l’ensemble des ´el´ements inversibles pour la multiplication,
A∗={a∈A, ∃a0∈A, a ×a0=a0×a= 1A}
Par exemple : Z∗={−1,1},K∗=K\ {0},K[X]∗=K∗
Proposition 10 Pour un anneau (A, +,×),(A∗,×)est un groupe.
LGT Baimbridge 2 C.Susset

MP
1.3 Corps
D´efinition 9 Soit Kun ensemble muni de deux lois de compositions internes +et ×
(K,+,×)est un corps si
1. (K,+,×)est un anneau
2. les ´el´ements de K\ {0}poss`ede un inverse pour la multiplication, c’est `a dire que K∗=K\ {0}
Si la multiplication ×est commutative on dit que le corps est commutatif
Un corps est un anneau int`egre.
On d´efinit la caract´eristique d’un corps (K,+,×) comme ´etant la caract´eristique de l’anneau (K,+,×).
Exemples :(Q,+,×), (R,+,×), (C,+,×) sont des corps.
Dans la suite sauf mention du contraire le mot corps d´esignera un corps commutatif de caract´eristique nulle.
1.4 Espaces vectoriels
Voir les documents :
•Espaces vectoriels premi`eres notions
•Espaces vectoriels de dimension finie premi`eres notions
Exemple 1
•(Kn,+,·)est un Kespace vectoriel de dimension n
•Soit Aet Ideux ensembles non vides, on notera AIl’ensemble des applications de Idans A, une application
de AIs’appellera aussi une famille d’´el´ements de Aindex´ee par Iet l’application x:
I→A
i7→ x(i)se notera
aussi (xi)i∈I
Si Eest un Kespace vectoriel alors (EI,+,·)est un Kespace vectoriel avec
–(xi)i∈I+ (yi)i∈I= (zi)i∈Io`u ∀i∈I, zi=xi+yi
–λ·(xi)i∈I= (zi)i∈Io`u ∀i∈I, zi=λ·xi
Pour (xi)i∈I∈EIon appelle support de (xi)i∈Il’ensemble supp((xi)i∈I) = {i∈I, xi6= 0}, lorque
supp((xi)i∈I)est fini on dira que la famille est `a support fini.
On notera E(I)la partie des ´el´ements de EI`a support fini.
E(I)est un sous-espace vectoriel de (EI,+,·)
En particulier KIest un Kespace vectoriel et K(I)est un sous-espace vectoriel de KI.
D´efinition 10 (applications bilin´eaires)
Soit E1, E2, F trois Kespaces vectoriels et fune application de E1×E2dans F
fest bilin´eaire si
1. ∀~y ∈E2,E1→F
~x 7→ f(~x, ~y)est lin´eaire
2. ∀~x ∈E1,E2→F
~y 7→ f(~x, ~y)est lin´eaire
Si de plus ∀(~x, ~y)
•f(~x, ~y) = f(~y, ~x)on dit que fest une application bilin´eaire sym´etrique
•f(~x, ~y) = −f(~y, ~x)on dit que fest une application bilin´eaire antisym´etrique
1.5 Alg`ebres
D´efinition 11 Soit
Aun ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes +et ×et d’une loi de composition externe ·
On dit que (A, +,×,·)est une Kalg`ebre si
•(A, +,×)est un anneau
•(A, +,·)est un Kespace vectoriel
• ∀λ∈K,∀(~x, ~y)∈A2,(λ·~x)×~y =~x ×(λ·~y) = λ·(~x ×~y)
Exemple 2 •Si Eest un Kespace vectoriel, (L(E),+,◦,·)est une Kalg`ebre.
•Si n∈N∗,(Mn(K),+,×,·)est une Kalb`ebre
•(K,+,×,·)est une Kalg`ebre.
•Soit Xun ensemble non vide, consid´erons F(X,K)l’ensemble des applications de Xdans K,
(F(X,K),+,×,·)est une Kalg`ebre
LGT Baimbridge 3 C.Susset

MP
•Pour n∈N∗et α∈Nn, α = (α1, . . . , αn)consid´erons l’application
fα:
Kn→K
(x1, . . . , xn)7→ fα(x1, . . . , xn) = x1α1.x2α2. . . .xnαn, fαest une fonction monˆome de nvariables.
On note P(Kn,K), on notera aussi K[x1, . . . , xn]le sous espace vectoriel engendr´e par {fα, α ∈Nn}
K[x1, . . . , xn]est une sous-alg`ebre de F(Kn,K)
K[x1, . . . , xn] = {P
(aα)∈K(Nn)
aαXα1
1. . . Xαn
n}o`u Xk:
Kn→K
(x1, . . . , xn)7→ xk
(K(Nn)est l’ensemble des ´el´ements de KNn`a support fini (voir ci-dessus))
2 Combinaisons lin´eaires
Soit Kun corps de caract´eristique nulle, Eun Kespace vectoriel et Iun ensemble non vide.
2.1 Notations
1. Soit Aun ensemble non vide, on appelle famille d’´el´ements de Aindex´ee par l’ensemble I, une application
de Idans A. Dans ce contexte l’application : a:I→A
i7→ a(i)
se note (ai)i∈Iet l’ensemble des familles de
Aindex´ees par Ise note AI
Proposition 11
Si Eest un Kespace vectoriel et Iun ensemble non vide alors EIest un Kespace vectoriel si on le munit
des deux lois :
(a) ∀(x, y)∈EI×EI, x = (xi)i∈I, y = (yi)i∈I, x +y=z,z= (zi)i∈Iavec ∀i∈I, zi=xi+yi.
(b) ∀(λ, x)∈K×EI, x = (xi)i∈I, λ ·x=y,y= (yi)i∈Iavec ∀i∈I, yi=λ·xi
2. Pour (xi)i∈I∈EI, on note supp((xi)i∈I) = {i∈I, xi6= 0}, supp((xi)i∈I) est le support de la famille (xi)i∈I,
si le support est de cardinal fini, on dit que la famille est `a support fini.
3. On note E(I)l’ensemble des familles de E`a support fini.
Proposition 12
E(I)est un sous-espace vectoriel de EI
4. Si Iest fini de cardinal n∈N∗, il existe ϕune bijection de [[1, n]] sur I. Pour (xi)i∈I∈EI, comme l’addition
dans Eest commutative,
n
P
k=1
xϕ(k)ne d´epend pas de la bijection ϕ, on note P
i∈I
xi=
n
P
k=1
xϕ(k)
5. Pour un ensemble Iquelconque et (xi)i∈I∈E(I)on note P
i∈I
xile vecteur P
i∈supp((xi)i∈I)
xi
2.2 D´efinitions
Soit Eun Kespace vectoriel et Iun ensemble non vide
Remarque 3
Si (xi)i∈I∈EIet (λi)i∈I∈K(I)alors (λixi)i∈I∈E(I)
D´efinition 12
Soit (xi)i∈I∈EIet x∈E, on dit que xest combinaison lin´eaire des ´el´ements de la famille (xi)i∈Is’il existe
(λi)i∈I∈K(I)telle que x=P
i∈I
λi·xi
On notera vect <(xi)i∈I>l’ensemble de ces combinaisons lin´eaires
Proposition 13
vect <(xi)i∈I>est un sous-espace vectoriel de E, c’est le sous-espace vectoriel engendr´e par la partie de E,
{xi∈E, i ∈I}, soit vect <(xi)i∈I>= vect <{xi∈E, i ∈I}>
D´efinition 13 (Syst`eme libres, g´en´erateurs, bases) Soit Eun Kespace vectoriel et (xi)i∈I∈EI, on dit que
la famille (xi)i∈I∈EIest :
•Libre si ∀(λi)i∈I∈K(I)alors P
i∈I
λixi= 0 ⇒ ∀i∈I, λi= 0.
Une famille qui n’est pas libre est dite li´ee
•G´en´eratrice si E= vect <(xi)i∈I>, c’est `a dire ∀x∈E, ∃(λi)i∈I∈K(I), x =P
i∈I
λixi
•Une base de Esi c’est une famille libre et g´en´eratrice.
LGT Baimbridge 4 C.Susset

MP
2.3 Propri´et´es des familles libres
Soit S= (~ui)i∈I∈EI
P1Sest libre si et seulement si ∀(λi)i∈I∈K(I),∀(βi)i∈I∈K(I),P
i∈I
αi~ui=P
i∈I
βi~ui⇒ ∀i∈I, αi=βi
P2Sest libre si et seulement si ∀~a ∈Ele syst`eme (P
i∈I
αi~ui=~a
(αi)i∈I∈K(I)admet au plus une solution
P3Sest libre si et seulement si l’application :
K(I)→E
(αi)i∈I7→ P
i∈I
αi~uiest injective.
P4Soit ~u1∈E,S= (~u1) est libre si et seulement si ~u16=~ 0. (~ 0) est li´e
P5S= (~u1, ~u2) est li´ee si et seulement si ~u1=~ 0 ou ∃λ∈K, ~u2=λ~u1
P6S= (~ui)i∈I,(~ui)i∈I∈EI.Sest li´ee si et seulement si ∃i0∈I, ∃(αi)i∈I∈K(I), ~ui0=P
i∈I\{i0}
αi~ui
P7Soit S= (~ui)i∈Iune famille libre de vecteurs de E et ~u ∈E, on consid`ere la famille S0= (~ui)i∈I1avec
I1=I∪ {α}, α /∈Iet ~uα=~u
S0est libre si et seulement si ~u /∈vect <S>
P8Toute famille de vecteurs extraite d’une famille libre est libre.
P9Toute famille de vecteurs contenant une sous famille li´ee est li´ee.
P10 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est li´ee.
2.4 Propri´et´es des syst`emes g´en´erateurs
Soit S= (~ui)i∈I∈EI
P1Sest un syst`eme g´en´erateur si et seulement si ∀~a ∈Ele syst`eme (P
i∈I
αi~ui=~a
(αi)i∈I∈K(I)admet au moins une
solution
P2Sest un syst`eme g´en´erateur si et seulement si l’application :
K(I)→E
(αi)i∈I7→ P
i∈I
αi~uiest surjective.
P3Toute famille de vecteurs de Equi contient une sous famille g´en´eratrice de Eest une famille g´en´eratrice
de E.
P4Si (~ui)i∈Iest une famille g´en´eratrice de Eet (~vj)j∈Jest une famille de vecteurs de Etelle que
{~ui, i ∈I} ⊂ {~vj, j ∈J}alors (~vj)j∈Jest une famille g´en´eratrice de E.
2.5 Propri´et´es des bases
Soit S= (~ui)i∈I∈EI
P1Sest une base de Esi et seulement si tout vecteur de Es’´ecrit comme combinaison lin´eaire unique de
vecteurs de S.
Si Sest une base de Eet pour ~u ∈Eon a (αi)i∈I∈K(I)et ~u =P
i∈I
αi~uialors (αi)i∈Iest le syst`eme de
coordonn´ees du vecteur ~u dans la base S, pour i∈I, αiest la i`eme coordonn´ee de ~u dans la base S.
Avec les notations pr´ec´edentes, pour i∈Il’application ϕi, d´efinie par : ϕi:E→K
~u 7→ αiqui au vecteur ~u
associe sa i`eme coordonn´ee est une forme lin´eaire sur E,ϕi∈E∗
P2Sest une base si et seulement si ∀~a ∈Ele syst`eme (P
i∈I
αi~ui=~a
(αi)i∈I∈K(I)admet exactement une solution
P3Sest une base si et seulement si l’application :
K(I)→E
(αi)i∈I7→ P
i∈I
αi~uiest bijective (c’est alors un iso-
morphisme d’espace vectoriel) .
P4
– Une base est une famille libre et maximale pour l’inclusion.
– Une base est une famille g´en´eratrice et minimale pour l’inclusion.
P5(Xn)n∈Nest une base de K[X] appel´ee base canonique de K[X]
P6Soit n∈N∗, pour α∈Nnon pose fα:Kn→K
(x1, . . . , xn)7→ xα1
1× · · · × xαn
n
La famille (fα)α∈Nnest une base de P(Kn,K) appel´ee base canonique de P(Kn,K)
LGT Baimbridge 5 C.Susset