Espaces vectoriels

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Espaces vectoriels
Ce document n’est pas un cours mais présente seulement quelques notions à connaı̂tre sur le sujet.
1
Quelques structures
1.1
Groupes
Définition 1 Soit G un ensemble non-vide muni d’une loi interne ?
G×G → G
(c’est à dire d’une application ? : (x, y) 7→ x ? y ),
(G, ?) est un groupe si la loi ? vérifie :
• ∀(x, y, z) ∈ G × G × G, x ? (y ? z) = (x ? y) ? z (on dit ? est associative)
• ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ? e = e ? x = x (on dit que e est élément neutre pour ?)
0
0
0
• ∀x ∈ G, ∃x ∈ G, x ? x = x ? x = e (on dit que tout élément de G possède un symétrique).
Si de plus ∀(x, y) ∈ G2 , x ? y = y ? x (on dit que ? est commutative), on dit que le groupe (G, ?) est commutatif ou
abélien.
Remarque 1 On montre que l’élément neutre est unique, de même que l’inverse d’un élément.
Notations :
• La loi d’un groupe ébélien est souvent notée additivement + :
– l’élément neutre est noté 0 ou 0G
– le symétrique d’un élément x est noté −x et est appelé l’opposé de x
– La puissance d’ordre n ∈ N d’un élément x, x + · · · + x (n termes) est notée n · x (avec 0 · x = 0).
• Lorsque la loi d’un groupe est notée multiplicativement· ou × :
– l’élément neutre est noté 1 ou 1G
– le symétrique d’un élément x est noté x−1 .
– La puissance d’ordre n ∈ N d’un élément x, x × · · · × x (n termes) est notée xn (convention x0 = 1).
Définition 2 Soit (G, ?) un groupe et G0 une partie de G
G0 est un sous-groupe de (G, ?) si
1. G0 est non vide
2. (G0 , ?) est un groupe
Proposition 1 soit (G, ?) un groupe et G0 une partie non vide de G
2
G0 est un sous-groupe de (G, ?) si et seulement si ∀(x, y) ∈ G0 , x ? y −1 ∈ G0 .
0
Définition 3 Soit (G, ?) et (G , ?0 ) deux groupes,
on appelle morphisme de groupe toute application f de G dans G0 telle que ∀(x, y) ∈ G2 , f (x ? y) = f (x) ?0 f (y)
On a
•
•
•
aussi :
Un morphisme de groupe bijectif s’appelle un isomorphisme de groupe.
Pour G0 = G un morphisme de groupe s’appelle un endomorphisme de groupe.
Pour G0 = G un isomorphisme de groupe s’appelle un automorphisme de groupe.
Proposition 2
Si Aut(G) désigne l’ensemble des automorphismes du groupe (G, ?) Alors (Aut(G), ◦) est un groupe
G → G
Proposition 3 Pour a ∈ G l’application ha :
est un automorphisme de (G, ?)
g 7→ ha (g) = a ? g ? a−1
appelé automorphisme intérieur.
0
Définition 4 Soit (G, ?) et (G , ?0 ) deux groupes et f un endomorphisme de groupe
• On appelle noyau de f la partie de G, ker f = {g ∈ G, f (g) = eG0 } où eG0 est l’élément neutre de G0
• On appelle image de f la partie de G0 , Imf = {g 0 ∈ G0 , ∃g ∈ G, f (g) = g 0 }.
0
Proposition 4 Soit (G, ?) et (G , ?0 ) deux groupes et f un endomorphisme de groupe.
Le noyau de f est un sous-groupe de (G, ?) et l’image de f est un sous-groupe de (G0 , ?0 )
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1.2
Anneaux
Définition 5 Soit A un ensemble non vide muni de deux loi internes + et ×.
(A, +, ×) est un anneau si
1. (A, +) est un groupe abélien
2. la loi × vérifie :
(a) × est associative
(b) × possède un élément neutre
(c) la multiplication × est distributive sur l’addition à droite et à gauche :
∀(x, y, z) ∈ A3 , x × (y + z) = x × y + x × z et (x + y) × z = x × y + x × z
• Si × est commutative on dit que l’anneau est commutatif.
• Si × est commutative et n’a pas de diviseur de 0, c’est à dire que ∀(x, y) ∈ A2 , x × y = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0
on dit que l’anneau est intègre.
L’élément neutre de (A, +) se note en général 0 ou 0A et l’élément neutre de la multiplication se note 1 ou 1A
Comme pour les groupes on définit les sous-anneaux et les morphismes d’anneaux
Définition 6 Si (A, +, ×) est un anneau et A0 est une partie non-vide de A, A0 est un sous-anneau de (A, +, ×)
si (A0 , +, ×) est un anneau et 1A ∈ A0
Proposition 5 Si (A, +, ×) est un anneau et A0 est une partie non-vide de A
A0 est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si
1. (A0 , +) est un sous-groupe de (A, +)
2
2. ∀(x, y) ∈ A0 , x × y ∈ A0
3. 1A ∈ A0
Pour un anneau commutatif on définit la notion d’idéal
Définition 7 Soit (A, +, ×) un anneau commutatif et J ⊂ A, J est un idéal de A si
• (J, +) est un sous-groupe de (A, +)
• ∀(a, b) ∈ A × J, a × b ∈ J
Remarque 2 Si J est un idéal d’un anneau commutatif (A, +, ×) et 1A ∈ J alors J = A
Proposition 6 Les idéaux de l’anneau (Z, +, ×) sont les parties nZ = {n × m, m ∈ Z} de Z pour n ∈ N.
Proposition 7 Soit (A, +, ×) et (A0 , +, ×) deux anneaux, un morphisme d’anneau est une application f de A
dans A0 telle que :
1. ∀(a, b) ∈ A2 , f (a + b) = f (a) + f (b)
2. ∀(a, b) ∈ A2 , f (a × b) = f (a) × f (b)
3. f (1A ) = 1A0
Proposition 8 Si f est un morphisme d’un anneau A sur un anneau A0 alors
• Le noyau de f, ker f =−1 f ({0A0 }) est un idéal de A
• L’image de A par f, Imf = f (A) est un sous anneau de (A0 , +, ×)
Proposition 9 Soit (A, +, ×) un anneau, l’application : ϕ :
Z → A
n 7→ n.1A
est un homorphisme d’anneau de noyau n0 Z où n0 ∈ N
Définition 8 (caractéristique d’un anneau) Pour un anneau (A, +, ×)
l’unique entier n0 de la proposition précédente s’appelle la caractéristique de l’anneau A
Notation
Pour un anneau (A, +, ×) on note A∗ l’ensemble des éléments inversibles pour la multiplication,
A∗ = {a ∈ A, ∃a0 ∈ A, a × a0 = a0 × a = 1A }
Par exemple : Z∗ = {−1, 1}, K∗ = K \ {0}, K[X]∗ = K∗
Proposition 10 Pour un anneau (A, +, ×), (A∗ , ×) est un groupe.
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1.3
Corps
Définition 9 Soit K un ensemble muni de deux lois de compositions internes + et ×
(K, +, ×) est un corps si
1. (K, +, ×) est un anneau
2. les éléments de K \ {0} possède un inverse pour la multiplication, c’est à dire que K∗ = K \ {0}
Si la multiplication × est commutative on dit que le corps est commutatif
Un corps est un anneau intègre.
On définit la caractéristique d’un corps (K, +, ×) comme étant la caractéristique de l’anneau (K, +, ×).
Exemples :(Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) sont des corps.
Dans la suite sauf mention du contraire le mot corps désignera un corps commutatif de caractéristique nulle.
1.4
Espaces vectoriels
Voir les documents :
• Espaces vectoriels premières notions
• Espaces vectoriels de dimension finie premières notions
Exemple 1
• (Kn , +, ·) est un K espace vectoriel de dimension n
• Soit A et I deux ensembles non vides, on notera AI l’ensemble des applications de I dans A, une application
I → A
de AI s’appellera aussi une famille d’éléments de A indexée par I et l’application x : i 7→ x(i) se notera
aussi (xi )i∈I
Si E est un K espace vectoriel alors (E I , +, · ) est un K espace vectoriel avec
– (xi )i∈I + (yi )i∈I = (zi )i∈I où ∀i ∈ I, zi = xi + yi
– λ · (xi )i∈I = (zi )i∈I où ∀i ∈ I, zi = λ · xi
Pour (xi )i∈I ∈ E I on appelle support de (xi )i∈I l’ensemble supp((xi )i∈I ) = {i ∈ I, xi 6= 0}, lorque
supp((xi )i∈I ) est fini on dira que la famille est à support fini.
On notera E (I) la partie des éléments de E I à support fini.
E (I) est un sous-espace vectoriel de (E I , +, · )
En particulier KI est un K espace vectoriel et K(I) est un sous-espace vectoriel de KI .
Définition 10 (applications bilinéaires)
Soit E1 , E2 , F trois K espaces vectoriels et f une application de E1 × E2 dans F
f est bilinéaire si
E1 → F
1. ∀~y ∈ E2 ,
est linéaire
~x
7→ f (~x, ~y )
2. ∀~x ∈ E1 ,
E2
~y
→ F
est linéaire
7→ f (~x, ~y )
Si de plus ∀(~x, ~y )
• f (~x, ~y ) = f (~y , ~x) on dit que f est une application bilinéaire symétrique
• f (~x, ~y ) = −f (~y , ~x) on dit que f est une application bilinéaire antisymétrique
1.5
Algèbres
Définition 11 Soit
A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes + et × et d’une loi de composition externe ·
On dit que (A, +, ×, · ) est une K algèbre si
• (A, +, ×) est un anneau
• (A, +, · ) est un K espace vectoriel
• ∀λ ∈ K, ∀(~x, ~y ) ∈ A2 , (λ · ~x) × ~y = ~x × (λ · ~y ) = λ · (~x × ~y )
Exemple 2
• Si E est un K espace vectoriel, (L(E), +, ◦, · ) est une K algèbre.
• Si n ∈ N∗ , (Mn (K), +, ×, · ) est une K albèbre
• (K, +, ×, · ) est une K algèbre.
• Soit X un ensemble non vide, considérons F(X , K) l’ensemble des applications de X dans K,
(F(X , K), +, ×, · ) est une K algèbre
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• Pour n ∈ N∗ et α ∈ Nn , α = (α1 , . . . , αn ) considérons l’application
Kn
→ K
fα : (x1 , . . . , xn ) 7→ fα (x1 , . . . , xn ) = x1 α1 .x2 α2 . . . .xn αn , fα est une fonction monôme de n variables.
On note P(Kn , K), on notera aussi K[x1 , . . . , xn ] le sous espace vectoriel engendré par {fα , α ∈ Nn }
K[x1 , . . . , xn ] est une sous-algèbre de F(Kn , K)
Kn
→ K
P
α1
αn
K[x1 , . . . , xn ] = {
aα X1 . . . Xn } où Xk : (x1 , . . . , xn ) 7→ xk
(aα )∈K(Nn )
(Nn )
(K
2
n
est l’ensemble des éléments de KN à support fini (voir ci-dessus))
Combinaisons linéaires
Soit K un corps de caractéristique nulle, E un K espace vectoriel et I un ensemble non vide.
2.1
Notations
1. Soit A un ensemble non vide, on appelle famille d’éléments de A indexée par l’ensemble I, une application
de I dans A. Dans ce contexte l’application : a : I → A
se note (ai )i∈I et l’ensemble des familles de
i 7→ a(i)
A indexées par I se note AI
Proposition 11
Si E est un K espace vectoriel et I un ensemble non vide alors E I est un K espace vectoriel si on le munit
des deux lois :
(a) ∀(x, y) ∈ E I × E I , x = (xi )i∈I , y = (yi )i∈I , x + y = z, z = (zi )i∈I avec ∀i ∈ I, zi = xi + yi .
(b) ∀(λ, x) ∈ K × E I , x = (xi )i∈I , λ · x = y, y = (yi )i∈I avec ∀i ∈ I, yi = λ · xi
2. Pour (xi )i∈I ∈ E I , on note supp((xi )i∈I ) = {i ∈ I, xi 6= 0}, supp((xi )i∈I ) est le support de la famille (xi )i∈I ,
si le support est de cardinal fini, on dit que la famille est à support fini.
3. On note E (I) l’ensemble des familles de E à support fini.
Proposition 12
E (I) est un sous-espace vectoriel de E I
4. Si I est fini de cardinal n ∈ N∗ , il existe ϕ une bijection de [[1, n]] sur I. Pour (xi )i∈I ∈ E I , comme l’addition
n
n
P
P
P
dans E est commutative,
xϕ(k) ne dépend pas de la bijection ϕ, on note
xi =
xϕ(k)
i∈I
k=1
5. Pour un ensemble I quelconque et (xi )i∈I ∈ E (I) on note
P
xi le vecteur
i∈I
2.2
k=1
P
xi
i∈supp((xi )i∈I )
Définitions
Soit E un K espace vectoriel et I un ensemble non vide
Remarque 3
Si (xi )i∈I ∈ E I et (λi )i∈I ∈ K (I) alors (λi xi )i∈I ∈ E (I)
Définition 12
Soit (xi )i∈I ∈ E I et x ∈ E,Pon dit que x est combinaison linéaire des éléments de la famille (xi )i∈I s’il existe
(λi )i∈I ∈ K (I) telle que x =
λi · xi
i∈I
On notera vect < (xi )i∈I > l’ensemble de ces combinaisons linéaires
Proposition 13
vect < (xi )i∈ I > est un sous-espace vectoriel de E, c’est le sous-espace vectoriel engendré par la partie de E,
{xi ∈ E, i ∈ I}, soit vect < (xi )i∈I >= vect < {xi ∈ E, i ∈ I} >
Définition 13 (Système libres, générateurs, bases) Soit E un K espace vectoriel et (xi )i∈I ∈ E I , on dit que
la famille (xi )i∈I ∈ E I est :
P
• Libre si ∀(λi )i∈I ∈ K(I) alors
λi xi = 0 ⇒ ∀i ∈ I, λi = 0.
i∈I
Une famille qui n’est pas libre est dite liée
P
• Génératrice si E = vect < (xi )i∈I >, c’est à dire ∀x ∈ E, ∃(λi )i∈I ∈ K(I) , x =
λi xi
i∈I
• Une base de E si c’est une famille libre et génératrice.
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2.3
Propriétés des familles libres
Soit S = (~ui )i∈I ∈ E I
P
P
P1 S est libre si et seulement si ∀(λi )i∈I ∈ K(I) , ∀(βi )i∈I ∈ K(I) ,
αi ~ui =
βi ~ui ⇒ ∀i ∈ I, αi = βi
i∈I
i∈I
( P
αi u~i = ~a
i∈I
P2 S est libre si et seulement si ∀~a ∈ E le système
admet au plus une solution
(αi )i∈I ∈ K(I)
K(I)
→ E
P
P3 S est libre si et seulement si l’application : (αi )i∈I 7→
αi ~ui est injective.
i∈I
P4 Soit ~u1 ∈ E, S = (~u1 ) est libre si et seulement si ~u1 6= ~0. (~0) est lié
P5 S = (~u1 , ~u2 ) est liée si et seulement si ~u1 = ~0 ou ∃λ ∈ K, ~u2 = λ~u1
P6 S = (~ui )i∈I , (~ui )i∈I ∈ E I . S est liée si et seulement si ∃i0 ∈ I, ∃(αi )i∈I ∈ K(I) , ~ui0 =
P
αi ~ui
i∈I\{i0 }
0
P7 Soit S = (~ui )i∈I une famille libre de vecteurs de E et ~u ∈ E, on considère la famille S = (~ui )i∈I1 avec
I1 = I ∪ {α}, α ∈
/ I et ~uα = ~u
S 0 est libre si et seulement si ~u ∈
/ vect < S >
P8 Toute famille de vecteurs extraite d’une famille libre est libre.
P9 Toute famille de vecteurs contenant une sous famille liée est liée.
P10 Toute famille de vecteurs contenant le vecteur nul est liée.
2.4
Propriétés des systèmes générateurs
Soit S = (~ui )i∈I ∈ E I
( P
P1 S est un système générateur si et seulement si ∀~a ∈ E le système
αi u~i = ~a
i∈I
(αi )i∈I ∈ K(I)
admet au moins une
solution
K(I)
P2 S est un système générateur si et seulement si l’application : (αi )i∈I
→ E
P
7→
αi ~ui
est surjective.
i∈I
P3 Toute famille de vecteurs de E qui contient une sous famille génératrice de E est une famille génératrice
de E.
P4 Si (~ui )i∈I est une famille génératrice de E et (~vj )j∈J est une famille de vecteurs de E telle que
{~ui , i ∈ I} ⊂ {~vj , j ∈ J} alors (~vj )j∈J est une famille génératrice de E.
2.5
Propriétés des bases
Soit S = (~ui )i∈I ∈ E I
P1 S est une base de E si et seulement si tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire unique de
vecteurs de S.
P
Si S est une base de E et pour ~u ∈ E on a (αi )i∈I ∈ K(I) et ~u =
αi ~ui alors (αi )i∈I est le système de
i∈I
coordonnées du vecteur ~u dans la base S, pour i ∈ I, αi est la ième coordonnée de ~u dans la base S.
E → K
Avec les notations précédentes, pour i ∈ I l’application ϕi , définie par : ϕi :
qui au vecteur ~u
~u 7→ αi
∗
associe sa ième coordonnée est une forme linéaire sur E,
i ∈E
( ϕP
αi u~i = ~a
i∈I
P2 S est une base si et seulement si ∀~a ∈ E le système
admet exactement une solution
(αi )i∈I ∈ K(I)
K(I)
→ E
P
P3 S est une base si et seulement si l’application : (αi )i∈I 7→
αi ~ui est bijective (c’est alors un isoi∈I
morphisme d’espace vectoriel) .
P4
– Une base est une famille libre et maximale pour l’inclusion.
– Une base est une famille génératrice et minimale pour l’inclusion.
P5 (X n )n∈N est une base de K[X] appelée base canonique de K[X]
Kn
→ K
P6 Soit n ∈ N∗ , pour α ∈ Nn on pose fα :
αn
1
(x1 , . . . , xn ) 7→ xα
1 × · · · × xn
n
n
La famille (fα )α∈N est une base de P(K , K) appelée base canonique de P(Kn , K)
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Somme de sous-espaces vectoriels
Quelques éléments ont déjà été introduits dans ”Espaces vectoriels -premières notions”
Soit E un K espace vectoriel où K est un corps de caractéristique nulle.
Soit E1 , . . . , Ep p sous-espaces vectoriels de E
On a défini :
Somme de deux sous-espaces vectoriels :
E1 + E2 = {x1 + x2 ∈ E, (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 }, on a E1 + E2 = Vect < E1 ∪ E2 >
Somme de p sous-espaces vectoriels :
p
E1 + · · · + Ep = {x1 + · · · + xp ∈ E, (x1 , · · · , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep }, on a E1 + · · · + Ep = Vect < ∪ Ei >
i=1
3.1
Somme directe
Définition 14
On dit que les sous-espaces vectoriels E1 , . . . , Ep sont en somme directe et on note E1 ⊕ + · · · + ⊕Ep si
∀(x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × . . . × Ep , x1 + · · · + xp = 0 ⇒ x1 = · · · = xp = 0
E1 ⊕ + · · · + ⊕Ep désigne aussi le sous-espace vectoriel somme, E1 + · · · + Ep lorsque la somme est directe.
Famille de projecteurs associée à une décomposition :
Proposition 14 Soit E un K espace vectoriel, E1 , . . . Ep p sous-espaces vectoriels de E tels que E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep
n
pour i ∈ [[1, p]] soit pi la projection vectorielle sur Ei parallèlement à ⊕ Ek on a :
k=1
k6=i
• ∀i ∈ [[1, n]], p2i = pi
• ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , i 6= j, pi ◦ pj = 0
n
P
•
pi = IE où IE est l’application identité de E
i=1
Définition 15 Lorsque p = 2, on dit que sont supplémentaires si E = E1 ⊕ E2
Proposition 15 E1 et E2 sont supplémentaires si et seulement si
1. E1 ∩ E2 = {0}
2. E = E1 + E2
Exemple 3 E = K[X] et n ∈ N, P0 ∈ E, d˚P0 = n + 1 on note Kn [X] = {P ∈ E, d˚P ≤ n} le sous-espace
vectoriel constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n, et P0 K[X] = {P0 Q, Q ∈ E} l’idéal de K[X]
engendré par P0 , c’est aussi un sous-espace vectoriel de E. On a :
K[X] = Kn [X] ⊕ P0 K[X]
3.2
Somme directe en dimension finie
Théorème 1 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, E1 et E2 2 sous-espaces vectoriels de E Soit
• B1 = (e1 , . . . , ep ) une base de E1
• B2 = (ep+1 , . . . , ep+q ) une base de E2
• B = (e1 , . . . , ep+q )
On a :
1. B est un système générateur de E1 + E2
2. E = E1 + E2 si et seulement si B est un système générateur de E
3. E1 ⊕ E2 si et seulement si B est libre
4. E1 ⊕ E2 si et seulement si dim(E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2
5. E = E1 ⊕ E2 si et seulement si B est une base de E
6. E = E1 ⊕ E2 si et seulement si E1 ∩ E2 = {0} et dim E = dim E1 + dim E2
7. E = E1 ⊕ E2 si et seulement si E = E1 + E2 et dim E = dim E1 + dim E2
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Extension :
Théorème 2 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n, E1 , . . . Ep p sous-espaces vectoriels de E Soit
• B1 = (e1 , . . . , er1 ) une base de E1
• B2 = (er1 +1 , . . . , er2 ) une base de E2 , dim E2 = r2 − r1
..
.
• Bp = (erp−1 +1 , . . . , erp ) une base de Ep dim Ep = rp − rp−1
• B = (e1 , . . . , erp )
On a :
1. B est un système générateur de E1 + . . . + Ep
2. E = E1 + · · · + Ep si et seulement si B est un système générateur de E
3. E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si et seulement si B est libre
4. E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si et seulement si dim(E1 + · · · + Ep ) = dim E1 + · · · + dim Ep
5. E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si et seulement si B est une base de E
6. E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si et seulement si E1 ⊕ · · · Ep et dim E = dim E1 + · · · + dim Ep
7. E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep si et seulement si E = E1 + · · · + Ep et dim E = dim E1 + · · · + dim Ep
Exercice 1
Soit E un K espace vectoriel de dimension finie, dim E = n et p1 , · · · , pr r projecteurs de E, r ∈ N ∗ .
On suppose que p1 + · · · + pr = IE où IE est l’application identité de E.
Montrer que E = Imp1 ⊕ · · · ⊕ Impr et que ∀(i, j) ∈ [[1, r]]2 , i 6= j on a pi ◦ pj = 0
Indications :
1. On montre que si p est un projecteur alors rang(p) = tr(p) (voir :trace d’une application linéaire)
2. Comme p1 + · · · + pr = IE on en déduit que E = Imp1 + · · · + Impr
3. De p1 + · · · + pr = IE on déduit aussi trp1 + · · · + trpr = trIE puis dim E =
r
P
dim Impi
i=1
4. On a alors :
• E = Imp1 + · · · + Impr
r
P
• dim E =
dim Impi
i=1
On en déduit que : E = Imp1 ⊕ · · · ⊕ Impr voir théorème 2
5. On a aussi (p2 + · · · + pr ) = IE − p1 soit (p2 + · · · + pr ) est un projecteur, Im(p2 + · · · + pr ) = ker p1 ,
Im(p2 + · · · + pr ) ⊂ Imp2 ⊕ · · · ⊕ Impr avec dim Im(p2 + · · · + pr ) = dim ker p1 et dim (Imp2 ⊕ · · · ⊕ Impr ) =
dim E − dim Imp1 = dim ker p1 , on en déduit que Im(p2 + · · · + pr ) = Imp2 ⊕ · · · ⊕ Impr
par suite ker p1 = Imp2 ⊕ · · · ⊕ Impr et p1 ◦ pk = 0, ∀k 6= 1, on montre de même que :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , i 6= j on a pi ◦ pj = 0, et p1 , . . . , pr est la famille de projecteurs associée à la décomposition
E = Imp1 ⊕ · · · ⊕ Impr
Définition 16 (Bases adaptées)
Base adaptée à un sous-espace vectoriel :
Soit F un sous-espace vectoriel de E, dim F = p on appelle base de E adaptée au sous-espace vectoriel F
toute base B = (e1 , . . . , en ) de E telle que (e1 , . . . , ep ) soit une base de F .
Base adaptée à une décomposition E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep :
On considère une décomposition de E en somme directe de sous-espaces vectoriels, E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ep , soit
B1 = (e1 , . . . , er1 ) une base de E1 , B2 = (er1 +1 , . . . , er2 ) une base de E2 , . . . , Bp = (erp−1 +1 , . . . , erp ) une base
de Ep , B = (e1 , . . . , erp ) est alors une base de E, c’est une base adaptée à la décomposition E = E1 ⊕ · · · Ep
(remarque : rp = n)
4
Applications linéaires
Voir
• espaces vectoriels premières notions
• espaces vectoriels de dimension finie
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4.1
Image et noyau d’une application linéaire
Théorème 3
Si E et F sont deux K espaces vectoriels, u ∈ L(E, F ) et E 0 est un supplémentaire de ker u dans E
E 0 → Imu
Alors x
7→ u(x) est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Théorème 4
Soit E un K espace vectoriel et E 0 un sous espace vectoriel. On suppose que F1 et F2 sont deux sous-espaces
supplementaires de E 0 , E = E 0 ⊕ F1 , E = E 0 ⊕ F2 .
Soit p le projecteur de E sur F1 parallèlement à E 0 :
F2 → F1
L’application p1 : x
7→ p(x) est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Conséquence :
Théorème 5
Si E un K espace vectoriel et E 0 un sous espace vectoriel. On suppose que F1 et F2 sont deux sous-espaces
supplementaires de E 0 et que F1 est de dimension finie
Alors F2 est aussi de dimension finie et dim F1 = dim F2
4.2
Codimension
Définition 17
On dit qu’un sous-espace vectoriel E 0 de E est de codimension finie s’il existe un supplémentaire F de E 0 de
dimension finie, et on appelle codimension de E 0 la dimension de F , on note : codimE 0 = dim F
(cette définition ne dépend pas du supplémentaire F ).
Exemple 4 Pour n ∈ N dans K[X] et P ∈ K[X], d˚P = n on a : codimP K[X] = n
Proposition 16
Si E est de dimension finie alors tout sous espace vectoriel F est de codimension finie et dim E = dim F + codimF
4.3
Rang d’une application linéaire
Proposition 17 Soit E et F deux K espaces vectoriels et u ∈ L(E, F )
Si E ou F est de dimension finie alors Imu est de dimension finie
Définition 18 Soit E et F deux K espaces vectoriels et u ∈ L(E, F )
Si Imu est de dimension finie alors on appelle rang de u la dimension de Imu, on note rgu = dim Imu
Proposition 18 Si E et F sont deux K espaces vectoriels avec F de dimension finie et u ∈ L(E, F )
Alors ker u est de codimension finie, u est de rang fini et codim ker u = dim Imu = rgu
Proposition 19 Si E et F sont deux K espaces vectoriels avec E de dimension finie et u ∈ L(E, F )
Alors u est de rang fini et dim E = dim ker u + dim Imu
En dimension finie on retrouve le théorème du rang
Théorème 6 Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie et u ∈ L(E, F ) on a
u est un isomorphisme d’espace vectoriel si et seulement si
• dim E = dim F
• rgu = dim F
Proposition 20 Soit E, F et G trois K espaces vectoriels, u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G)on a
1. Si u est un isomorphisme d’espace vectoriel et G est de dimension finie rg(v ◦ u) = rgv
2. Si v est un isomorphisme d’espace vectoriel et E est de dimension finie rg(v ◦ u) = rgu
On ne change pas le rang d’une application linéaire par composition avec un isomorphisme d’espace vectoriel.
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4.4
Polynômes d’interpolation de Lagrange
Pour n ∈ N, soit a0 , . . . , an n + 1 éléments de K distincts deux à deux.
Kn [X] = {P ∈ K[X], d˚P ≤ n} est un sous espace vectoriel de K[X] de dimension finie n + 1
Définition 19
Les polynômes d’interpolation de de Lagrange aux points a0 , . . . , an sont les polynômes définis par :
n
Q
(X − ai )
i=0
n
n
Q
Q
πk (X)
π(X)
i6=k
∀k ∈ [[0, n]], Lk (X) = Q
= 0
avec π(X) =
(X − ak ), πk (X) =
(X − ai ) =
n
π (ak )
X
− ak
i=0
i=0
(ak − ai )
i6=k
i=0
i6=k
Proposition 21
n
P
(L0 , . . . , Ln ) est une base de Kn (X) et si P ∈ Kn (X) alors P (X) =
P (ak )Lk (X)
k=0
Proposition 22
On considère : ϕ : K[X] →
P
7→
• ϕ ∈ L(K[X], Kn+1 ),
Kn+1
(P (a0 ), . . . , P (an ))
on a :
n
Q
ker ϕ = πK[X] avec π(X) =
(X − ai )
i=0
• ϕ|Kn [X]
Kn [X] →
Kn+1
P
7→ (P (a0 ), . . . , P (an )) est un isomorphisme d’espaces vectoriels
Si (b0 , . . . , bn ) ∈ Kn+1 on a ϕ−1 ({(b0 , . . . , bn )}) =
n
P
bk Lk + LK[X]
k=0
Proposition 23
Si (b0 , . . . , bn ) ∈ Kn+1 Alors il existe un unique polynôme P ∈ Kn [X] tel que ∀k ∈ [[0, n]], P (ak ) = bk , on a
n
P
P (X) =
bk Lk (X).
k=0
5
Espace dual
Soit E un K espace vectoriel, on appelle dual de E l’espace vectoriel des formes linéaires sur E, on le note E ∗ ,
quad E ∗ = L(E, K)
Si E est de dimension finie alors dim E ∗ = dim E
5.1
Hyperplans
Définition 20 On appelle hyperplan d’un K espace vectoriel E tout sous-espace vectoriel de codimension 1.
Proposition 24 Soit H un hyperplan de E, u ∈
/ H et D = Ku la droite vectorielle engendrée par u, on a
E =H ⊕D
Proposition 25 Si ϕ ∈ E ∗ , ϕ 6= 0 alors ker ϕ est un hyperplan de E
Proposition 26 Soit H un hyperplan de E, on a :
1. L’ensemble des formes linéaires dont le noyau contient H est une droite vectorielle de E ∗
2. Pour e ∈
/ H il existe une unique forme linéaire ϕ telle que ker ϕ = H et ϕ(e) = 1
Conséquence : Si (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ E ∗ × E ∗ et ker ϕ1 = ker ϕ2 , avec ϕ1 6= 0 alors ∃λ ∈ K, λ 6= 0 tel que ϕ2 = λϕ1 .
5.2
Dualité en dimension finie
Dans ce paragraphe on suppose que E est de dimension finie dim E = n, soit B0 = (e1 , . . . , en ) une base de E.
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5.2.1
Equation d’un hyperplan
Soit ϕ ∈ E ∗ on a ϕ : E
→ K
~x = x1 e1 + · · · + xn en 7→ a1 x1 + · · · + an xn
ϕ 6= 0 ⇔ (a1 , . . . , an ) 6= (0, . . . , 0)
ker ϕ admet pour équation : a1 x1 + · · · + an xn = 0
Proposition 27 L’application θ :
E∗
ϕ
avec ∀k ∈ [[1, n]], ak = ϕ(ek )
→ Kn
est un isomorphsime d’espace vectoriel
7
→
(ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en ))
Proposition 28 Soit H1 et H2 deux hyperplans admettant pour équation respective
H1 : a1 x1 + · · · + an xn = 0
H2 : b1 x1 + · · · + bn xn = 0
on a : H1 = H2 si et seulement si ∃λ ∈ K, λ 6= 0, (b1 , . . . , bn ) = λ(a1 , . . . , an ).
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