Exercices Vrai ou faux ? Vrai Faux a) La somme 0E + 0E est directe b) Si (u, v, w ) est une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E , toute famille de 4 vecteurs de v e c t (u , v, w ) est liée. c) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d’un ev E . Alors F + G = F si et seulement si G = 0E d) Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors p ¶ dim E e) Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels non nuls E1 ⊕ E2 ⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension finie. Alors p ¶ dim E f) Une famille de p vecteurs d’un espace vectoriel est libre si et seulement si son rang est égal à p g) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E en somme directe. Alors F ⊕ G = F si et seulement si G = 0E h) L’image par une application linéaire d’une famille de vecteurs liée est liée i) l’image par une application linéaire d’une famille de vecteurs libre est libre j) L’ensemble des applications croissantes de R dans R est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applications de R dans R k) L’ensemble des applications de R dans R qui sont T périodiques , avec T > 0 est un espace vectoriel l) L’ensemble des applications périodiques de R dans R est un espace vectoriel 1 m) L’ensemble des suites périodiques à termes réels est un espace vectoriel L’ensemble des suites à termes réels de période 3 (∀n ∈ Nu n +3 = u n est un espace vectoriel de dimension 3. P o) Si u n est une série P à2termes positifs telle que u n converge, alors u n converge n) p) Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, alors E × F est un espace vectoriel de dimension dim(E ) × dim(F ) q) Si E1 , E2 , · · · , Ep sont des sous espaces vectoriels de dimension finie d’un espace vectoriel E , alors p p X X dim( Ei ¶ dim Ei , avec égalité si et seulement la i =1 i =1 somme est directe r) Dans K, l’ensemble E1 des polynômes tels que P (1) = 0 et l’ensemble des polynômes constants sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires s) Si F,G,H sont des sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie, alors F ∩ (G + H ) = F ∩ G + F ∩ H t) La réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E est encore un sous-espace vectoriel 2 Corrigés Corrigés des Vrai/Faux 3