Exercices

Exercices
Vrai ou faux ?
Vrai Faux
a) La somme 0E+0Eest directe  
b) Si (u,v,w)est une famille de vecteurs d’un espace
vectoriel E, toute famille de 4 vecteurs de v e c t (u,v,w)
est liée.
c) Soient Fet Gdeux sous espaces vectoriels d’un ev E.
Alors F+G=Fsi et seulement si G=0E
d) Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels
E1⊕E2⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension finie.
Alors p¶dim E
e) Soit une somme directe de sous-espaces vectoriels non
nuls E1⊕E2⊕ · · · Ep d’un espace vectoriel E de dimension
finie. Alors p¶dim E
f) Une famille de p vecteurs d’un espace vectoriel est libre si
et seulement si son rang est égal à p
g) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un espace
vectoriel Een somme directe. Alors F⊕G=Fsi et
seulement si G=0E
h) L’image par une application linéaire d’une famille de
vecteurs liée est liée
i) l’image par une application linéaire d’une famille de
vecteurs libre est libre
j) L’ensemble des applications croissantes de Rdans Rest
un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applications
de Rdans R
k) L’ensemble des applications de Rdans Rqui sont T
périodiques , avec T>0 est un espace vectoriel
l) L’ensemble des applications périodiques de Rdans Rest
un espace vectoriel
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EXERCICES

m) L’ensemble des suites périodiques à termes réels est un
espace vectoriel
n) L’ensemble des suites à termes réels de période 3
( ∀n∈Nun+3 = un est un espace vectoriel de dimension 3.
o) Si unest une série à termes positifs telle que Pun
converge, alors Pu2
nconverge
p) Si Eet Fsont des espaces vectoriels de dimension finie,
alors E×Fest un espace vectoriel de dimension
dim(E)×dim(F)
q) Si E1,E2,··· ,Epsont des sous espaces vectoriels de
dimension finie d’un espace vectoriel E, alors
dim(
p
X
i=1
Ei¶
p
X
i=1
dim Ei, avec égalité si et seulement la
somme est directe
r) Dans K , l’ensemble E1 des polynômes tels que P (1) = 0 et
l’ensemble des polynômes constants sont des
sous-espaces vectoriels supplémentaires
s) Si F,G,H sont des sous espaces vectoriels d’un espace
vectoriel Ede dimension finie, alors
F∩(G+H) = F∩G+F∩H
t) La réunion de deux sous-espaces vectoriels d’un espace
vectoriel Eest encore un sous-espace vectoriel
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CORRIGÉS
Corrigés
Corrigés des Vrai/Faux
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