Modélisation des Actions Mécaniques

Modélisation des actions mécaniques – Chapitre 1 Mécanique Première STI
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1. Introduction
Une action mécanique est une interaction de contact ou à distance entre solides, elle est une cause capable de:
- modifier ou d’interdire le mouvement d’un corps.
- déformer un corps.
Une action mécanique appliquée par un solide sur un autre peut être une force, un moment ou les deux à la fois.
Dans la nature, on ne peut que visualiser les effets d’une action mécanique. Pour comprendre ou prévoir le comportement d’un
mécanisme, il est nécessaire de modéliser ces A.M. par des outils mathématiques (vecteur, torseur).
2. Notion de force
2.1. Définition
Une force, en mécanique, désigne l’effort qui tend à faire se translater un solide. Elle est modélisée par l'outil
mathématique vecteur. Elle se défini par :
- Son point d’application.
- Sa direction (droite support de la force)
- Son sens (d’un côté ou de l’autre de la droite support)
- Sa norme (intensité) exprimée en Newton (N).
2.2. Forces à distance
2.2.1. La pesanteur
La loi universelle de la gravitation formulée en 1687 par Isaac NEWTON permet d’expliquer pourquoi nous avons
les pieds sur Terre. Selon cette loi, deux corps (1 et 2) s’attirent mutuellement avec une force dont l'intensité est
proportionnelle à leurs masses (m
1
et m
2
) et inversement proportionnelle au carré de la distance (d) qui les sépare :
1 2
2
G.m .m
F = d
avec G = 6,67.10
-11
N.m².kg
-2
, constante de gravitation universelle.
Exemples :
Quelques caractéristiques de la Terre : masse : m
T
= 6,76.10
24
kg rayon : r
T
= 6,778.10
6
m ( 6778 km)
Vous qui vous promenez sur la Terre à 6778 km de son centre, savez-vous quelle est l'intensité de la force qu'elle
exerce sur vous ?
Pour le savoir il vous faut d'abord connaître votre masse : m = 70 KG
Vous pouvez alors calculer l'intensité de la force que la Terre exerce sur vous, que l'on appelle le poids :
( )
-11 24
T
22 6
T
G.m .m 6,67.10 ×6,76.10 ×70
P = = = 9,81×70 = 687 N
r6,778.10
Recalculer votre poids lorsque vous êtes dans un avion à 10000m d’altitude.
( )
( )
-11 24
T
2 2
6 4
T
G.m .m 6,67.10 ×6,76.10 ×70
P = = = 9,786×70 = 685 N
r +10000 6,778.10 +10
Application à la mécanique :
Le poids se calcule couramment de la façon suivante: P = m.g P --> poids en Newtons (N)
m --> masse en kg
g --> accélération de pesanteur (9,81 m/s²)
Caractéristiques de cette force notée
P
: - point d’application : le centre de gravité du solide noté G.
- direction : toujours verticale
- sens : vers le bas (centre de la terre)
- intensité : m.g en Newtons
2.2.2. Forces magnétiques, électrostatiques, …
Ces forces seront données si besoin est dans les différents exercices.
M
M
o
o
d
d
é
é
l
l
i
i
s
s
a
a
t
t
i
i
o
o
n
n
d
d
e
e
s
s
A
A
c
c
t
t
i
i
o
o
n
n
s
s
M
M
é
é
c
c
a
a
n
n
i
i
q
q
u
u
e
e
s
s
N
N
o
o
t
t
i
i
o
o
n
n
d
d
e
e
f
f
o
o
r
r
c
c
e
e
s
s
,
,
d
d
e
e
m
m
o
o
m
m
e
e
n
n
t
t
s
s

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1
A
B
C
2
Charge répartie
q en N/m
y
x
2.3. Forces de contact
Dès lors qu’il y’a contact entre deux solides, une liaison mécanique se crée (ex : pivot, glissière…). Les efforts
transmissibles entre ces 2 solides sont propres à chacune des 11 liaisons déjà vues dans un chapitre précédent.
Nous verrons ultérieurement les efforts transmissibles par les liaisons.
a) Contact ponctuel
Le contact entre les deux solides (1 et 2) se fait suivant un seul point A, la force
A
transmissible de l’un à l’autre a
comme caractéristiques :
- point d’application A : Celui du contact.
- direction : Normale (perpendiculaire) au plan tangent commun au contact.
- sens : Vers la matière du solide isolé (celui pour lequel on regarde
quelles actions mécaniques agissent dessus).
- norme :
A
définie par le problème.
b)
Contact linéique
Dans le cas d’une répartition uniforme, on peut remplacer cette charge linéique q (en N/m) par une action
concentrée en C au milieu du contact [AB] telle que
1/2
C = q×l
avec l la longueur du segment [AB].
c)
Contact surfacique solide/solide ou fluide/solide
Dans le cas d’un contact surfacique, une quantité infinie de petites forces s’exercent au contact, et forment ce qui
s’appelle la pression notée p. Si cette pression est uniforme, on peut la remplacer par une seule force
F
appliquée
au centre géométrique de la surface de contact.
Exemple d’un vérin:
F = p x S
N Pascal (Pa) m²
daN bar cm²
N Mpa mm²
F --> force
p --> pression
S --> surface de contact
Rappel: 1 Mpa = 1 N/mm² = 10 bars
A
Normale au plan
tangent commun
2
1
P
lan
tangent
commun
A
Normale au plan
tangent commun
2
1
P
lan
tangent
commun
A
2
1
Normale au plan
tangent commun
P
lan
tangent
commun
1/2
A
: force appliquée
par le solide 1 sur le
solide 2
2/1
A
: force appliquée
par le solide 2 sur le
solide 1
1
x
y
A
B
C
2
1/2
C
x
y
z
Action du
fluide
(pression)
Tige du
vérin 1
G
x
y
z
G
F
Tige du
vérin 1
pression

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A
B
F
Sens
trigonométrique
α
Direction de la
force F
A
B
α
F
Direction de la
force F
Clef Cas général
A
M (F) = + AB sin F
α
× ×
Positif car
tendance à la rotation
dans le sens trigonométrique
Le moment est maximum
(en N.m)
quand
:
* F est maximum (en Newton)
* AB est maximum (en mètre)
* sin
α
est égal à 1 (
α
= 90°)
Sens
trigonométrique
d)
Force exercée par un ressort
La force exercée par un ressort dépend de deux paramètres:
- Sa raideur K issue du diamètre du fil, du nombre de spires, du
matériau…)
- La valeur de sa déformation ( ℓ - ℓ
0)
F = | K x ( ℓ - ℓ
0
) | K --> raideur en N/m
ℓ --> longueur déformée du ressort en m
ℓ
0 --> longueur libre (au repos) du ressort en m
3. Notion de moment, couple
3.1. Définition
Un moment ou un couple, en mécanique, désigne l'effort
en rotation autour un axe. Le moment et le couple sont
modélisés par l'outil mathématique vecteur. Ils se
définissent par :
- Le point d’application : point ou l’on calcule le
moment (A).
- La direction : droite perpendiculaire au plan formé
par
F
et A.
- Le sens : sens trigonométrique positif par
convention.
- La norme (intensité) : exprimée en Newton x mètre
(N.m).
Ecriture :
A
M (F)
signifie Moment calculé au point A
engendré par la force
F
.
3.2. Calcul d’un moment
3.2.1. Cas général dans le plan
Reprenons l’exemple de la clef, en vue de dessus, sur laquelle s’exerce une force
F
inclinée.
F
F
ℓ
ℓ
0
ℓ
A
F
B
A
F
B
Couple
A
C = 2 M (F)
×
Tendance du
mouvement
A
A
F
F
Tendance du
mouvement
Moment
A
M (F)
Moment
Couple

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3.2.2. Bras de levier
Dans certains problèmes, la distance d appelée bras de levier, est connue (ou bien l’angle
α
est égal à 90°).
Le bras de levier d est la distance la plus courte entre le point A où l’on calcule le moment, et la direction de la force
F
.
3.2.3. Théorème de Varignon (1654-1722)
Enoncé du théorème :
Le moment en A de la résultante
R
de plusieurs forces
1 2 3
, , ...
F F F
concourantes est égal à la somme des
moments en A de ces différentes forces.
d
A
B
F
Sens
trigonométrique
Direction de la
force F
A
B
F
Direction de la
force F
Clef Cas général
Dans ce cas
le moment est égal à
:
A
M (F) = + F d
×
Positif car tendance à la rotation
dans le sens trigonométrique
Sens
trigonométrique
d
A
B
F
A
B
F
Clef Cas général
On remplace la force
F
par ses 2 composantes,
x
F
et
y
F
, puis on fait la somme des moments en A engendrés par ces deux
forces (attention en faisant la somme, au signe de ces 2 moments).
A A x A y
M (F) = M (F ) + M (F )
Inférieur à zéro
globalement car
F
à
tendance
à faire
tourner autour de A
dans le sens horaire.
y
x
y
x
y
F
x
F
x
F
y
F
Application à la clef Application au cas général
A A x A y
x y
y
M (F) = M (F ) + M (F )
= F 0 + F AB
= F AB > 0
× ×
×
Positif car tendance à la rotation
autour de A dans le sens
trigonométrique A A x A y
x y y x
M (F) = - M (F ) + M (F )
= - F d + F d <
0
× ×
d
x
d
y
Négatif car tendance à la
rotation autour de A dans
le sens horaire
Positif car tendance à la
rotation autour de A dans
le sens trigonométrique
Supérieur à zéro globalement
car
F
à tendance
à faire
tourner autour de A dans le
sens trigonométrique.