Nombres trigonométriques irrationnels – Construction graphique

LGL Cours de Mathématiques 2004
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Nombres trigonométriques irrationnels – Constructions graphiques d’angles correspondants
Remarque préliminaire : Dans chacun de ces exemples, il est important de conserver, au sein d’un
même exemple, l’unité de référence inchangée.
A Construction géométrique de l’angle ß sachant 315
tan 4 β=
Comme le nombre 15 est irrationnel, il faut d’abord une construction géométrique
« indirecte » pour ce nombre trigonométrique.
Exprimons le radicande 15 comme somme ou différence de deux carrés parfaits :
(
)
2
22
15 16 1 16 1 15 4 1 15=− ⇔ =+ ⇔ =+
Comme cette dernière relation est une relation de Pythagore dans un triangle rectangle et
connaissant la propriété du cercle de Thalès, nous construisons le cercle de Thalès de
diamètre 4.
15ST =(unités de longueur)
Pour construire le nombre 315
4, il faut utiliser le théorème de Thalès. Sachant que
415
15 4 =, on relie les points A et S. Parallèlement à AS, on relie le point B ( 3
4
TB
=
du
diamètre) au point P. La longueur cherchée est alors 315
4
TP =.
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Beran - NombresTrigonometriquesIrrationnels.doc Trigonométrie - 1 -

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Construisons ensuite le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1OT
=
et la
perpendiculaire à AO élevée en T. Cette droite est la droite tangente au cercle
trigonométrique. En rabattant la distance TP sur cette perpendiculaire, nous retrouvons la
longueur 315
4 comme étant TU .
En reliant U à O, nous obtenons l’angle β=
n
TOU
315
tan 4 β=
En mesurant cet angle, on trouve β≈ . 71°
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B Construction géométrique de l’angle ß sachant 12
sin 5 β=
Exprimons le radicande 12 comme somme ou différence de deux carrés parfaits :
(
)
2
22
12 16 4 16 4 12 4 2 12=− ⇔ =+ ⇔ =+
Les nombres 2 et 12 sont donc les longueurs des cathèdes d’un triangle rectangle
d’hypoténuse 4.
La longueur 12ST = (unités de longueur). Cette longueur correspondant à 5
5, il suffit de tracer la
droite parallèle à PS passant par Q pour obtenir 12
5
RT =.
En reportant dans un cercle trigonométrique cette longueur sur l’axe des sinus orienté positivement,
puisque , on obtient le point D tel que sin 0x>12
5
RT OD== . La droite perpendiculaire à l’axes
des sinus est l’ensemble de tous les points ayant 12
5 comme ordonnée. Les deux points
d’intersection M et M’ de cette droite avec le cercle trigonométrique nous fournissent deux angles
et π− supplémentaires. La mesure en degrés de l’angle ββ
β
: 44
β
š.
Remarque : Pour construire un angle dont on connaît le nombre trigonométrique irrationnel en
cosinus, il suffit de reporter la mesure irrationnelle sur l’axe des cosinus.