Feuille d`exercices n˚5 Nombres complexes et trigonométrie (partie 2)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚5
Nombres complexes et trigonom´etrie (partie 2)
Exercice 19 (Calcul de quelques valeurs de cosinus et sinus)
1. Soient θ∈h0,π
2i. Montrer que :
cos θ
2=r1 + cos(θ) 2et sin θ 2=s1−cos2θ 2.
Indication : On pourra remarquer que 2×θ
2=θet appliquer une des formules de duplication pour ´etablir
la premi`ere identit´e.
2. D´eduire de la question 1 les valeurs de cos π
8et sin π 8, puis celles de cos π 16et sin π 16.
3. D´eduire de la question 1 les valeurs de cos π
12et sin π 12, puis celles de cos π 24et sin π 24.
Exercice 20 (Lin´earisation d’une expression trigonom´etrique)
1. (a) Soit θ∈R. Lin´eariser cos4(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonction f:R→R;x7→ cos4(x).
2. (a) Soit θ∈R. Lin´eariser sin6(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonction g:R→R;x7→ sin6(x).
3. (a) Soit θ∈R. Lin´eariser sin4(θ) cos3(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonction h:R→R;x7→ sin4(x) cos3(x).
Exercice 21 (Calcul de cos(π
5))
1. Soit θ∈R. Montrer que :
sin(5θ) = (16 cos(θ)4−12 cos(θ)2+ 1) sin(θ).
Indication : On pourra remarquer que sin(5θ) = Im(ei5θ)et appliquer la formule de Moivre.
2. R´esoudre l’´equation 16x4−12x2+ 1 = 0 d’inconnue x∈R.
3. En d´eduire que cos π
5=1 + √5 4.
Indication : On pourra commencer par appliquer la formule obtenue en 1 `a un r´eel θjudicieusement choisi.
Exercice 22 (Calculs de quelques sommes trigonom´etriques)
Soient t∈Ret n∈N∗.
1. Calculer
n
X
k=0
sin(kt).
2. Calculer
n
X
k=0 n
kcos(kt).
3. Calculer
n
X
k=0 n
k(−1)ksin(kt).
1

Exercice 23 (Formes exponentielles)
1. Exprimer sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
z1=−1 + i;z2=1−√3i
1 + i
2. Soit (a, b)∈]0, π[2. Exprimer le nombre complexe eia +eib sous forme exponentielle.
Exercice 24 (Calculs de puissances)
1. Calculer 1−i√3npour tout n∈N.
Le r´esultat sera pr´esent´e en distinguant plusieurs cas, suivant le reste de la division euclidienne de npar
un entier `a d´eterminer.
2. D´eterminer les entiers naturels ntels que 1−i√3n∈R.
Exercice 25 (´ Equations du type acos(x) + bsin(x) = cde param`etre (a, b, c)∈R3, d’inconnue x∈R)
1. Soient (a, b)∈R2tels que ab 6= 0 et soit x∈R. Justifier qu’il existe r∈R>0et ϕ∈Rtels que :
acos(x) + bsin(x) = rcos(x+ϕ).
2. R´esoudre l’´equation √3 cos(x) + sin(x) = 2
d’inconnue x∈R.
3. R´esoudre l’´equation
cos(x) + 2 sin(x) = 3
d’inconnue x∈R.
Exercice 26 (Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul)
D´eterminer les racines carr´ees des nombres complexes suivants.
z1=i;z2= 2i−3 ; z3=√2 + i√6.
Exercice 27 (´ Equation du second degr´e `a coefficients complexes)
1. R´esoudre l’´equation
(E1) : z2+ 2z+ 3 = 0
d’inconnue z∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E2) : z2+ 2z−i= 0
d’inconnue z∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E3) : 2iz2+ (1 + i)z−1 = 0
d’inconnue z∈C.
3. Soit θ∈]0, π[.
(a) Justifier que l’´equation
(E4) : z2−2θ+1 cos(θ)z+ 22θ= 0
d’inconnue z∈C, poss`ede deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux solutions de (E4) sous forme trigonom´etrique.
(c) On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→ u , −→ v) et on consid`ere les points Aet Bdont les affixes
sont les solutions de (E). D´eterminer θde mani`ere `a ce que OAB soit un triangle ´equilat´eral.
2

Exercice 28 (Racines n-i`emes d’un complexe (n∈N≥2))
1. On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→ u , −→ v). Soit n∈N∗. Pour tout k∈N, on note Mkle point du
plan d’affixe e2iπk
n.
(a) Calculer la longueur MkMk+1 pour tout k∈N.
(b) En d´eduire une propri´et´e g´eom´etrique remarquable des npoints du plan dont les affixes sont les
racines n-i`emes de l’unit´e.
2. D´eterminer les racines sixi`emes de l’unit´e et les repr´esenter graphiquement.
3. D´eterminer les racines cinqui`emes de iet les repr´esenter graphiquement.
4. D´eterminer les racines quatri`emes de i
1 + i
et les repr´esenter graphiquement.
Exercice 29 (Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆome de degr´e 2)
1. R´esoudre le syst`eme
(S1) : 
a+b=19
3
ab = 2
d’inconnue (a, b)∈C2.
2. R´esoudre le syst`eme
(S2) : a3+b3= 1 −i
(ab)3=−i
d’inconnue (a, b)∈C2.
Exercice 31 (Exponentielle complexe)
1. R´esoudre l’´equation
ez=−2
d’inconnue z∈C.
2. R´esoudre l’´equation
e2z+ (i−2)ez−2i= 0
d’inconnue z∈C.
3