Exercice 23 (Formes exponentielles)
1. Exprimer sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
z1=−1 + i;z2=1−√3i
1 + i
2. Soit (a, b)∈]0, π[2. Exprimer le nombre complexe eia +eib sous forme exponentielle.
Exercice 24 (Calculs de puissances)
1. Calculer 1−i√3npour tout n∈N.
Le r´esultat sera pr´esent´e en distinguant plusieurs cas, suivant le reste de la division euclidienne de npar
un entier `a d´eterminer.
2. D´eterminer les entiers naturels ntels que 1−i√3n∈R.
Exercice 25 (´
Equations du type acos(x) + bsin(x) = cde param`etre (a, b, c)∈R3, d’inconnue x∈R)
1. Soient (a, b)∈R2tels que ab 6= 0 et soit x∈R. Justifier qu’il existe r∈R>0et ϕ∈Rtels que :
acos(x) + bsin(x) = rcos(x+ϕ).
2. R´esoudre l’´equation √3 cos(x) + sin(x) = 2
d’inconnue x∈R.
3. R´esoudre l’´equation
cos(x) + 2 sin(x) = 3
d’inconnue x∈R.
Exercice 26 (Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul)
D´eterminer les racines carr´ees des nombres complexes suivants.
z1=i;z2= 2i−3 ; z3=√2 + i√6.
Exercice 27 (´
Equation du second degr´e `a coefficients complexes)
1. R´esoudre l’´equation
(E1) : z2+ 2z+ 3 = 0
d’inconnue z∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E2) : z2+ 2z−i= 0
d’inconnue z∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E3) : 2iz2+ (1 + i)z−1 = 0
d’inconnue z∈C.
3. Soit θ∈]0, π[.
(a) Justifier que l’´equation
(E4) : z2−2θ+1 cos(θ)z+ 22θ= 0
d’inconnue z∈C, poss`ede deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux solutions de (E4) sous forme trigonom´etrique.
(c) On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→
u , −→
v) et on consid`ere les points Aet Bdont les affixes
sont les solutions de (E). D´eterminer θde mani`ere `a ce que OAB soit un triangle ´equilat´eral.
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