Planètes

Proposition de correction du sujet des Mines de Douai 2007
(épreuve commune)
Exercice de Mécanique - Planètes
réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
référentiel : lié à l'étoile, considéré galiléen
système : planète P
r
G Me MP r
1. f = –
er
r2
r
r
r r
dL O
2. D'après le théorème du moment cinétique,
= MO( f ) = OP ∧ f = 0
dt
r
r
⇒ L = OP ∧ MP v P est constant au cours du temps
r
r
r
⇒ OP ∧ v P = C , où C est constant
r
⇒ OP  C
r
⇒ P se déplace dans le plan orthogonal à C passant par O
⇒ le mouvement est plan (plan passant par O et perpendiculaire à (Oz))
r
car OP // f
r
r
r
Le mouvement est circulaire ⇒ v = &r e r + r θ& e θ
r
r
L = OP ∧ MP v P = MP
⇒ L = MP r2 θ&
[ r er
r
(
r
r
∧ r& e r + rθ& e θ
)]
r
= MP r2 θ& e z
r
r
3.1. D'après la relation fondamentale de la dynamique, Mp a = f
r
r
r
Le mouvement est circulaire ⇒ r = cte = R ⇒ a = – R θ& 2 e r + R &θ& e θ
Or vc = R θ& ⇒
v2 r
dv c r
r
eθ
a = – c er +
R
dt
⇒ Mp
–
v c2
R
=
dv c
dt
⇒
0
dv c
= 0
dt
M p v c2
–
R
G Me MP
R2
–
⇒ vc est constante
= –
G Me MP
R2
⇒ v c2 =
G Me
R
⇒ vc =
G Me
R
3.2. La planète parcourt, à vitesse constante, la distance d = 2πR pendant une durée ∆t = T
⇒ T =
⇒
2π R
=
vc
4π 2
T2
=
GM e
R3
G Me
R
3.3. vc =
⇒ vc =
3
2π R
GM e
R
Em
R3
GM e
⇒ T2 =
4π 2 R 3
GM e
3ème loi de Kepler
⇒
v 6c =
G 3 M 3e
4π 2 G 2 M e2
4π 2
3
3
×
=
=
G
M
e
R3
GM e T 2
T2
2πGM e
T
1
1
3.4. Ec = Mp v c2 =
Mp
2
2
Ep = –
= 2π
 2πGM e

T




2/3
G Me MP
= – Mp v c2
R
1
1
1
= Ec + Ep = Mp v c2 – Mp v c2 = – Mp v c2 = – Mp
2
2
2
 2πGM e

T




2/3
r
4.1. e = –
r
r r
L
L
de
v + eθ ⇒
= –
GM e M p
GM e M p
dt
r
r
de θ
dv
+
dt
dt
r
de θ
r
Or
= – θ& e r
dt
r
r
G Me MP r
dv
Mp
= f = –
er
dt
r2
r
G Me r
dv
⇒
= –
er
dt
r2
et d'après la relation fondamentale de la dynamique,
r
r
r
L
r
L
de
 G Me  r
On obtient donc :
= –
× −
e r – θ& e r
 e r – θ& e r =
2
2
GM e M p
dt
r 
M pr

Or on a montré à la question 2. que L = MP r2 θ&
r
r
r
r
de
⇒
= θ& e r – θ& e r = 0
dt
r
⇒ le vecteur e est constant
4.2.

r  r
r r
r
L
r r
L
L
v + e θ  . eθ = –
v . eθ + 1 = 1 –
e . eθ =  −
× r θ&
 GM M

GM
M
GM
M
e
p
e
p
e
p


Or
L = MP r2 θ&
On obtient ainsi :
⇒ r θ& =
L
Mpr
r r
e . eθ = 1 –
L2
GM e M 2p r
– ݁Ԧ
θ
r r
r r
D'après le schéma, (– e ). e θ = e cos θ ⇒ e . e θ = – e cos θ
⇒ – e cos θ = 1 –
L2
GM e M 2p r
⇒ r =
L2
GM e M 2p × (1 + e cos θ)
⇒ r =
p
1 + e cos θ
,
avec
⇒ 1 + e cos θ =
p=
L2
GM e M 2p r
L2
GM e M 2p
4.3. Pour une trajectoire circulaire, e = 0
4.4.
r
r
L = OP ∧ MP v P
r
Pour un mouvement circulaire, à tout instant, le vecteur vitesse v P est perpendiculaire au vecteur
r
position r = OP
De plus, r = cte = R
⇒ L = M p R vc
r
r r
r
Pour un mouvement circulaire, e = 0 et v = vc e θ ⇒ –
⇒ –
L
vc + 1 = 0 ⇒
GM e M p
⇒ v c2 =
⇒ vc =
GM e
R
GM e
R
vc =
GM e M p
L
=
r
r
r
L
vc e θ + e θ = 0
GM e M p
GM e M p
M p Rv c
=
GM e
Rv c