2P010 Méthodes Mathematiques 1 : Analyse Vectorielle

2P010
M´ethodes Mathematiques 1 : Analyse Vectorielle
TABLE DES MATIERES
1. Rappel, d´efinitions : Syst`emes de coordonn´ees (cart´esiennes, sph´eriques, cylin-
driques, polaires), fonctions scalaires, en 2D et 3D (en 2 et 3 dimensions, dans R2et
R3), fonctions vectorielles, ou champs de vecteurs, en 2D et 3D; exemples des fonctions,
exprim´es en coordonn´ees diff´erents.
2. Bases mobiles dans les coordonn´ees curvilignes.
2.1. Rappel sur la base des coordonn´ees cart´esiennes.
2.2. Bases mobiles des coordonn´ees curvilignes. Les bases mobiles des coordonnees
sph´eriques, cylindriques, polaires. Facteurs g´eom´etriques des coordonn´ees curvilignes.
Volumes d’int´egration exprim´es en facteurs g´eom´etriques, dans le cas des coordonn´ees
curvilignes orthogonalles.
2.3. Exemples des projections (de d´ecomposition) des champs de vecteurs sur des
bases mobiles diff´erentes.
3. Int´egrales dans R2et R3. Th´eor`eme de Fubini. Exemples des calculs.
3.1. Int´egrales dans R2. Exemples de calculs des int´egrales, dans les coordonn´ees
cart´esiennes et polaires.
3.2. Int´egrales dans R3. Exemples de calculs des int´egrales, dans les coordonnees
cart´esiennes et sph´eriques.
1

4. Gradient d’une fonction scalaire : en cordonn´ees cart´esiennes, en coordonn´ees
curvilignes, op´erateur ’nabla’ dans le cas des coordonn´ees cart´esiennes; exemples-exercies
des calculs du gradient pour plusieurs fonctions scalaires, en coordonn´ees cart´esiennes et
en coordonn´ees sph´eriques.
4.1. D´eriv´ee dans la direction ~n; deux propri´et´e du gradient; exemples des surfaces
de niveau et des gradients pour des fonctions diff´erentes.
4.2. Compl´ement : d´eveloppement limit´e d’une fonction de plusieurs variables. Ap-
plication pour la d´erivation du potentiel d’un petit dipˆole ‘a partir de deux potentiels de
Coulomb.
5. Divergence d’une fonction vectorielle. Th´eor`eme d’Ostrogradski.
D´efinition d’un flux d’un champ de vecteurs `a travers une surface.
Divergence en coordonn´ees cart´esiennes, divergence en coordonnees curvilignes, leur
d´emostrations g´eom´etriques `a partir de la d´efinition ind´ependante des coordonn´ees.
Exemples-exercices de calculs de la divergence pour des champs de vecteurs diff´erents,
en coordonn´ees cart´esiennes et en coordonn´ees sph´eriques.
Premiere th´eoreme int´egrale : th´eoreme d’Ostrogradski, sa d´emonstration g´eom´etrique.
5.1 Compl´ement : Exemples des calculs des flux en coordonnees cartesiennes; expres-
sions pour les composantes de d~r et d~s en coordonn´ees differentes; exemples des calculs
des flux en coordonnees sph´eriques; calculs sont faits directement, d’apr`es la definition
de flux, et par le th´eoreme d’Ostrogradski dans le cas des surfaces ferm´ees.
6. Rotationnel d’une fonction vectorielle. Circulation. Th´eor`eme de Stokes.
D´efinition de la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un chemin.
Rotationnel d’un champ de vecteur en coordonnn´ees cart´esienn´ees et en coordonn´ees
curvilignes, leur d´emonstration g´eommetrique `a partir de la d´efinition du rotationnel
ind´ependante des coordonn´ees.
Deuxieme th´eoreme int´egrale : th´eoreme de Stokes et sa d´emonstration g´eometrique.
2

6.1. Compl´ement : Exemples des calculs des circulations en coordonnees cartesiennes;
rappel des formules pour les composantes du verteur d~r en coordonnees differentes; ex-
emple de calcul en coordonnees cylindriques; Les calculs sont faits directement, d’apr`es la
d´efinition de la circulation, et par le th´eoreme de Stokes, dans le cas des chemins ferm´es.
7. Laplacien, en coordonn´ees cart´esiennes et en coordonn´ees curvilignes; exemples
d”applications : ´equation d’ondes et equation de Poisson en l’electrostatique.
Exemples-exercices des calculs du laplacien pour des fonctions scalaires diff´erentes :
calculs en coordonn´ees cartesiennes, et ensuite, pour les memes fonctions, en coordonn´ees
sph´eriques; les expressions simplifiees pour le laplacien en coordonnees spheriques et
cylindriques dans les cas des sym´etries particuli`eres des fonctions.
8. Formules diff´erentielles, et leurs d´emonstrations, pour ~ grad(f·g), div(f·~ A),
div ~ rot ~ A= 0, div( ~ A∧~ B), ~ rot(f·~ A), ~ rot ~ gradf= 0, ~ rot( ~ rot ~ A).
9. Deux exemples d’applications physiques.
9.1. Premi`ere application physique : un cas simple d’´electrostatique.
9.2. Deuxi`eme application physique : un cas simple de magn´etistatique.
10. ´ Equations diff´erentielles d’ordre 1.
10.1. ´ Equations diff´erentielles d’ordre 1 qui sont solubles par la s´eparation des vari-
ables. M´ethode de r´esolution. Rˆole des conditions initiales. Exemples, exercices.
10.2. ´ Equations d’ordre 1 lin´eaires avec des coefficients et second membre variables :
´equations de la forme f0(t) + A(t)f(t) = B(t). M´ethodes de leurs r´esolution. Rˆole des
conditions initiales. Exemples, exercices.
11. Equations diff´erentielles d’ordre 2 avec des coefficients constants mais le second
membre variable : ´equations de la forme f00(t)+Af0(t)+Bf(t) = C(t). M´ethodes de leurs
r´esolution. Cas particuliers avec des seconds membres particuliers. Rˆole des conditions
3

initiales et des conditions aux limites. Exemples, exercices.
12. Annexe 1. Calcul des d´eriv´ees.
13. Annexe 2. Calcul des int´egrales par la primitive.
14. Annexe 3. S´eries de Taylor. D´eleloppement en s´eries enti`eres des fonctions
classiques.
4

1 Rappel, d´efinitions.
Un point Pdans l’espace r´eel R3, en 3 dimensions spacialles, sera marqu´e par un vecteur
~r =~ OP , avec des composantes (x, y, z) qui sont les coordonn´ees cart´esiennes de ce point,
Fig.1:
~
OP ≡~r =
x
y
z
(1.1)
Dans les coordonn´ees sph´eriques, ce mˆeme point sera pr´esent´e par les param`etres
(r, Θ, φ) o`u
r=qx2+y2+z2
Θ = arctan √x2+y2
z= arcsin √x2+y2
√x2+y2+z2
φ= arctan y
x= arcsin y
√x2+y2(1.2)
– Fig.2.
Dans les coordonn´ees cylindriques, ~r sera pr´esent´e par les param`etres (ρ, φ, z), o`u
ρ=qx2+y2
φ= arctan x
y= arcsin y
√x2+y2
z=z(1.3)
– Fig.3.
Dans le cas de l’espace r´eel R2, en 2 dimensions spacialles, le point Psera marqu´e
par un vecteur ~ρ, avec des composantes (x, y) qui sont les coordonn´ees cart´esiennes de
ce point, Fig.4 :
~
OP =~ρ =
x
y
(1.4)
Dans les coordonn´ees polaires, dans R2, ce mˆeme point sera pr´esent´e par les param`etres
(ρ, φ), o`u
ρ=qx2+y2
5