Rapports Trigonométriques dans le triangle

V*1
V
V
2010/2100
V
V
Sbikha
V
V
V*
V
V
V
Rapports Trigonométriques dans le triangle
V
V
rectangle
V
V
V
Oans un triangle rectangle, il existe des relations entre les cotés et
V
les angles de ce triangle. On nomme ces relations rapports
V
trigonométriques .
V
V
1/ Les côtés d'un triangle rectangle
V
V
V
V
V
l < il
ï] ip< '!%£
V
V
V
V
'11' ilij j
'.1 \ I
V
V
V
Oans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle
V
droit ; le côté opposé à un angle aigu est celui qui lui fait face ; le
V
V
côté adjacent à un angle aigu est le côté de l'angle qui n'est pas
V
l'hypoténuse.
V
V
V
II/ Rapports trigonométriques d'un angle aigu
V
V
1- Définitions :
V
V
(a). Sinus d'un angle aigu
V
V
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au
V
V
rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur
V
de l'hypoténuse.
V
V
V
Sin = côté opposé / hypoténuse
V
V
V
V
V" 'V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V'
voir.fh
I
ÿ'
ÿ<
jt.
touIïs 1rs
I Oui kl
V*1
V
V
2010/2100
V
V
Sbikha
V
V
V*
V
(b). Cosinus d'un angle aigu
V
V
V
bans triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au
V
rapport entre la longueur du côté adjacent à cette angle et la
V
V
longueur de l'hypoténuse.
V
V
Cos = côté adjacent / hypoténuse
V
V
(c). Tangente d'un angle aigu
V
V
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égal au
V
V
rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur
V
du côté adjacent à cet angle.
V
V
V
Tan = côté opposé / côté adjacent
V
V
2- Exercice d'application
V
V
Soit ABC un triangle rectangle en A telle que AC=3cm et BC=5cm
V
V
1-Calculer AB.
V
V
2- Déterminer sin {acbÿ . cos (a cb jet tan [acbÿ .
V
V
V
III/ Calculs dans le triangle rectangle
V
(Avec la calculatrice)
V
V
bans les calculs trigonométriques, la calculatrice est très souvent
V
nécessaire.
V
On utilise les touches sin, cos et tan.
V
V
V
bans un triangle rectangle, si on connaît un côté et un angle aigu,
V
on peut calculer les deux autres côtés et l'autre angle aigu.
V
V
V
V
V
V
V
V
V" 'V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V'
touIïs 1rs
voir.+n
h Gui kl
V*1
V
V
2010/2100
V
V
Sbikha
V
V
V*
V
Dans un triangle rectangle, si on connaît deux cotés, on peut
V
V
calculer le troisième côté et les deux angles aigus.
V
V
Exercice d'application :
V
V
Activité 5page 40
V
V
V
IV/Angles remarquables
V
V
1- Activités 4 page 39
V
V
2- Retenir
V
V
30°
45°
60°
90°
Angle 6
V
V
V
1
Sin ( 6)
1
V
2
2
2
V
V
0
Cos ( 0 )
1
V
4~2
>/3
V
2
2
2
V
V
1
Tan [0]
//
£
S
V
V
3
V
V
V
3- Exercice d'application
V
V
V
On considère le triangle DCB et[ÿC] la hauteur du triangle DCB
V
issu de C
V
V
V
Telle que CDB =45° et dbc = 30° et DC = 2cm
V
V
1- Déterminer AC et AD.
V
V
2- (a) montrer que se = 2s(2cm .
V
V
V
V
V
V" 'V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V'
touIïs 1rs
voir.+n
h Gui kl
V*1
V
V
2010/2100
V
V
Sbikha
V
V
V*
V
(b) déduire queDB = 2V2 ( 1 + V3 )<:•/?/ .
V
V
V
V/ Formules trigonométriques
V
V
1-Activités 6page 40
V
V
2- RETENONS :
V
V
Pour tout angle aigu x, on a la relation suivante entre cos(x) et
V
V
sin(x) :
V
V
Cos2(x) + sin2(x) = 1
V
V
L'expression cos2(x) désigne le carré du cosinus de l'angle x, c'estV
V
à-dire cos2 (x) =cos(x) x cos(x). Oe même pour sin2(x).
V
V
Pour tout angle aigu x, on a la relation suivante entre cos(x), sin(x)
V
V
et tan(x) :
V
V
Tan(x) = sin(x) / cos(x).
V
V
3- Exercice d'application
V
V
V
Soit #un angle aigu tel que sin (é')=ÿ •
V
V
l-(a) déterminerais (<9) .
V
V
V
(b) déduire tan (0)
V
V
2- soit ÿun angle aigu tel que ÿ + #=900.
V
V
V
Déduire cosset sin (ÿ)
V
V
VI/ Relations métriques dans un triangle rectangle
V
V
1- Activité 7page40:
V
V
V
V
V" 'V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V'
voir.+n
touIïs 1rs
h Gui kl
V
V*
V
2- Retenons
V
V
Soit Le triangle ABC est rectangle en A. On a trace la hauteur [AH] issue de A.
V
V
On a:
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
BA2 = BH X BC.
V
V
CA2 = CH X CB.
V
V
BC2 = AB2 + AC2
V
V
. BC X AH = AB X AC.
V
AH2 = HB X HC
V
V
V
3- Exercice d'application
V
V
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3cm et AC=4cm et
V
V
BC=5 cm.
V
V
1-Montrer que le triangle abc est rectangle en A.
V
V
V
2- Soit [AH]. La hauteur issue de A
V
V
12
(a) montrer que AH= -cm .
V
V
V
(b) déterminer CH et BH.
V
V
V
V
V
V
V
V
V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V-V'
ftrtu 1rs
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I Oui kl