Cours 3ème Trigonométrie A la fin de ce chapitre, je dois savoir: G20 : Connaître/utiliser les relations du sinus (pour calculer un angle aigu ou une longueur). G21 : Connaître/utiliser les relations de la tangente (pour calculer un angle aigu ou une longueur). -1 -1 -1 G22 : Utiliser les touches cos / cos / sin / sin / tan / tan de la calculatrice pour déterminer une valeur approchée. 2 2 G23 : Connaître / utiliser les relations cos a + sin a = 1 et tan a = sin a / cos a . I. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle. Soit ABC un triangle rectangle en A. Le côté opposé (c’est-à-dire en face) à l’angle droit s'appelle ……………………………………… . Ici c’est …………… ̂: Si on s’intéresse à l’angle 𝑩 ̂ est …………………… Le côté opposé à l’angle 𝑩 ̂ est …………………… Le côté adjacent à l’angle 𝑩 ̂ : Si on s’intéresse à l’angle 𝑪 ̂ est …………………… Le côté opposé à l’angle 𝑪 ̂ est …………………… Le côté adjacent à l’angle 𝑪 Remarque : 𝐵̂ + 𝐶̂ = 90°. Dans un triangle rectangle, • le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; • le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; • la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………. Remarques : Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. La tangente d'un angle aigu est un nombre supérieur à 0. Démonstration: Sur la figure ci-contre, A et A' sont deux points de la demidroite [Ox). Les perpendiculaires à [Ox) passant respectivement par A et A' coupent [Oy) en B et B'. Donc (B'A')//(BA). Appliquons le thm de Thalès, OA′ OA = OB′ OB En utilisant le produit en croix, on a: = 𝑂𝐴′ 𝑂𝐵′ A′ B′ AB 𝑂𝐴 . = 𝑂𝐵 et 𝐴′𝐵′ 𝑂𝐵′ = 𝐴𝐵 𝑂𝐵 , la valeur de ces quotients ne dépend pas du positionnement de A' mais de l'angle en O. On a donc introduit le cosinus et le sinus, on fait de même pour la tangente. Exemple: Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle ̂ puis la formule donnant la tangente de l'angle 𝑅𝐶𝑂 ̂. 𝐶𝑂𝑅 …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. II. METHODE: Calculer des longueurs. ̂ = 62°. On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et 𝐸𝐿𝑂 Calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre. …………………………………………………………...……. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. III. METHODE: Calculer la mesure d'un angle. Soit FUN un triangle rectangle en U tel que UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm. ̂ arrondie au degré. Calcule la mesure de l'angle 𝑈𝑁𝐹 …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. ………………………………………………………………….. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. …………………………………………………………………. IV. Utiliser les formules de trigonométrie. ̂ sin 𝐵 Pour tout angle aigu 𝐵̂, (cos 𝐵̂ )² + (sin 𝐵̂ )² = 1 𝑒𝑡 tan 𝐵̂ = cos 𝐵̂ . Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos ² 𝐵̂ + sin ² 𝐵̂ = 1 .