Terminale S Exercices sur les suites Exercice 1 On consid`ere la

Terminale S Exercices sur les suites
Exercice 1 On consid`ere la suite (vn) d´efinie par v0= 3 et pour tout n≥1, vn+1 =v2
n−3vn+ 4.
1. D´emontrer que la suite est croissante.
2. D´emontrer que si la suite (Vn) converge vers lalors l= 2.
3. D´emontrer par l’absurde que vnn’est pas major´ee.
4. En d´eduire la limite de la suite.
Exercice 2 R´epondre par vrai ou faux en le justifiant :
1. Si une suite n’est pas major´ee,alors elle a pour limite +∞.
2. Si une suite est major´ee, alors elle est convergente.
3. Une suite `a termes strictement positifs d´ecroissante converge vers 0.
4. Une suite d´ecroissante minor´ee par 1, converge vers 1.
Exercice 3 On consid`ere la suite ud´efinie pour tout nentier par :
un+1 = 0,2un+ 0,6
u0=−1
1. (a) D´emontrer que la suite (vn) d´efinie par : vn=Un−0.75 est g´eom´etrique.
(b) Exprimer alors vnpuis unen fonction de n.
2. En d´eduire la limite de u.
3. Donner en fonction de n, l’expression de : Sn=u0+u1+u2+... +un.
4. Quelle est la limite de Sn?
Exercice 4 On consid`ere la suite ud´efinie par u0= 0 et pour tout entier n≥1, un+1 =p0,5u2
n+ 8.
1. Calculer u1et u2.
2. D´emontrer par r´ecurrence que :
0≤un≤un+1 ≤8
3. (a) En d´eduire que la suite uest convergente vers un r´eel l.
(b) D´emontrer que lest solution d’une ´equation et d´eterminer l.
4. On souhaite obtenir l’expression de unen fonction de n.
(a) D´emontrer que la suite vd´efinie par vn=u2
n−16 est g´eom´etrique.
(b) En d´eduire l’expression de vpuis de uen fonction de n.
Exercice 5 On consid`ere la suite ud´efinie par : un= 1 + 1
√2+1 √3+1 √4+... +1 √n.
1. Un ´el`eve affirme le r´esultat suivant :
Sachant que lim
n→+∞
1
√n= 0, je pense que la limite de la suite u, si elle existe, ne peut pas ˆetre infinie, ni
mˆeme d´epasser 10 !
(a) Qu’en pensez-vous ?
(b) Que fait l’algorithme suivant ?
Entr´ee(s) Saisir la valeur de A
uprend la valeur 1
kprend la valeur 1
tant que u≤Afaire
kprend la valeur de k+ 1
uprend la valeur u+1
√k
fin du tant que
Sortie(s) Afficher k
Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN

Terminale S Exercices sur les suites
(c) Ex´ecuter cet algorithme sur votre calculatrice en saisissant en entr´ee A= 10, A = 100 puis A= 1000.
(d) La conjecture de l’´el`eve est-elle bonne ?
2. Montrer que pour tout n≥1 et pour tout entier kcompris entre 1 et n, on a : 1
√n≤1 √k≤1.
3. En d´eduire que un≥net enfin la limite de u.
Exercice 6 On consid`ere le quart de disque ci-contre, de rayon 1 et de centre O.On souhaite d´eterminer l’aire A
du domaine D, compris entre les axes du rep`ere et le quart de cercle.
Pour cela, on cr´ee :
– une suite Inde rectangles inf´erieurs de largeur 1
n, dont la somme des aires donne un minorant de A.
– une suite Snde rectangles sup´erieurs 1
n, dont la somme des aires donne un majorant de A.
0.5
1.0
0.5 1.0
1. D´emontrer que les deux suites Snet Insont convergentes.
2. A l’aide d’un algorithme que l’on programmera d´eterminer la limite commune `a ces deux suites.
Exercice 7 On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0= 1 et, pour tout entier naturel n,
un+1 =√2un.
1. On consid`ere l’algorithme suivant :
Variables : nest un entier naturel
uest un r´eel positif
Initialisation : Demander la valeur de n
Affecter `a ula valeur 1
Traitement : Pour ivariant de 1 `a n:
— Affecter `a ula valeur √2u
Fin de Pour
Sortie : Afficher u
(a) Donner une valeur approch´ee `a 10−4pr`es du r´esultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n= 3.
(b) Que permet de calculer cet algorithme ?
(c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approch´ees obtenues `a l’aide de cet algorithme pour certaines
valeurs de n.
n1 5 10 15 20
Valeur affich´ee 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999
Quelles conjectures peut-on ´emettre concernant la suite (un) ?
2. (a) D´emontrer que, pour tout entier naturel n, 0< un62.
(b) D´eterminer le sens de variation de la suite (un).
Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN

Terminale S Exercices sur les suites
(c) D´emontrer que la suite (un) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On consid`ere la suite (vn) d´efinie, pour tout entier naturel n, par vn= ln un−ln 2.
(a) D´emontrer que la suite (vn) est la suite g´eom´etrique de raison 1
2et de premier terme v0=−ln 2.
(b) D´eterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vnen fonction de n, puis de unen fonction de
n.
(c) D´eterminer la limite de la suite (un).
(d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compl´eter par les instructions du traitement et de la sortie, de
fa¸con `a afficher en sortie la plus petite valeur de ntelle que un>1,999.
Variables : nest un entier naturel
uest un r´eel
Initialisation : Affecter `a nla valeur 0
Affecter `a ula valeur 1
Traitement :
Sortie :
Exercice 8 Partie A : ´etude d’une fonction
On consid`ere la fonction fd´efinie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
f(x) = x
ln x
Ci-apr`es, on a trac´e dans un rep`ere orthogonal la courbe Crepr´esentative de la fonction fainsi que la droite
Dd’´equation y=x.
1. ´ Etudier les variations de la fonction fsur l’intervalle ]1 ; +∞[.
2. En d´eduire que si x>e alors f(x)>e.
Partie B : ´etude d’une suite r´ecurrente
On consid`ere la suite (un) d´efinie par :
u0= 5
pour tout entier naturel n, un+1 =f(un)
1. Sur l’annexe jointe, `a rendre avec la copie, en utilisant la courbe Cet la droite D, placer les points A0, A1et
A2d’ordonn´ee nulle et d’abscisses respectives u0, u1et u2. On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un) ?
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un>e.
(b) D´eterminer les variations de la suite (un).
(c) En d´eduire que la suite (un) est convergente.
(d) D´eterminer sa limite ℓ.
3. On donne l’algorithme suivant :
Xest une variable r´eelle ; Yest une variable enti`ere
Affecter 5 `a Xet 0 `a Y
Tant que X > 2,72
Faire
Affecter (X/ ln X) `a X
Affecter Y+ 1 `a Y
Fin de Tant que
Afficher Y
Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN

Terminale S Exercices sur les suites
`
A l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, d´eterminer la valeur affich´ee par l’algorithme.
n01 2 3 4 5
un53,1066746728 2,7406525323 2,7183726346 2,71828183001 2,7182818285
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1234567
Ox
y
Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN