Terminale S Exercices sur les suites Exercice 1 On consid`ere la

Terminale S
Exercices sur les suites
Exercice 1 On considère la suite (vn ) définie par v0 = 3 et pour tout n ≥ 1, vn+1 = vn2 − 3vn + 4.
1. Démontrer que la suite est croissante.
2. Démontrer que si la suite (Vn ) converge vers l alors l = 2.
3. Démontrer par l’absurde que vn n’est pas majorée.
4. En déduire la limite de la suite.
Exercice 2 Répondre par vrai ou faux en le justifiant :
1. Si une suite n’est pas majorée,alors elle a pour limite +∞.
2. Si une suite est majorée, alors elle est convergente.
3. Une suite à termes strictement positifs décroissante converge vers 0.
4. Une suite décroissante minorée par 1, converge vers 1.
Exercice 3 On considère la suite u définie pour tout n entier par :
un+1 = 0, 2un + 0, 6
u0 = −1
1. (a) Démontrer que la suite (vn ) définie par : vn = Un − 0.75 est géométrique.
(b) Exprimer alors vn puis un en fonction de n.
2. En déduire la limite de u.
3. Donner en fonction de n, l’expression de : Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un .
4. Quelle est la limite de Sn ?
Exercice 4 On considère la suite u définie par u0 = 0 et pour tout entier n ≥ 1, un+1 =
1. Calculer u1 et u2 .
2. Démontrer par récurrence que :
p
0, 5u2n + 8.
0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 8
3. (a) En déduire que la suite u est convergente vers un réel l.
(b) Démontrer que l est solution d’une équation et déterminer l.
4. On souhaite obtenir l’expression de un en fonction de n.
(a) Démontrer que la suite v définie par vn = u2n − 16 est géométrique.
(b) En déduire l’expression de v puis de u en fonction de n.
1
1
1
1
Exercice 5 On considère la suite u définie par : un = 1 + √ + √ + √ + ... + √ .
n
2
3
4
1. Un élève affirme le résultat suivant :
1
Sachant que lim √ = 0, je pense que la limite de la suite u, si elle existe, ne peut pas être infinie, ni
n→+∞ n
même dépasser 10 !
(a) Qu’en pensez-vous ?
(b) Que fait l’algorithme suivant ?
Entrée(s) Saisir la valeur de A
u prend la valeur 1
k prend la valeur 1
tant que u ≤ A faire
k prend la valeur de k + 1
1
u prend la valeur u + √
k
fin du tant que
Sortie(s) Afficher k
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(c) Exécuter cet algorithme sur votre calculatrice en saisissant en entrée A = 10, A = 100 puis A = 1000.
(d) La conjecture de l’élève est-elle bonne ?
1
1
2. Montrer que pour tout n ≥ 1 et pour tout entier k compris entre 1 et n, on a : √ ≤ √ ≤ 1.
n
k
3. En déduire que un ≥ n et enfin la limite de u.
Exercice 6 On considère le quart de disque ci-contre, de rayon 1 et de centre O.On souhaite déterminer l’aire A
du domaine D, compris entre les axes du repère et le quart de cercle.
Pour cela, on crée :
1
– une suite In de rectangles inférieurs de largeur , dont la somme des aires donne un minorant de A.
n
1
– une suite Sn de rectangles supérieurs , dont la somme des aires donne un majorant de A.
n
1.0
0.5
0.5
1.0
1. Démontrer que les deux suites Sn et In sont convergentes.
2. A l’aide d’un algorithme que l’on programmera déterminer la limite commune à ces deux suites.
Exercice 7 On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
un+1 =
√
2un .
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
n est un entier naturel
u est un réel positif
Demander la valeur de n
Affecter à u la valeur 1
Pour i variant de 1 à n : √
— Affecter à u la valeur 2u
Fin de Pour
Afficher u
(a) Donner une valeur approchée à 10−4 près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.
(b) Que permet de calculer cet algorithme ?
(c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines
valeurs de n.
n
Valeur affichée
1
1,4142
5
1,9571
10
1,9986
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un ) ?
2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 < un 6 2.
(b) Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
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15
1,9999
20
1,9999
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(c) Démontrer que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
3. On considère la suite (vn ) définie, pour tout entier naturel n, par vn = ln un − ln 2.
1
(a) Démontrer que la suite (vn ) est la suite géométrique de raison et de premier terme v0 = − ln 2.
2
(b) Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn en fonction de n, puis de un en fonction de
n.
(c) Déterminer la limite de la suite (un ).
(d) Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de
façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que un > 1, 999.
Variables :
Initialisation :
n est un entier naturel
u est un réel
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 1
Traitement :
Sortie :
Exercice 8 Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
x
ln x
Ci-après, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite
D d’équation y = x.
f (x) =
1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
2. En déduire que si x > e alors f (x) > e.
Partie B : étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un ) définie par :
u0 =
5
pour tout entier naturel n, un+1 = f (un )
1. Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points A0 , A1 et
A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0 , u1 et u2 . On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un ) ?
2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un > e.
(b) Déterminer les variations de la suite (un ).
(c) En déduire que la suite (un ) est convergente.
(d) Déterminer sa limite ℓ.
3. On donne l’algorithme suivant :
X est une variable réelle ; Y est une variable entière
Affecter 5 à X et 0 à Y
Tant que X > 2, 72
Faire
Affecter (X/ ln X) à X
Affecter Y + 1 à Y
Fin de Tant que
Afficher Y
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À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
n
un
0
5
1
2
3
4
5
3,1066746728
2,7406525323
2,7183726346
2,71828183001
2,7182818285
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
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6
7
x