Etudier la monotonie des suites (un)n∈N

TS2-Devoir maison n˚1
Exercice 1 :
Etudier la monotonie des suites (un )n∈N :
n
1. un = n
3
2. un = n2 (3 − n)
3. un = 3n + (−1)n
Exercice 2 :
On considère la suite (un ) définie par
u0 = 1
pour tout entier naturel n
un+1 = un + 2n + 3
1. Etudier la monotonie de la suite (un ).
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2
3. Que peut-on en déduire sur la limite de la suite (un ) ?
4. Après avoir calculé les premiers termes de la suite (un ), conjecturer une expression de un en
fonction de n, puis démontrer cette conjecture.
Exercice 3 : Bonus cactus
Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n nombres entiers strictement
positifs x1 , x2 , . . . xn tels que :
1
1
1
+
+···+
=1
x1 x2
xn
TS2-Devoir maison n˚1
Exercice 1 :
Etudier la monotonie des suites (un )n∈N :
n
1. un = n
3
2. un = n2 (3 − n)
3. un = 3n + (−1)n
Exercice 2 :
On considère la suite (un ) définie par
u0 = 1
pour tout entier naturel n
un+1 = un + 2n + 3
1. Etudier la monotonie de la suite (un ).
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2
3. Que peut-on en déduire sur la limite de la suite (un ) ?
4. Après avoir calculé les premiers termes de la suite (un ), conjecturer une expression de un en
fonction de n, puis démontrer cette conjecture.
Exercice 3 : Bonus cactus
Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n nombres entiers strictement
positifs x1 , x2 , . . . xn tels que :
1
1
1
+
+···+
=1
x1 x2
xn