0 Introduction aux mathématiques pour le lycée

0 Introduction aux mathématiques pour le
lycée
0.1 Les ensembles de nombres en mathématiques
L’ensemble des entiers positifs, aussi appelés entiers naturels, est noté N;
L’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire les nombres munis d’un signe, est noté Z.
Remarque : tout entier naturel est en entier relatif : 3 = +3 (N⊂Z) ;
L’ensemble des décimaux, c’est-à-dire des nombres à virgule qui s’écrivent avec un nombre fini
de chiffres, est noté D.
Remarque : tout entier relatif est un décimal : −2 = −2.0 (Z⊂D).
L’ensemble des rationnels, c’est-à-dire des nombres fractionnaires, est noté Q.
Remarque : tout décimal est un rationnel : 2,105 = 2 105
1000 =421 200 (D⊂Q).
L’ensemble des réels, c’est-à-dire tous les nombres connus, rationnels et irrationnels, est noté R.
Remarque : tous les rationnels sont des réels (Q⊂R).
Attention : la calculette ne donne qu’une valeur décimale approchée des rationnels non décimaux
ou des irrationnels : √2≈1,41421, π≈3,141592653589, . . .
Certaines calculatrices récentes permettent cependant de manipuler les nombres rationnels non
décimaux ou irrationnels en utilisant leur écriture non décimale, tels que 22
7,√2 ou π.
Exercices :
— démonstration de l’irrationnalité de √2 (secret des Pythagoriciens) ;
— approximation de √2 par une fraction Å4
3,17 12,24 17,577 408 ≈1,4142157, 816 577 ,665 857 470 832ã.
0.2 Quelques notations mathématiques indispensables
1. x∈Rsignifie « xappartient à l’ensemble R» (xest un nombre réel).
2. L’intersection de deux ensembles Aet Best l’ensemble des éléments qui appartiennent
à la fois àAet àB, noté A∩B
Exemple : ] − ∞ ; 2] ∩]−2 ; +∞[ = ] −2 ; 2]
3. La réunion de deux ensembles Aet Best l’ensemble des éléments qui appartiennent à A
ou àB(ou les deux à la fois), noté A∪B
Exemple : [−3 ; 5] ∪]−1 ; 7[ = [−3 ; 7[
0.3 Notion de raisonnement mathématique
0.3.1 L’implication
« Si il pleut, alors le sol est mouillé » : si la proposition P, « il pleut », est vraie, alors la
proposition Q, « le sol est mouillé », est vraie ; c’est une implication et on note : (P)⇒(Q)
Remarque : la proposition Qpeut être vraie même si la proposition Pest fausse (le sol peut
être mouillé pour une autre raison), mais si la proposition Pest vraie, alors la proposition Q
1

Maths 2gt 0. Introduction aux mathématiques pour le lycée prog 2009
est nécessairement vraie.
Exemples :
si x=−3, alors x2= 9 :
(x=−3) ⇒(x2= 9)
mais la réciproque n’est pas vraie, car on obtient aussi x2= 9 lorsque x= 3 !
donc :
(x2= 9) ⇒(x= 3 ou x=−3)
si ABC est rectangle en B, alors AC2=AB2+BC2:
(ABC rectangle en B)⇒(AC2=AB2+BC2)
et la réciproque est ici vérifiée, car :
si AC2=AB2+BC2, alors ABC est rectangle en B:
(AC2=AB2+BC2)⇒(ABC rectangle en B)
Pour démontrer une implication on peut utiliser plusieurs implications successives.
0.3.2 L’équivalence
Il y a équivalence entre deux propositions Pet Qsi (P)⇒(Q)et (Q)⇒(P)
On note : (P)⇔(Q).
Exemple : Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
P: « un triangle est rectangle »
Q: « un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés »
en effet on a vu (en classe de quatrième) que : (P)⇒(Q) et (Q)⇒(P),
donc on a bien l’équivalence : (P)⇔(Q).
Pour exprimer une équivalence entre deux propositions, c’est-à-dire le théorème direct et sa
réciproque, on utilise l’expression si et seulement si.
Exemple : « Un triangle est rectangle si et seulement si il est inscrit dans un cercle de diamètre
l’un de ses côtés. »
0.3.3 Les quantificateurs
Quantificateur universel :∀se lit « quel(le)(s) que soi(en)t »
Exemple : Si dest la médiatrice de [AB], la proposition « Tout point Mde dest équidistant
des extrémités Aet B» s’écrit :
∀M∈d,MA =MB
Quantificateur existentiel :∃se lit « il existe (au moins) un(e) »
Exemple : La proposition « Il existe (au moins) un réel xdont le carré est égal à 9 » s’écrit :
∃x∈R, tel que : x2= 9
(en effet la proposition est vraie puisque x= 3 ou x=−3 conviennent).
math4
bac – 2 – v1.618