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UPVM Sciences THEME N°2 : G.Lauton ; D-M Bissengue ;N.Gonzalez
DAEU-B MATHS NOMBRES RATIONNELS ET REELS 2009/2010
I) DECIMAUX ET RATIONNELS
Ex I.1
1) a) Le nombre
Error!
est-il décimal1 ?
b) Effectuer la division de 13 par 11. Donner une tron-
cature2 au millième du quotient, puis un arrondi au millième.
c) Peut-on prévoir quels seront les 15ième et 20ième
chiffre après la virgule si l’on poursuit la division de 13 par 11 ?
2) On considère le nombre a = 3,128282828….dont la par-
tie décimale se poursuit par une alternance sans fin de
2 et de 8.
a) Calculer la différence 1000a – 10a.
b) En déduire que le nombre a est un nombre ration-
nel3 que l’on précisera.
Ex I.2
1) Citer deux nombres entiers, deux nombres décimaux et
deux nombres rationnels.
2) Le nombre 2 est-il décimal ? Est-il rationnel ? Pour-
quoi ?
3) Le nombre 3,55 est-il rationnel ? Pourquoi ?
4) Le nombre
Error!
est-il rationnel ? Est-il décimal ? Pour-
quoi ?
5) Compléter :
Un nombre entier est un aussi un nombre ………………………………………
et……………………………………………
Ainsi, l’ensemble des nombres entiers (noté ……………………..)
est ……………………………………. dans l’ensemble des nombres déci-
maux (noté ……………………………) qui est lui-même ………………
dans l’ensemble des nombres rationnels (noté ………………………)
II) DES NOMBRES QUI NE SONT PAS RATIONNELS..
Ex II.1 : a) Connaissez-vous des nombres qui ne sont pas ra-
tionnels ? Lesquels ?
b) Tracer des un segment de longueur 2, puis
des segments de longueur 3 et 7
Ex II.2 : Calculs de radicaux..
1) La structure métallique de la tour Eiffel a une masse de
7 300 000 kg environ pour une hauteur de 293 m (sans l’antenne de
télécommunication). Sylvère, qui a 11 ans, en achète un modèle ré-
duit (du même métal), ne pesant qu’un kilogramme.
2) Le modèle réduit a-t-il la taille d’un verre à moutarde, du haut
d’une chaise ou la taille de Sylvère?
3) ANJ est un triangle tel que AN = 3 + 5 et AJ = 1,
P est le point du segment [AJ] tel que AP = 3 - 5, et B le point
d’intersection de la droite (AN) et de la droite parallèle à (NJ)
passant par P. Calculer NB.
4) Montrer qu’un carré de côté 20 + 1 et un rectangle de
dimensions 45 – 1 et 5 + 3 ont le même périmètre. Ont-
ils la même aire ?
5) Quelle est la valeur exacte du rayon d’un disque d’aire
1m2. Calculer la valeur exacte de son périmètre et la compa-
rer à celle d’un carré d’1m de côté.
6) Écrire les nombres sous la forme a b (aЄZ, bЄℕ)
a) 6 5 – 20 – 45
b) 3 3 + 5 12 - 75
7) Développer et réduire :
a) ( 2 + 3)2
b) ( 2 - 5)2
c) (2 5 + 6)(2 5 - 6)
d) Soit l’expression A(x) = (x - 3)2 – (x + 3)2, x Є ℝ
a) Développer A(x)
b) Factoriser A(x)
c) Calculer A( 5)
8) Montrer que
Error!
a pour inverse
Error!
9) Soit B = 3 + 2 2 - 3 - 2 2
C =
Error!
Montrer que B2 est un nombre entier, et que C est un
nombre rationnel
L’ensemble des nombres réels est noté ………………………………
VOCABULAIRE
1Nombre décimal : C’est un nombre qui peut
s’écrire avec un nombre fini de chiffres der-
rière la virgule, autrement dit que s’écrit sous la
forme a × 10p (où a et p sont des entiers rela-
tifs).
2Troncature : C’est une valeur approchée d’un
nombre ; pour avoir une troncature on « coupe »
de la partie décimale d'un nombre à un certain
nombre de chiffres après la virgule. Par
exemple, la troncature de 12,2687 au dixième
est 12,2, et la troncature de 12,2687 au cen-
tième est 12,26.
3Nombre rationnel : C’est un nombre qui peut
s'exprimer comme le quotient de deux entiers
relatifs.
4Un peu d’histoire….Pythagore avait découvert
que certains segments ne sont pas mesurables,
au sens où on l’entendait à l’époque. Ainsi, on ne
savait pas exprimer, sous forme de fraction, la
longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, ce
nombre que l’on note aujourd’hui 2. Ces
nombres nouveaux, appelés de nos jours irra-
tionnels, ont posé beaucoup de problèmes aussi
bien scientifiques que philosophiques aux ma-
thématiciens de l’époque et il a fallu attendre le
IXème siècle (environ 1500 ans après Pytha-
gore) pour qu’on les considère comme de vrais
nombres. Pythagore, effrayé par sa découverte,
a gardé ses résultats secrets, réservés à de
rares initiés.