Corrigé de la feuille d`exercices n

Corrigé de la feuille d’exercices no7
Mathématiques spéciales
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
Exercice 1.
On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A, +,×)l’ensemble de ses éléments nilpotents,
i.e. l’ensemble des éléments x∈Apour lesquels il existe n≥1tel que xn= 0. Démontrer que
le nilradical de Aest un idéal de A.
Correction.
Notons N(A)le nilradical de A. D’abord 0∈N(A)qui est donc non vide. Prenons ensuite a∈A,
x, y ∈N(A), et m, n de sorte que xm=yn= 0. Remarquons d’abord que
(ax)m=amxm= 0
et donc ax ∈N(A). De plus, par la formule du binôme de Newton, on a
(x+y)n+m−1=
n+m−1
k=0 n+m−1
kxkyn+m−1−k.
Or, si k≥m, alors xk= 0 et si k < m, c’est-à-dire k≤m−1, alors n+m−1−k≥net
yn+m−1−k= 0. On a bien (x+y)n+m−1= 0 et x+y∈N(A). Il est très facile de vérier que
l’on a aussi −x∈A. Finalement, on a bien prouvé que N(A)est un idéal de A.
Exercice 2.
Exercice 2.
On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de Z2.
1. Soit Iun anneau de Z2et I1={x∈Z; (x, 0) ∈I},I2={y∈Z; (0, y)∈I}. Démontrer
que I1et I2sont deux idéaux de Z.
2. Démontrer que I=I1×I2.
3. Conclure.
Correction.
1. I1est non-vide car (0,0) ∈I. Soient x, y ∈Iet k∈Z. Alors (x−y, 0) = (x, 0) −(y, 0) ∈I
et (kx, 0) = (k, 2025) ×(x, 0) ∈Id’où x−yet kx ∈I1.I1est un idéal de Z2et la preuve
est similaire pour I2.
2. Soit (x, y)∈I1×I2. Alors (x, 0) ∈I,(0, y)∈Id’où (x, y) = (x, 0) + (0, y)∈I. Ainsi, on a
I1×I2⊂I. Réciproquement, si (x, y)∈I, alors (x, 0) = (1,0) ×(x, y)∈Iet donc x∈I1.
De même, y∈I2et donc (x, y)∈I1×I2.
3. Zétant principal, il existe des entiers aet btels que I1=aZet I2=bZ. Alors d’après la
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question précédente, I=aZ×bZ= (a, b)Z2et donc Z2est principal.
Exercice 3.
Exercice 3.
Résoudre les systèmes suivants :
(S1)x≡5mod 9
x≡2mod 21 (S2)4x≡2mod 7 8x≡4mod 11 (S3)x≡3mod 6 3x≡6mod 9
Correction.
Exercice 4.
Exercice 4.
Soit A∈Mn(R). On note C={M∈Mn(R); AM =MA}. Montrer que Cest une algèbre.
Correction.
Il sut de démontrer que Cest une sous-algèbre de Mn(R), c’est-à-dire à la fois un sous-anneau
et un sous-espace vectoriel de Mn(R). Remarquons que la matrice nulle 0et Insont membres de
C. De plus, pour tous M, N ∈Aet tout λ∈R, alors on vérie facilement que :
1. MN ∈A;
2. λM ∈A;
3. M−N∈A.
Donc Aest une algèbre comme sous algèbre de Mn(R).
Exercice 5.
Exercice 5.
Pour a, b, c ∈R, on note
M(a, b, c) = 
a b c
c a b
b c a 
et E={M(a, b, c); a, b, c ∈R}. Démontrer que Eune algèbre, et en donner une base en tant
qu’espace vectoriel.
Correction.
On va prouver que Eest une sous-algèbre de M3(R). Pour cela, notons
A=
0 1 0
0 0 1
1 0 0 
et B=
0 0 1
1 0 0
0 1 0 
.
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Alors il est clair que E=Vect(I3, A, B)et que la famille (I3, A, B)est libre. On en déduit que E
est un sous-espace vectoriel de M3(R)de dimension 3. De plus, un calcul rapide montre que
M(a, b, c)M(a′, b′, c′) = M(aa�+bc�+cb�, ab�+a�b+cc�, ac�+a�c+bb�).
Eest stable par produit matriciel, et c’est une sous-algèbre de M3(R).
Exercice 6.
Exercice 6.
Soient K, L deux corps et soit f:K→Lun morphisme d’anneaux.
1. Démontrer que si x∈K\{0K}, alors f(x)est inversible, et déterminer son inverse.
2. En déduire qu’un morphisme de corps est injectif.
Correction.
1. Soit x∈K\{0K}. Alors on a x·x−1= 1K. On applique fà cette identité, et en utilisant
que fest un morphisme d’anneaux, on trouve
f(x)·f(x−1) = 1L.
Ainsi, f(x)est inversible, d’inverse f(x−1).
2. Il sut de démontrer que le noyau de fest réduit à 0K. Mais si f(x) = 0, alors x/∈K\{0K}
d’après la question précédente, et donc x= 0.
Exercice 7.
Exercice 7.
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
1. X4+ 5X3+ 12X2+ 19X−7par X2+ 3X−1;
2. X4−4X3−9X2+ 27X+ 38 par X2−X−7;
3. X5−X2+ 2 par X2+ 1.
Correction.
1. Le quotient est X2+ 2X+ 7, le reste est nul ;
2. Le quotient est X2−3X−5, le reste est X+ 3 ;
3. Le quotient est X3−X−1, le reste est X+ 3.
Exercice 8.
Exercice 8.
Déterminer les pgcd suivants :
1. P(X) = X4−3X3+X2+ 4 et Q(X) = X3−3X2+ 3X−2;
2. P(X) = X5−X4+ 2X3−2X2+ 2X−1et Q(X) = X5−X4+ 2X2−2X+ 1 ;
3. P(X) = Xn−1et Q(X) = (X−1)n,n≥1.
3

Correction.
1. On applique l’algorithme d’Euclide. Le dernier reste non-nul donne un pgcd des deux po-
lynômes. On a successivement :
X4−3X3+X2+ 4 = (X3−3X2+ 3X−2)X+ (−2X2+ 2X+ 4)
X3−3X2+ 3X−2 = (−2X2+ 2X+ 4) −X
2+ 1+ 3X−6
(−2X2+ 2X+ 4) = (3X−6) ×−2X
3−2 3.
Un pgcd est donc 3X−6(ou X−2).
2. On répète le même procédé :
X5−X4+ 2X3−2X2+ 2X−1 = (X5−X4+ 2X2−2X+ 1)1 + 2X3−4X2+ 4X−2
X5−X4+ 2X2−2X+ 1 = (2X3−4X2+ 4X−2)((X2)/2 + X/2) + X2−X+ 1
2X3−4X2+ 4X−2=(X2−X+ 1)(2X−2) + 0
Un pgcd des deux polynômes est donc X2−X+ 1.
3. Les diviseurs non-constants de Qsont les polynômes du type c(X−1)p, avec 1≤p≤n.
Parmi ces diviseurs, seuls ceux de la forme c(X−1) divisent aussi P(par exemple, car 1
est racine simple et non double de P, ou bien parce qu’on sait comment décomposer Pen
produits d’irréductibles...). Ainsi, P∧Q=X−1.
Exercice 9.
Exercice 9.
Décomposer en produits d’irréductibles de R[X]les polynômes suivants :
1. X4+ 1 2. X8−13.(X2−X+ 1)2+ 1
Correction.
1. On commence par chercher les racines complexes pour factoriser dans C[X], puis on re-
groupe les racines complexes conjuguées.
X4+ 1 = (X−eiπ/4)(X−e3iπ/4)(X−e7iπ/4)(X−e9iπ/4)
=(X−eiπ/4)(X−e9iπ/4)(X−e3iπ/4)(X−e7iπ/4)
= (X2−√2X+ 1)(X2+√2X+ 1).
Les deux polynômes de degré 2 que l’on obtient n’ont pas de racines réelles, ils sont donc
irréductibles dans R[X].
2. On commence par utiliser une identité remarquable, puis la réponse à la question précé-
dente :
X8−1 = (X4−1)(X4+ 1)
= (X2−1)(X2+ 1)(X2−√2X+ 1)(X2+√2X+ 1)
= (X−1)(X+ 1)(X2+ 1)(X2−√2X+ 1)(X2+√2X+ 1).
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3. On commence par factoriser le polynôme dans C[X]en remarquant qu’il s’agit alors d’une
diérence de deux carrés :
(X2−X+ 1)2+ 1 = (X2−X+ 1)2−i2= (X2−X+ 1 −i)(X2−X+1+i).
On factorise alors chacun des polynômes de degré 2 dans C, par exemple en calculant leur
discriminant ou en remarquant que i(resp. −i) sont des racines évidentes. On trouve :
(X2−X+ 1)2+ 1 = (X+i)(X−1−i)(X−i)(X−1 + i).
En regroupant les termes conjugués, on trouve nalement :
(X2−X+ 1)2+ 1 = (X2+ 1)(X2−2X+ 2).
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit Dl’ensemble des nombres décimaux,
D=n
10k;n∈Z, k ∈N.
Démontrer que (D,+,×)est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles ?
Correction.
On va prouver que (D,+,×)est un sous-anneau de (Q,+,×). On remarque d’abord que D⊂Q,
puis que 1∈D. De plus, soient x=n
10ket y=m 10ldeux éléments de D. Alors
x−y=n10l−m10k
10k+let xy =nm 10k+l
sont clairement des éléments de D, et (D,+,×)est bien un sous-anneau de (Q,+,×).<br>
Déterminons ensuite les inversibles de (D,+,×). Soit x=n
10kinversible, d’inverse y=m 10l. Alors
xy = 1 ⇐⇒ nm = 10k+l.
On en déduit que les seuls diviseurs premiers de nsont 2et 5, autrement dit que ns’écrit ±2p5q
pour p, q ∈N. Réciproquement, soit x=±2p5q
10ket montrons que xest inversible dans D. Posons
y=±10k
2p5q. Il sut de vérier que yest élément de D. Mais on peut aussi écrire
y=±10k2q5p
2p+q5p+q=±10k2q5p 10p+q∈D.
Ainsi, les inversibles de (D,+,×)sont les éléments ±2p5q
10k, avec p, q, k ∈N.
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