Modèle mathématique version sept. 96 M. &amp

EC1 – FEUILLE 3 D’EXERCICES
FONCTIONS ET APPLICATIONS
Exercice 1
Fonction f de R dans R telle que f(x) = Ensemble de définition
Polynôme de variable x
n(x)
d(x)
r(x)
ln(g(x))
exp(h(x))
sin(g(x))
cos(h(x))
(g o f) (x) = g(f(x))
Exercice 2
Déterminer les ensembles de définition des fonctions numériques d’une variable réelle x définies
par :
a) f(x) = x + 2
x + 3 b) g(x) = x + 2
x + 3 c) h(x) = ln(x2 + 5 x + 6)
d) i(x)= ln(x+2) + ln(x+3) e) j(x) = ln( x2 + 2x + 1) f) k(x)= ln(x2 + x + 1)
Exercice 3
Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F et soit g une application de l’ensemble F
dans l’ensemble G.
a) Démontrer que si g o f est injective alors f est injective
b) Démontrer que si g o f est surjective alors g est surjective
Exercice 4
Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F et soit g une application de l’ensemble F
dans l’ensemble E.
Démontrer que si g o f = IdE et si f o g = IdF alors f est bijective et f-1 = g
Exercice 5
Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F.
Soient A et B des parties (ou des sous-ensembles ) de E.
On appelle ensemble image de A par f ( qu’on note f<A>) l’ensemble des images des éléments de A
par f
1°) Démontrer que f<A ∪ B> = f<A> ∪ f<B>.
2°) Démontrer que f<A ∩ B> ⊆ f<A> ∩ f<B>.
Exhiber un contre-exemple prouvant que la réciproque est fausse.
3°) Démontrer que si f est injective alors f<A ∩ B> = f<A> ∩ f<B>.
Soient A’ et B’ des parties (ou des sous-ensembles ) de F.
On appelle ensemble image réciproque de A’ par f ( qu’on note f-1<A>) l’ensemble des antécédents
des éléments de A’ par f
1°) Démontrer que f-1<A’ ∪ B’> = f-1<A’>∪ f-1<B’>
2°) Démontrer que f-1<A’ ∩ B’> = f-1<A’> ∩ f-1<B’>.