Chapitre7 : Probabilités

Objectifs :
Chapitre7 : Probabilités
*Connaitre la définition d’une probabilité et le vocabulaire de base
* Savoir calculer des probabilités dans des situations simples en s’aidant éventuellement
d’arbre.
Concrètement :
* Les Probabilités sont présentes dans de nombreux domaines. Les ingénieur en météorologie
calcul à l’aide de la physique et de probabilités les temps possible ( à la TV, seule le temps le
plus probable est donnée). La probabilité est donc l’étude mathématique du hasard.
*On peut à l’aide d’observation statistique et de calcul de probabilité estimer, par exemple, la
recette d’un restaurant .
Exemple :
Sur les 30 dernières années, on a constaté que dans les restaurants :
*40% ne prennent qu’un plat
*25% prennent plat et dessert
*15% prennent entrée et plat
1) Tous les autres prennent entrée, plat et dessert, quelle est leur pourcentage ?
2) Une personne rentre dans le restaurant, que peut-il faire ? Quelle chance a-t-il de faire
chacun de ces choix ?
I. Expérience aléatoire
Définition 1 :
Une expérience est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues et que l’on ne peut pas
prévoir, à priori, quel résultat se produira. Les issues sont en nombre fini n et une seule issue
se réalise à la fois.
Exemple : Réalisons une expérience aléatoire :
Chaque élève d’une classe de 27 élèves lance 100 fois un dé à six faces et on note les
effectifs d’apparition de chaque face dans le tableau puis on calcule les fréquences
d’apparition de chaque face.
Faces
1
2
3
4
5
6
Total
Effectifs
434
456
443
459
435
473
2700
Fréquences
16,1%
16,9%
16,4%
17%
16,1%
17,5%
100
Les fréquences d’apparition sont très proches les unes des autres.
Théoriquement, il y a autant de chance d’obtenir un 1, un 2, … ou un 6.
En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les
unes des autres de façon encore plus évidente.
Définition 2 : Les fréquences obtenues d’un événement E se rapprochent d’une valeur
théorique lorsque le nombre d’expérience augmente (Loi des grands nombres). Cette valeur
s’appelle la probabilité de l’événement E.
Exemple :
Voici un programme qui permet de simuler N lancers d’un dé et qui compte le nombre
d’apparition du 6.
Exercices : Indice seconde 2009 Bordas
24,25,28p147
Exercices supplémentaires : Indice seconde 2009 Bordas
26,27,29p147+39p148
II. Probabilité d’un évènement
Définitions :
- Chaque résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue.
- L'univers des possibles est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
- Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles.
- Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue.
- L'événement "A et B", noté A  B, est réalisé lorsque les deux événements A et B sont
simultanément réalisés.
- L'événement "A ou B", noté A  B, est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux événements est
réalisé.
A
A
B
B
A
Exemple :
B
B
Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."
L'ensemble de toutes les issues possibles  = {1; 2; 3; 4; 5; 6} s'appelle l'univers des
possibles.
On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair." On a donc : A = {2; 4; 6}.
On considère l'événement B : "On obtient un 1ou un 2." On a donc : B = {1 ;2}.
On considère l'événement élémentaire E : "On obtient un 3". On a donc : E = {3}.
On considère l'événement A B : On a donc : A B = {2}. Il s’agit de la seule issue commune à
A et B.
On considère l'événement A B : On a donc : A B = {1 ;2 ;4 ;6}. Il s’agit de toutes les issues
présentes dans A ou dans B.
Remarque : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. La somme de toutes les
probabilités des événements élémentaires est toujours égale à 1.
Propriétés :
i)
ii) Soit
)=1
l’événement contraire de A, alors on a
iii)
–

iv) Dans une situation d’équiprobabilité, si A comporte k issues :
Exemple :
Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat."
On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair." On a donc : A = {2; 4; 6}.
On considère l'événement B : "On obtient un 1ou un 2." On a donc : B = {1 ;2}.
On considère l'événement A B : On a donc : A B = {2}.
On considère l'événement A B : On a donc : A B = {1 ;2 ;4 ;6}.
iv)
et
ii) La probabilité d’obtenir un nombre impair (le contraire de A) est donc
iii)
–

.
On retrouve bien le résultat obtenu en
utilisant la propriété iv. Dans la majorité des cas, on ne pourra trouver la probabilité de
l’union qu’à l’aide de la formule.
Exercices : Indice seconde 2009 Bordas
6,7,8,10,14p166+16,17p168+23,24,27p169+32,34p172
Exercices supplémentaires : Indice seconde 2009 Bordas
1,2,3,4,5p166+9,11,12,13,15p167+18,19,20p168+21,22,25,26p169+28,29p170+p171+30,31,33,35
,36,37,38,39,40,42p173