Équivalence linéaire des idéaux de polynômes

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
P IERRE C ARTIER
Équivalence linéaire des idéaux de polynômes
Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 283, p. 93-103
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Séminaire BOURBAKI
17e
aimée, 1964/65,
Février 1965
n° 283
ÉQUIVALENCE
IDÉAUX
LINÉAIRE DES
DE POLYNÔMES
par Pierre CARTIER
1. Introduction.
quelques points de la théorie classique de l’équivalence linéaire des cycles en géométrie algébrique. Toutes les variétés considérées
dans cette introduction sont des variétés algébriques définies sur un corps algéNous
clos fixé
briquement
cycle positif
al.V1
d’abord
rappellerons
+
de dimension
où
+
...
fois pour toutes. Si
une
d
ai ,
sur
X
sitifs de dimension
d
lents s’il existe
cycle positif
Par
pace
un
de dimension
si
ailleurs,
d
V
Pr ,
projectif
on
dit que
1
est
r -
est le
e
+
d
degré
est par définition l’entier
CHOW
a
montré comment
degré
e
de Chow"
ne
de
au
d
dans
Pr
variété,
on
appelle
positifs,
et
une
Y
X
... ,
d
sur
X~
et
un
sous-variété irréductible de dimension
un
entier
de
fr
de
V. Le
al.el +
d
de l’es-
"presque toute" variété lipoints en commun avec V ;
degré d’un cycle positif
e
tel que
ait exactement
e
cycle posi-
tels que l’on ait
e
où
... +
ei
est le
degré’de
Vi.
°
on
on
en
général irréductibles,
mais
on
utilise pour cela le fait que deux
sont linéairement
équivalents
montre facilement
cycles positifs
qu’elles
de dimension
si et seulement s’ils ont même
degré.
GROTHENDIECK a montré de manière convaincante qu’il fallait dans de nombreuses
questions remplacer la considération des variétés et des cycles par celle des
schémas 9 un sous-schéma de l’espace projectif Pr est essentiellement un idéal
homogène de polyn8mes à r + 1 variables. GROTHENDIECK a aussi construit ~1~ pour
tout
polyn8me
en un sens
P
V.
de
de dimension
P1
x
d
peut paramétrer l’ensemble des cycles de dimension d et
moyen des points de certaines variétés projectives ;3 ces "variétés
sont pas
sont connexes ;3
sur
il existe
néaire de dimension
telle
X . On note par ailleurs P~
de dimension r . Soient alors Z et Z’ deux cycles posur
X ; on dit que Z et Z’ sont linéairement équiva-
l’espace projectif type
F
une
sont des entiers
des sous-variétés irréductibles de dimension
tif
est
combinaison linéaire formelle
toute
ah
... ,
X
à coefficients rationnels
un
schéma projectif
convenable l’ensemble des sous-schémas
93
de Pr ayant
xP
P
qui paramètre
pour
polynôme
11 schémas de Hilbert" remplacent de manière fort avantageuse les
variétés de Chow, et GROTHENDIECK avait posé la question de savoir s’ils sont connexes. C’est ce qu’a établi HARTSHORNE [2] par une étude soignée de l’équivalence
linéaire des sous-schémas de
Dans un but de simplification, nous exposerons
les résultats de HARTSHORNE dans le langage équivalent des idéaux.
de Hilbert. Ces
2.
Polynômes de Hilbert.
Les résultats suivants sont classiques et sont
(13 ~,
traité de SAMUEL-ZARISKI
On note
K[X ,
dans
K
un
... ,
X]
K,
sidérerons
et
corps commutatif
des
polynômes
Sn
que des idéaux
on
dit que deux idéaux
entier
no
S
est dit
impropre.
où
et
m
pages
infini,
tel
par
exemple,
entier >~ 1,
des indéterminées
...
r
X ,
en
S
un
,
dans le
l’algèbre
X
à coefficients
polynômes homogènes
degré
0 . Nous ne
homogènes de 5 00FF si a est un tel idéal, on pose
a
et b
que an = b n
On définit par ailleurs des
T
II,
l’ensemble des
un
minée
vol.
exposés,
231 à 237) .
de
n
équivalents (notation
sont
pour tout entier
polyn8mes
n ~ n ; o3
con-
a’il existe
un
idéal équivalent à
à coefficients rationnels
en une
indéter-
par les formules :
k
sont des entiers
avec
k~0.
On prouve
sans
difficulté les rela-
tions :
pour
nôme
k >
1 . On dit
numérique
entier
n
s’il existe
3 c’est le
> no ;
lynôme numérique
mérique Q(T)
qu’un polynôme
=
un
cas
entier
pour
degré
P(T) - P(T - 1)
de
P(T)
no
à coefficients rationnels est
tel que
((T , k))
et de terme
est de
degré
et
un
P(n) soit entier pour
g k(T) . Si P(T) est
dominant m.Td/dl ,
d - 1
le
tout
un
po-
polynôme
nu-
et de terme dominant
m.Td-1/(d -
par récurrence sur
est
le terme dominant de g
1)! ;3
ceci montre que
d,
m.Tk/k: ,
polynôme numérique
tout
Soit
a
idéal de
un
numérique
nôme
et b
si l’on
~03B1(T)
sont deux
a
a
et
il existe
K]
tels que
on
un
on a
unique
entier
no
que
r
sur
sous
pour tout
voit immédiatement que l’on
y = x~ ,
entier. Comme
un
voit par récurrence
de manière
s’écrit
r
D’après HILBERT,
S .
idéaux,
c b
degré (
de
on
est
m
la forme :
et
poly-
un
Si
n > no .
a
a :
nécessairement
Donnons
quelques
exemples :
(F)
si
est l’idéal
Supposons a
d
r ;
on
non
dit que
principal engendré
le
impropre ;
d
e
tel que le terme dominant de
x .
polyn8me
Xa(T)
Lorsque a
b ,
c
Xa (T)
nul
non
est alors
non
F
3d .
E
nul de
degré
a, et l’on prouve que la dimension de
des dimensions des idéaux
est la
de l’idéal
polynôme
est la dimension de
a
plus grande
un
par
soit
premiers
égal
contenant
e.Td/d:
à
a ;3 l’entier
s’appelle
pour tout entier
on a
le
degré
n
assez
grand, d’où résulte que la dimension de a majore celle de b . On convient aussi
qu’un idéal impropre est de dimension - 1 . Si le corps K est algébriquement
clos, et si « est l’idéal premier définissant une sous-variété irréductible V
de
la dimension et le degré de a sont respectivement égaux à ceux de V .
3.
Equivalence linéaire des
La définition de
des
cycles, ;
l’équivalence linéaire
pour cela
des fractions rationnelles
polynômes K[U] .
et l’on note
pour les
idéaux est calquée
il faut donc définir d’abord la notion de famille à
déaux. Introduisons
de
idéaux.
SB n
en
Pour tout
une
U
nouvelle indéterminée
à coefficients dans
sous-anneau
l’ensemble des éléments
B
de
homogènes
L,
de
U
K ;
on
un
sur
paramètre
et le corps
note
on
n
de
L
=
d’i-
K(U)
A, l’anneau
pose
degré
celle
SB .
Soient ~
~ ~ ~
un
S,
n
P(u ,
=
X ,
En
... ,
choisissons
effet,
X
forment
une
A-module libre
du
SA
comme
l’anneau
rang
dn
A
est
entier
un
base de
(u)
l’espace
n
qui
montre que
pour tout
l’espace
Ceci étant convenu,
>
on
...
4.
l’ anneau S par
~(u) . Nous allons
sur
noté
ont même
SL
pose
degré
et aussi
homogènes
de
polynôme
de
en
n
base
une
degré
n
D
de
a un
est
de u à n
est de rang
la remarque
d .
On
égal
a
à
donc
et
de
b
de
o*
S
sont linéairement
et des
éléments
tels que
une
précédente
ont même
équivalents
a
... ~ ~
de K
Il est immédiat que l’on définit là
rement
SA
on
L-vectoriel n = ~ SLn de SL ;3
rang égal au
~n est libre et
(u)n
s’il existe des idéaux
S ;
S
L-vectoriel
dira que deux idéaux
...
idéaux de
sera
K ;
d’où notre assertion.
n ~0 ~
équivalents
K-vectoriel
S
de
et il est immédiat que le noyau de la restriction
ce
de 1 anneau
des éléments
A-module
le
élément de
n > 0 ; les monômes de
le sous-espace
avec
principal,
L ;3 on a
sur
un
u
de
l’idéal
et
J l’ensemble
est l’intersection de
et
l’idéal
SL
de
SL
de
homomorphisme (p u
un
Xr) ;3
... ,
l’idéal
montrer que
Hilbert.
(homogène)
idéal
et l’on définit
polynôme
relation
d’équivalence
dans l’ensemble des
montre immédiatement que deux idéaux
de
linéai-
Hilbert.
Enoncé des résultats.
Les
rappels
paux résultats ode
THÉORÈME
existe
un
entiers
qui précèdent nous permettent d’énoncer les princiHARTSHORNE ; les démonstrations seront données plus loin.
et définitions
1. - Soit
idéal a
P(T)
de
S
un
avec
polynôme
P =
mo ~> ml >~ mz >, ... >~ mr > 0
à coefficients rationnels. Pour
X,
avec
il faut et il suffit
qu’il
qu’il
existe des
.
Lorsque l’idéal
guliers
de
est
a
de
hyperplanes
et de
V
des classes de Chern de
V
points sin, le polynôme de Hilbert Xa s’exprime au moyen
la classe d’équivalence linéaire des sections
projectif Pr
l’espace
conformité
en
sous-variété V
et définit une
premier
sans
la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch. Le
avec
inégalités ;3 par exemple, si V est une courbe
de genre g et de degré m dans Pr , on a g ~ (m - 1)(m - 2)/2 (résultat bien
connu pour les courbes planes). Dans le cas général, ces inégalités fournissent
théorème 1 implique alors certaines
des conditions nécessaires pour
approfondi
un examen
THÉORÈME
K
a
( ).
de
n° 3 la nécessité de la condition
au
P(T)
points géométriques
algébrique
clôture
xP(K)
l’ensemble
polynômes soient linéairement
même polynôme de Hilbert.
homogènes
il faut et il suffit qu’ils aient
montré
une
-
2. - Pour que deux idéaux
équivalents
On
qu’un diviseur soit ample ; la question mériterait
des
de
K
et
Soient par ailleurs
à coefficients rationnels ;3
précédente.
polynôme
un
du schéma de
Hilbert ?
à valeurs
correspondance bijective avec l’ensemble des classes d’idéaux de
pour polynôme de Hilbert. Le théorème 2 montre que deux points de
ayant
peuvent être joints par une chaîne formée de courbes algébriques ;3 comme un
schéma projectif a mêmes composantes connexes que le schéma réduit associé, il en
dans
K
est
SK
en
P
résulte
que HP
"absolu" défini
5. C aractère
est
sur
numérique
Pour tout idéal
l’ensemble des
(a :
r
f)
connexe.
On déduit facilement de là que le schéma de Hilbert
l’anneau des entiers est lui aussi
a
connexe.
d’ un idéal.
S
de
polynômes
et tout entier , i
de la forme
soit de dimension
i .
f
= Z
0 ~i ~r ,
avec
f
avec
f
m
..
E
S
m
on
notera
Ra
tels que
l’idéal
-’
PROPOSITION 1.
( a) On a a c R a c R1 Q c ...
(b) L’ensemble Ri a est un idéal.
°
a ,
Ri a
de la forme
Soit
n
plus, pour tout idéal b contenant
polynôme X a - Xb est de degré ~ i .
De
si et seulement si le
(c) Supposons â
idéaux pa premiers.
mension
°
p ,
I. l’ensemble
l’ensemble
des
a E
-
I
I
étant fini et les
tels que
p
soit de di-
> i. On a alors
()
Le théorème 1 semble avoir été démontré par MACAULAY dans son petit livre
The algebraic theory of modular systems. - Cambridge, at the University Press, 1916 [Reprinted by Stechert-Hafner, 1964] (Cambridge Tracts in Mathematics and mathematical Physics, 19) .
bien
connu :
On note
S,
l’ensemble des idéaux b
soit de
Xa * Xb
idéaux
b(l) ,
degré $
b(s) appartenant
... ,
contienne tout idéal
appartenant à
le rang du
vectoriel
K-espace
on en
et
de
les
déduit les
comme
b(j) nlan
assez
n
assez
égal à
xa (n) -
est
à
x a (n)
assez
n
-
x c (n)
grand
(n a no ),
et le rang du
comme on a
j
c e
est de
si b
~i ;3
est
un
degré ~ i ,
idéal tel que
grande d’où résulte immédiatement b
l’idéal
est défini à
pour
noethérien,
polynôme
il existe des
tels que l’idéal
i
polynômes v -
X~ "
inégalités :
et soit ~
est
tels que le
a
est
S.. Pour tout entier
la n
égal
c
S.
S
inégalités :
chacun des
n
à
n
On a donc
pour tout
S
K-espace
vectoriel
contenant
i . Comme l’anneau
o: +
partir
grand ;
(f)3
de la
on a
on a une
de
S..
Q
en
est de même
c b c cy
Soit enfin
on a
f
dans
suite exacte :
multiplication
alors les
e
il
par
f . On
en
déduit :
équivalences :
degré ~i
de
=>
degré S i
~>
f
E
R~a
d’où
L’assertion
(b) résulte
de là et
(a)
est triviale.
Pour prouver (c), considérons un polynôme
des 03B1 ~ I tels que
on a alors
homogène
f
et notons
(a : f) = ~ p03B1
H
l’ensemble
des idéaux
H
premiers pa
Ii ~ ~ ,
n
(a : f)
conséquent,
et par
H
a E
pour
qui équivaut
ce
dimension ~ i si, et seulement si, chacun
est de dimension § i , c’est-à-dire si
est de
à
encore
f
a e
pour
e
C. Q. F. D.
Le
P =
polynôme
pour tout
Xa -
notera
r +
le caractère
n.(a)
entiers
numérique
~3
=
Ri ! ;
d’après
par la
idéal 1
on
le n°
3,
un
de l’idéal
entier
un
degré
i
positif.
entier
positif
P est
dans
La suite
a ; dans la suite de cet
exposé,
on
de
lexicographique dans l’ensemble des suites
a :
et le
donc est de
degré
c
élément
et tout
!0(u)
proposition
Stabilisation
S
de
a ~ (u)
1. Pour tout
de
u
K . Posons pour
simplifier
polynôme X~(u) - ~13 (u) est égal à x~ - Xc
‘ i d’après la proposition 1. On en déduit
grand,
assez
n
on a
alors :
(15).
d’où immédiatement
6.
est
est
positifs.
Nous allons montrer que l’on
pour tout
P(n)
et
résulte que le terme de
la relation d’ordre
m* ~ n*
1
en
où
de la forme
s’appelle
il
grand ;
assez
n
degré ( i ,
est de
Xp a
des idéaux.
Les constructions qui suivent sont analogues à celles utilisées par BOREL pour
construire des points fixes d’un groupe linéaire résoluble opérant dans une varié-
té projective.
Etant donnés
s.a
un
idéal
l’ensemble des
coefficients dans
partienne
à l’idéal
K
a
de
polynômes
en
a +
S
de la
un
entier j
forme 03A3 Xp.f
les indéterminées
X.
pour
avec
où
0 ~ j ~
f
i~j,
est
noterons
nous
r ,
un
polynôme
X?
tel que
f
à
ap-
(Xp+1j).
PROPOSITION 2. - Pour tout idéal
S
et
linéairement équivalent à
a
de
a ~ et l’on
S,
a
l’ensemble
s.o
est
un
idéal de
Notons
J . (X . ) 1
pose
l’antomorphisme
a .
03C3i(03B1L)
.
J
=
qui montrent que
et l’on
est
o.
et
a
défini par
SL engendré
l’idéal
J . (X . )
par
UX.
=
et
et l’on
a
a
sont linéairement
équivalents ;3
de
plus,
on
voit
de
SL ,
on a
a
et
a
on a
donc
fortiori
En considérant
une
vectoriel
on
â
3
a ,
base du
montre que
K-espace
vectoriel
l’idéal 03B1B
on en
comme on a
Or tout élément de
=
s.
automorphisme
un
appliquant (lô),
~
03B1L
a
J
en
et
on
SL
de
L-algèbre
de la
note
Nous allons prouver les relations:
facilement que l’on
puisque
/j;
1
pour
=
S
de
si et seulement si l’on
( â ) SA
de
SA
n
SB engendré
s’écrit de manière unique
â
J
se
contenant
une
base du
par a
K-espace
est
égal
m ;
l’idéal
à
déduit :
appartient à
Q,
S
,sous la forme :
a fm ~
compose donc des éléments
ec
pour tout
tels que
fm e
phismes (p 0
a
et
tout
de S
03C61
0
et
m
pour
sont définis
S
sur
p . Si les homomor-
d
0
pour
n° 3,
comme au
on trouve
(l6).
d’où immédiatement
C.Q.F.D.
qu’un idéal
Disons
K
sur
idéal
S
de
est monomial s’il admet
so
sr a
°
...
n (b) >- n (x) .
a , tel que
De manière
et
analogue, soient j
Définissons l’automorphisme T..
Xk
Xk
en
((03C4ik(03B1L))(0)
()
équivalent à
Jk( ) )
de
X,
+
de
S ~;
a ,
avec
deux entiers
k
en
SL
Xi
c)
~.
il
pour
n (a)
y
X1 ,
remplaçant
quant
des
tient
un
et, si
Xr
... ,
dans
M
une
opérations
tout mon8me
avec
indéterminée
t , jk
dans
un
idéal monomial balancé
X.
et que
tik
JK
a
est
a
et
trans-
L,
t.~
r .
l’idéal
a
est linéairement
est monomial si
lest.
a
par des monômes
engendré
il contient les monômes obtenus
M ,
X.
par
sur
k . On note
l’idéal
montre facilement q
que
on
0
entre
compris
qui induit l’identité
Nous dirons qu’un idéal monomial est balancé
en
d’espace vectoriel
base
formée de monômes. La proposition 2 montre immédiatement que, pour tout
est un idéal monomial linéairement équivaa ,
lent à
forme
une
°
ordre convenable à
c , linéairement
un
idéal monomial
équivalent
à
b
En
en
appli-
b,
on
ob-
avec
n*(c) n~(b) .
>
7. Eventails.
Géométriquement,
un
drapeau
variétés linéaires
éventail E est un ensemble
toute variété de dimension
D
dans
P~*
est
suite croissante de
une
de
avec
fini de sous-variétés
i
appartenant à
E
sous-
dimension j3
Pr , tel
selon
Vi_1
linéaires dans
coupe
un
que
(1 ~ i r) .
Par
a
de
analogie,
S
qui
on
appellera éventail (de
classe
p
avec
est intersection d’un nombre fini d’idéaux
1
pour
les a.
~a
~
tk ’
p.
p ,~ r ),
premiers
un
idéal
de la forme
étant le plus petit des entiers k
K . On supposera qu’il n’y a aucune re-
l’entier
et p, et
étant des éléments de
lation d’inclusion entre les idéaux
3
1
s
on a
alors
principales propriétés des éventails sont contenues dans les lemnes techniques suivants ; faute de place, la démonstration en sera omise ; disons seulement
que l’on peut notablement simplifier les démonstrations de HARTSHORNE.
Les
LEMME 1.
(a) Deux éventails
rement équivalents.
(b)
Si
=
est
oc
+
nk
+
+
°
...
équivalents
idéal
b,
de classe
r ,
on a
lemme que deux éventails de classe
ce
de classe
a
p
r
+
p
est
1,
ou
polyn8me
a
=
en
~(1) ,
remplaçant âP
LEMME 3. - Soit
de
n*
n*(a) _
b
et l’on pose
r +
1
n*
et
P
=
ments tous distincts de
LEMME 4. - Soient
~s(l) ~
est
un
’" ~
~s(m)
évent ail ,
polynôme
Rb
et
s
b
K,
pour lesquelles il existe
un
et l’on
nous
ce
(si ,
=
~
R. c
de Hilbert.
alors
on a
p
à coefficients rationnels. L’ensemble des suites
"
choisirons
éventail
un
qui est possible
... ,
sr)
famille
une
car
a
avec
d’entiers
idéal monomial balancé
l’idéal engendré par
a
b
sont linéairement
(aij)1ir.j1
K est
Positifs,
engendré
Q~~ ,
d’élé-
suppose infi-
le corps
nous
poserons :
par les monômes
... ,
Q~) .
Alors
(c)
puisque
c
pour
La dernière assertion du lemme 4 entraîne évidemment
idéaux
comme
est fini..
Avant d’énoncer le lemme 4,
ni. Pour toute suite
dans la définition de
n*(b) n (a) .
construit
~(0) .
positifs
P
SL
p
polynôme
un
entiers
Uaa.
par
équiva1ent_
qui vérifie
de
sont li-
r
de Hilbert.
linéairement
’bien
L’idée de la démonstration est d’introduire l’idéal
a , mais
linéai-.
sont
=
°
éventail de classe
un
n (a) n (b)
avec
r
si et seulement s’ils ont même
2. - Tout ~éventail
qui est
de classe
nr .
Il résulte immédiatement de
néairement
b
et
éventail
un
nk+1
a
n
(b)
=
équivalents (prop. 2)~
n
donc ont même
les
Démonstration
8.
Soit
pour
P
un
polynôme
polynôme
b
tion du lemme 4
n (c) = n*(b) .
éventail
théorémes
1
2.
et
a
P
un idéal ayant
noté à la fin du n° 6 qu’il existait un idéal mono-
à coefficients rationnels et soit
de Hilbert. On
mial balancé
un
des
a
linéairement équivalent à a, avec
la construcfournit un éventail c linéairement équivalent à b tel. que
D’autre part, l’ensemble des suites
n* pour lesquelles il existe
n (b) >- n*(a) ;
c’
avec
n (a’) = n
et
éventails linéairement équivalents à
donc
en
choisir un, soit
pour tous les
éventails
b,
b’1
Le lemme 2 montre alors que
polynôme
On
a
de Hilbert de
donc
prouvé
éventail’ b
b,
que tout
de classe
P
Xa, =
(on
a
est fini
sait
dont la classe est
déjà qu’il
et
l’éventail
idéal
«
b
est de classe
1 , (b) entraine
avec
Xa
=
en
maxima,
polynôme
de même classe .et de même
le lemme
(lemme 3 ) ; parmi
P
avec
existe),
on
les
peut
n (b) >- n*(b’ )
de Hilbert que lui.
r ; comme
P
est le
le théorème 1.
est linéairement
équivalent
deux éventails de classe
à
r , avec ~b
P ;
ayant même polynôme de Hilbert sont linéairement équivalents, on a prouvé que deux
idéaux ayant même polynôme de Hilbert sont linéairement équivalents. Le théorème 2
un
est
=
comme
r
prouvé.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
(Alexander). - Techniques de construction et théorèmes d’exisgéométrie algébrique, IV : Les schémas de Hilbert, Séminaire
Bourbaki, t. 13, 1960/61, n° 221, 28 p.
[2] HARTSHORNE (R.). - Connectedness of the Hilbert scheme, Princeton Thesis,
1963 (non publié).
ZARISKI
[3]
(O.) and SAMUEL (P.). - Commutative algebra, Vol. 1 and 2. - Princeton,
D. Van Nostrand Comp., 1958-1960 (The University Series in
higher Mathematics).
GROTHENDIECK
tence
en
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