S ÉMINAIRE N. B OURBAKI P IERRE C ARTIER Équivalence linéaire des idéaux de polynômes Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 283, p. 93-103 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__93_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1964-1966, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI 17e aimée, 1964/65, Février 1965 n° 283 ÉQUIVALENCE IDÉAUX LINÉAIRE DES DE POLYNÔMES par Pierre CARTIER 1. Introduction. quelques points de la théorie classique de l’équivalence linéaire des cycles en géométrie algébrique. Toutes les variétés considérées dans cette introduction sont des variétés algébriques définies sur un corps algéNous clos fixé briquement cycle positif al.V1 d’abord rappellerons + de dimension où + ... fois pour toutes. Si une d ai , sur X sitifs de dimension d lents s’il existe cycle positif Par pace un de dimension si ailleurs, d V Pr , projectif on dit que 1 est r - est le e + d degré est par définition l’entier CHOW a montré comment degré e de Chow" ne de au d dans Pr variété, on appelle positifs, et une Y X ... , d sur X~ et un sous-variété irréductible de dimension un entier de fr de V. Le al.el + d de l’es- "presque toute" variété lipoints en commun avec V ; degré d’un cycle positif e tel que ait exactement e cycle posi- tels que l’on ait e où ... + ei est le degré’de Vi. ° on on en général irréductibles, mais on utilise pour cela le fait que deux sont linéairement équivalents montre facilement cycles positifs qu’elles de dimension si et seulement s’ils ont même degré. GROTHENDIECK a montré de manière convaincante qu’il fallait dans de nombreuses questions remplacer la considération des variétés et des cycles par celle des schémas 9 un sous-schéma de l’espace projectif Pr est essentiellement un idéal homogène de polyn8mes à r + 1 variables. GROTHENDIECK a aussi construit ~1~ pour tout polyn8me en un sens P V. de de dimension P1 x d peut paramétrer l’ensemble des cycles de dimension d et moyen des points de certaines variétés projectives ;3 ces "variétés sont pas sont connexes ;3 sur il existe néaire de dimension telle X . On note par ailleurs P~ de dimension r . Soient alors Z et Z’ deux cycles posur X ; on dit que Z et Z’ sont linéairement équiva- l’espace projectif type F une sont des entiers des sous-variétés irréductibles de dimension tif est combinaison linéaire formelle toute ah ... , X à coefficients rationnels un schéma projectif convenable l’ensemble des sous-schémas 93 de Pr ayant xP P qui paramètre pour polynôme 11 schémas de Hilbert" remplacent de manière fort avantageuse les variétés de Chow, et GROTHENDIECK avait posé la question de savoir s’ils sont connexes. C’est ce qu’a établi HARTSHORNE [2] par une étude soignée de l’équivalence linéaire des sous-schémas de Dans un but de simplification, nous exposerons les résultats de HARTSHORNE dans le langage équivalent des idéaux. de Hilbert. Ces 2. Polynômes de Hilbert. Les résultats suivants sont classiques et sont (13 ~, traité de SAMUEL-ZARISKI On note K[X , dans K un ... , X] K, sidérerons et corps commutatif des polynômes Sn que des idéaux on dit que deux idéaux entier no S est dit impropre. où et m pages infini, tel par exemple, entier >~ 1, des indéterminées ... r X , en S un , dans le l’algèbre X à coefficients polynômes homogènes degré 0 . Nous ne homogènes de 5 00FF si a est un tel idéal, on pose a et b que an = b n On définit par ailleurs des T II, l’ensemble des un minée vol. exposés, 231 à 237) . de n équivalents (notation sont pour tout entier polyn8mes n ~ n ; o3 con- a’il existe un idéal équivalent à à coefficients rationnels en une indéter- par les formules : k sont des entiers avec k~0. On prouve sans difficulté les rela- tions : pour nôme k > 1 . On dit numérique entier n s’il existe 3 c’est le > no ; lynôme numérique mérique Q(T) qu’un polynôme = un cas entier pour degré P(T) - P(T - 1) de P(T) no à coefficients rationnels est tel que ((T , k)) et de terme est de degré et un P(n) soit entier pour g k(T) . Si P(T) est dominant m.Td/dl , d - 1 le tout un po- polynôme nu- et de terme dominant m.Td-1/(d - par récurrence sur est le terme dominant de g 1)! ;3 ceci montre que d, m.Tk/k: , polynôme numérique tout Soit a idéal de un numérique nôme et b si l’on ~03B1(T) sont deux a a et il existe K] tels que on un on a unique entier no que r sur sous pour tout voit immédiatement que l’on y = x~ , entier. Comme un voit par récurrence de manière s’écrit r D’après HILBERT, S . idéaux, c b degré ( de on est m la forme : et poly- un Si n > no . a a : nécessairement Donnons quelques exemples : (F) si est l’idéal Supposons a d r ; on non dit que principal engendré le impropre ; d e tel que le terme dominant de x . polyn8me Xa(T) Lorsque a b , c Xa (T) nul non est alors non F 3d . E nul de degré a, et l’on prouve que la dimension de des dimensions des idéaux est la de l’idéal polynôme est la dimension de a plus grande un par soit premiers égal contenant e.Td/d: à a ;3 l’entier s’appelle pour tout entier on a le degré n assez grand, d’où résulte que la dimension de a majore celle de b . On convient aussi qu’un idéal impropre est de dimension - 1 . Si le corps K est algébriquement clos, et si « est l’idéal premier définissant une sous-variété irréductible V de la dimension et le degré de a sont respectivement égaux à ceux de V . 3. Equivalence linéaire des La définition de des cycles, ; l’équivalence linéaire pour cela des fractions rationnelles polynômes K[U] . et l’on note pour les idéaux est calquée il faut donc définir d’abord la notion de famille à déaux. Introduisons de idéaux. SB n en Pour tout une U nouvelle indéterminée à coefficients dans sous-anneau l’ensemble des éléments B de homogènes L, de U K ; on un sur paramètre et le corps note on n de L = d’i- K(U) A, l’anneau pose degré celle SB . Soient ~ ~ ~ ~ un S, n P(u , = X , En ... , choisissons effet, X forment une A-module libre du SA comme l’anneau rang dn A est entier un base de (u) l’espace n qui montre que pour tout l’espace Ceci étant convenu, > on ... 4. l’ anneau S par ~(u) . Nous allons sur noté ont même SL pose degré et aussi homogènes de polynôme de en n base une degré n D de a un est de u à n est de rang la remarque d . On égal a à donc et de b de o* S sont linéairement et des éléments tels que une précédente ont même équivalents a ... ~ ~ de K Il est immédiat que l’on définit là rement SA on L-vectoriel n = ~ SLn de SL ;3 rang égal au ~n est libre et (u)n s’il existe des idéaux S ; S L-vectoriel dira que deux idéaux ... idéaux de sera K ; d’où notre assertion. n ~0 ~ équivalents K-vectoriel S de et il est immédiat que le noyau de la restriction ce de 1 anneau des éléments A-module le élément de n > 0 ; les monômes de le sous-espace avec principal, L ;3 on a sur un u de l’idéal et J l’ensemble est l’intersection de et l’idéal SL de SL de homomorphisme (p u un Xr) ;3 ... , l’idéal montrer que Hilbert. (homogène) idéal et l’on définit polynôme relation d’équivalence dans l’ensemble des montre immédiatement que deux idéaux de linéai- Hilbert. Enoncé des résultats. Les rappels paux résultats ode THÉORÈME existe un entiers qui précèdent nous permettent d’énoncer les princiHARTSHORNE ; les démonstrations seront données plus loin. et définitions 1. - Soit idéal a P(T) de S un avec polynôme P = mo ~> ml >~ mz >, ... >~ mr > 0 à coefficients rationnels. Pour X, avec il faut et il suffit qu’il qu’il existe des . Lorsque l’idéal guliers de est a de hyperplanes et de V des classes de Chern de V points sin, le polynôme de Hilbert Xa s’exprime au moyen la classe d’équivalence linéaire des sections projectif Pr l’espace conformité en sous-variété V et définit une premier sans la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch. Le avec inégalités ;3 par exemple, si V est une courbe de genre g et de degré m dans Pr , on a g ~ (m - 1)(m - 2)/2 (résultat bien connu pour les courbes planes). Dans le cas général, ces inégalités fournissent théorème 1 implique alors certaines des conditions nécessaires pour approfondi un examen THÉORÈME K a ( ). de n° 3 la nécessité de la condition au P(T) points géométriques algébrique clôture xP(K) l’ensemble polynômes soient linéairement même polynôme de Hilbert. homogènes il faut et il suffit qu’ils aient montré une - 2. - Pour que deux idéaux équivalents On qu’un diviseur soit ample ; la question mériterait des de K et Soient par ailleurs à coefficients rationnels ;3 précédente. polynôme un du schéma de Hilbert ? à valeurs correspondance bijective avec l’ensemble des classes d’idéaux de pour polynôme de Hilbert. Le théorème 2 montre que deux points de ayant peuvent être joints par une chaîne formée de courbes algébriques ;3 comme un schéma projectif a mêmes composantes connexes que le schéma réduit associé, il en dans K est SK en P résulte que HP "absolu" défini 5. C aractère est sur numérique Pour tout idéal l’ensemble des (a : r f) connexe. On déduit facilement de là que le schéma de Hilbert l’anneau des entiers est lui aussi a connexe. d’ un idéal. S de polynômes et tout entier , i de la forme soit de dimension i . f = Z 0 ~i ~r , avec f avec f m .. E S m on notera Ra tels que l’idéal -’ PROPOSITION 1. ( a) On a a c R a c R1 Q c ... (b) L’ensemble Ri a est un idéal. ° a , Ri a de la forme Soit n plus, pour tout idéal b contenant polynôme X a - Xb est de degré ~ i . De si et seulement si le (c) Supposons â idéaux pa premiers. mension ° p , I. l’ensemble l’ensemble des a E - I I étant fini et les tels que p soit de di- > i. On a alors () Le théorème 1 semble avoir été démontré par MACAULAY dans son petit livre The algebraic theory of modular systems. - Cambridge, at the University Press, 1916 [Reprinted by Stechert-Hafner, 1964] (Cambridge Tracts in Mathematics and mathematical Physics, 19) . bien connu : On note S, l’ensemble des idéaux b soit de Xa * Xb idéaux b(l) , degré $ b(s) appartenant ... , contienne tout idéal appartenant à le rang du vectoriel K-espace on en et de les déduit les comme b(j) nlan assez n assez égal à xa (n) - est à x a (n) assez n - x c (n) grand (n a no ), et le rang du comme on a j c e est de si b ~i ;3 est un degré ~ i , idéal tel que grande d’où résulte immédiatement b l’idéal est défini à pour noethérien, polynôme il existe des tels que l’idéal i polynômes v - X~ " inégalités : et soit ~ est tels que le a est S.. Pour tout entier la n égal c S. S inégalités : chacun des n à n On a donc pour tout S K-espace vectoriel contenant i . Comme l’anneau o: + partir grand ; (f)3 de la on a on a une de S.. Q en est de même c b c cy Soit enfin on a f dans suite exacte : multiplication alors les e il par f . On en déduit : équivalences : degré ~i de => degré S i ~> f E R~a d’où L’assertion (b) résulte de là et (a) est triviale. Pour prouver (c), considérons un polynôme des 03B1 ~ I tels que on a alors homogène f et notons (a : f) = ~ p03B1 H l’ensemble des idéaux H premiers pa Ii ~ ~ , n (a : f) conséquent, et par H a E pour qui équivaut ce dimension ~ i si, et seulement si, chacun est de dimension § i , c’est-à-dire si est de à encore f a e pour e C. Q. F. D. Le P = polynôme pour tout Xa - notera r + le caractère n.(a) entiers numérique ~3 = Ri ! ; d’après par la idéal 1 on le n° 3, un de l’idéal entier un degré i positif. entier positif P est dans La suite a ; dans la suite de cet exposé, on de lexicographique dans l’ensemble des suites a : et le donc est de degré c élément et tout !0(u) proposition Stabilisation S de a ~ (u) 1. Pour tout de u K . Posons pour simplifier polynôme X~(u) - ~13 (u) est égal à x~ - Xc ‘ i d’après la proposition 1. On en déduit grand, assez n on a alors : (15). d’où immédiatement 6. est est positifs. Nous allons montrer que l’on pour tout P(n) et résulte que le terme de la relation d’ordre m* ~ n* 1 en où de la forme s’appelle il grand ; assez n degré ( i , est de Xp a des idéaux. Les constructions qui suivent sont analogues à celles utilisées par BOREL pour construire des points fixes d’un groupe linéaire résoluble opérant dans une varié- té projective. Etant donnés s.a un idéal l’ensemble des coefficients dans partienne à l’idéal K a de polynômes en a + S de la un entier j forme 03A3 Xp.f les indéterminées X. pour avec où 0 ~ j ~ f i~j, est noterons nous r , un polynôme X? tel que f à ap- (Xp+1j). PROPOSITION 2. - Pour tout idéal S et linéairement équivalent à a de a ~ et l’on S, a l’ensemble s.o est un idéal de Notons J . (X . ) 1 pose l’antomorphisme a . 03C3i(03B1L) . J = qui montrent que et l’on est o. et a défini par SL engendré l’idéal J . (X . ) par UX. = et et l’on a a sont linéairement équivalents ;3 de plus, on voit de SL , on a a et a on a donc fortiori En considérant une vectoriel on â 3 a , base du montre que K-espace vectoriel l’idéal 03B1B on en comme on a Or tout élément de = s. automorphisme un appliquant (lô), ~ 03B1L a J en et on SL de L-algèbre de la note Nous allons prouver les relations: facilement que l’on puisque /j; 1 pour = S de si et seulement si l’on ( â ) SA de SA n SB engendré s’écrit de manière unique â J se contenant une base du par a K-espace est égal m ; l’idéal à déduit : appartient à Q, S ,sous la forme : a fm ~ compose donc des éléments ec pour tout tels que fm e phismes (p 0 a et tout de S 03C61 0 et m pour sont définis S sur p . Si les homomor- d 0 pour n° 3, comme au on trouve (l6). d’où immédiatement C.Q.F.D. qu’un idéal Disons K sur idéal S de est monomial s’il admet so sr a ° ... n (b) >- n (x) . a , tel que De manière et analogue, soient j Définissons l’automorphisme T.. Xk Xk en ((03C4ik(03B1L))(0) () équivalent à Jk( ) ) de X, + de S ~; a , avec deux entiers k en SL Xi c) ~. il pour n (a) y X1 , remplaçant quant des tient un et, si Xr ... , dans M une opérations tout mon8me avec indéterminée t , jk dans un idéal monomial balancé X. et que tik JK a est a et trans- L, t.~ r . l’idéal a est linéairement est monomial si lest. a par des monômes engendré il contient les monômes obtenus M , X. par sur k . On note l’idéal montre facilement q que on 0 entre compris qui induit l’identité Nous dirons qu’un idéal monomial est balancé en d’espace vectoriel base formée de monômes. La proposition 2 montre immédiatement que, pour tout est un idéal monomial linéairement équivaa , lent à forme une ° ordre convenable à c , linéairement un idéal monomial équivalent à b En en appli- b, on ob- avec n*(c) n~(b) . > 7. Eventails. Géométriquement, un drapeau variétés linéaires éventail E est un ensemble toute variété de dimension D dans P~* est suite croissante de une de avec fini de sous-variétés i appartenant à E sous- dimension j3 Pr , tel selon Vi_1 linéaires dans coupe un que (1 ~ i r) . Par a de analogie, S qui on appellera éventail (de classe p avec est intersection d’un nombre fini d’idéaux 1 pour les a. ~a ~ tk ’ p. p ,~ r ), premiers un idéal de la forme étant le plus petit des entiers k K . On supposera qu’il n’y a aucune re- l’entier et p, et étant des éléments de lation d’inclusion entre les idéaux 3 1 s on a alors principales propriétés des éventails sont contenues dans les lemnes techniques suivants ; faute de place, la démonstration en sera omise ; disons seulement que l’on peut notablement simplifier les démonstrations de HARTSHORNE. Les LEMME 1. (a) Deux éventails rement équivalents. (b) Si = est oc + nk + + ° ... équivalents idéal b, de classe r , on a lemme que deux éventails de classe ce de classe a p r + p est 1, ou polyn8me a = en ~(1) , remplaçant âP LEMME 3. - Soit de n* n*(a) _ b et l’on pose r + 1 n* et P = ments tous distincts de LEMME 4. - Soient ~s(l) ~ est un ’" ~ ~s(m) évent ail , polynôme Rb et s b K, pour lesquelles il existe un et l’on nous ce (si , = ~ R. c de Hilbert. alors on a p à coefficients rationnels. L’ensemble des suites " choisirons éventail un qui est possible ... , sr) famille une car a avec d’entiers idéal monomial balancé l’idéal engendré par a b sont linéairement (aij)1ir.j1 K est Positifs, engendré Q~~ , d’élé- suppose infi- le corps nous poserons : par les monômes ... , Q~) . Alors (c) puisque c pour La dernière assertion du lemme 4 entraîne évidemment idéaux comme est fini.. Avant d’énoncer le lemme 4, ni. Pour toute suite dans la définition de n*(b) n (a) . construit ~(0) . positifs P SL p polynôme un entiers Uaa. par équiva1ent_ qui vérifie de sont li- r de Hilbert. linéairement ’bien L’idée de la démonstration est d’introduire l’idéal a , mais linéai-. sont = ° éventail de classe un n (a) n (b) avec r si et seulement s’ils ont même 2. - Tout ~éventail qui est de classe nr . Il résulte immédiatement de néairement b et éventail un nk+1 a n (b) = équivalents (prop. 2)~ n donc ont même les Démonstration 8. Soit pour P un polynôme polynôme b tion du lemme 4 n (c) = n*(b) . éventail théorémes 1 2. et a P un idéal ayant noté à la fin du n° 6 qu’il existait un idéal mono- à coefficients rationnels et soit de Hilbert. On mial balancé un des a linéairement équivalent à a, avec la construcfournit un éventail c linéairement équivalent à b tel. que D’autre part, l’ensemble des suites n* pour lesquelles il existe n (b) >- n*(a) ; c’ avec n (a’) = n et éventails linéairement équivalents à donc en choisir un, soit pour tous les éventails b, b’1 Le lemme 2 montre alors que polynôme On a de Hilbert de donc prouvé éventail’ b b, que tout de classe P Xa, = (on a est fini sait dont la classe est déjà qu’il et l’éventail idéal « b est de classe 1 , (b) entraine avec Xa = en maxima, polynôme de même classe .et de même le lemme (lemme 3 ) ; parmi P avec existe), on les peut n (b) >- n*(b’ ) de Hilbert que lui. r ; comme P est le le théorème 1. est linéairement équivalent deux éventails de classe à r , avec ~b P ; ayant même polynôme de Hilbert sont linéairement équivalents, on a prouvé que deux idéaux ayant même polynôme de Hilbert sont linéairement équivalents. Le théorème 2 un est = comme r prouvé. 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