MPSI 1 Mathématiques Colle no 2 Semaine no 4 1. Nombres complexes : (a) Racines n e de 1, d’un nombre complexe (presque) quelconque. (b) Racines carrées et équations de degré 2 sur C. 2. Trigonométrie : Factorisation, linéarisation. 3. Techniques de calcul : utilisation des symboles duit (nombres complexes et trigonométrie). P de sommation et Q de pro- Exemples de sujets Énoncés.(Indications, Solutions) 1. Résoudre cos x + sin x = p 2. Résoudre 3 cos(x) + sin(x) = 1 p 3. Résoudre cos(x) + sin(x) = 2 Exercice 1 p1 2 4. Résoudre sin(7x) − sin(x) = sin(3x) 5. Résoudre sin(x) sin(3x) = sin(5x) sin(7x) Exercice 2 1. Linéariser sin2 x cos x 2. Linéariser sin2 x cos2 x 3. Linéariser sin3 x 4. Linéariser sin x cos2 x 5. Linéariser cos4 x p π π Exercice 3 Calculer (1 − i)(1 + i 3) et en déduire cos 12 et sin 12 . Exercice 4 Calculer le module et l’argument de (1 + i tan θ)2 (θ est un réel). 1 + tan2 θ z + z0 est réel lorsque z et z 0 sont des complexes de 1 + zz 0 modules égaux à 1 et zz 0 6= −1. Exercice 5 Démontrer que Exercice 6 Transformer en produit (factoriser) 1. cos t + 2 cos 2t + cos 3t 2. sin t + sin 2t + sin 7t + sin 8t 1 Exercice 7 Calculer p 1+i 3 p 2 2(1+i) 2 algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire π π π 24 cos 12 , sin 12 , tan 12 , tan 5π 12 . Résoudre dans C l’équation z = 1. Exercice 8 En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(3x) et sin(3x) en fonction de sin x et cos x. Exercice 9 1. Calculer cos 5θ, cos 8θ, sin 6θ, sin 9θ, en fonction des lignes trigonométriques de l’angle θ. 2. Calculer sin3 θ, sin4 θ, cos5 θ, cos6 θ, à l’aide des sinus ou cosinus des multiples entiers de θ. Exercice 10 Calculer cos 5θ et sin 5θ en fonction de cos θ et sin θ. Exercice 11 Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1+cos2 x, cos3 x+ 2 sin2 x. Exercice 12 Exprimer (cos 5x)(sin 3x) en fonction de sin x et cos x. Exercice 13 Résoudre dans R l’équation µ cos(5x) = cos Exercice 14 Calculer sin ¡ 25π ¢ 3 , cos ¡ 19π ¢ 4 , tan 2π −x 3 ¶ ¡ 37π ¢ 6 . Exercice 15 Étudier le signe de la fonction donnée par f (x) = cos 3x + cos 5x. Exercice 16 Simplifier, suivant la valeur de x ∈ [−π, π], l’expression p 1 + cos x+| sin x/2|. Exercice 17 Résoudre dans R les équations suivantes : (donner les valeurs des solutions appartenant à ]−π, π] et les placer sur le cercle trigonométrique). ¡ ¢ 1. sin (5x) = sin 2π 3 +x , ¡ ¢ ¡ ¢ 2. sin 2x − π3 = cos x3 , 3. cos (3x) = sin (x). p Exercice 18 À quelle condition sur le réel m l’équation 3p cos(x) + sin(x) = m a-telle une solution réelle ? Résoudre cette équation pour m = 2. Exercice 19 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. cos2 (x) − sin2 (x) = sin(3x). 2. cos4 (x) − sin4 (x) = 1. Exercice 20 Résoudre les équations : 1. z 2 − 2(1 + i)z + 1 + 2i = 0 2 2. z 2 + (1 + i)z + 6 − 2i = 0 3. z 2 + (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 4. z 4 − (5 − 14i)z 2 − 2(5i + 12) = 0 5. z 3 − i = 6(z + i) 6. z 2 − 2iz + 2 − 4i = 0 7. z 4 = −119 + i120 Exercice 21 Exercice 22 Calculer 1≤k≤n (2 − ωk ) où ω1 , . . . , ωn Q sont les racines n ede 1. Exercice 23 Soit z un nombre complexe vérifiant l’égalité z 12 = 1. Calculer P 0≤k≤11 z Exercice 24 Soient u, v et w trois nombres complexes de modules égaux à 1 vérifiant u + v + w = 0. Démontrer que v = j u, w = j 2 u ou v = j 2 u, w = j u. Exercice 25 Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que : ¯ ¯ ¯z −3¯ ¯=1 1. ¯¯ z −5¯ ¯ ¯ p ¯z −3¯ ¯ ¯ = 2. 2. ¯ z −5¯ 2 Exercice 26 1. Résoudre dans C l’équation (1) forme algébrique. z−2 z−1 = i. Donner la solution sous 2. Soit M, A, et B les points d’affixes respectives z, 1, 2. On suppose que M 6= A et que M 6= B. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2 z−1 . Retrouver ainsi la solution de l’équation (1). Indications.(Énoncés, Solutions) Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 3 k . Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Exercice 14 Exercice 15 Exercice 16 Exercice 17 Exercice 18 Exercice 19 Exercice 20 1. 2. 3. z 3 + i3 = 6(z + i) 4. 5. Exercice 21 Exercice 22 Calculer 1≤k≤n (z − ωk ) Q Exercice 23 Exercice 24 Exercice 25 1. |z − 3| = |z − 5| p 2. 2|z − 3| = |z − 5|. Exercice 26 Solutions.(Énoncés, Indications) 4 Exercice 1 1. Les lignes suivantes sont équivalentes 1 cos x + sin x = p 2 p p 2 2 1 cos x + sin x = 2 2 2 ³ π´ π cos x − = cos 4 3 ainsi x− π π = 4 3 soit x= mod 2π ou x − 7π 12 π π =− 4 3 mod 2π ou x = − π 12 mod 2π mod 2π 2. 3. 4. Factorisons l’expression à gauche sin(7x) − sin(x) = sin(3x) ¶ µ ¶ 7x − x 7x + x 2 sin cos = sin(3x) 2 2 µ 2 sin(3x) cos(4x) = sin(3x) soit sin(3x)(2 cos(4x) − 1) = 0 ( sin(3x) = 0 ou cos(4x) = cos π3 Finalement x = 0 mod π 3 ou x = ± π 12 mod π 2 5. Linéarisons sin x sin(3x) = sin(5x) sin(7x) 1 1 (cos(3x − x) − cos(3x + x)) = (cos(7x − 5x) − cos(7x + 5x)) 2 2 cos(4x) = cos(12x) d’où x = 0 mod π4 ou x = 0 mod π8 , la première égalité est impliquée par la seconde, finalement π x = 0 mod 8 Exercice 2 Exercice 3 5 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 π Exercice 7 cos 12 = p 1+p 3 2 2 24 π ; sin 12 = −1 + p p 3 π 2 ; tan 12 2 Les racines de z = 1 sont données par z k = e π π donc 1, cos 12 + i sin 12 , etc. p p = 2 − 3 ; tan 5π 12 = 2 + 3. 2kiπ 24 pour k = 0, 1, . . . , 23. Ce sont Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Exercice 14 Exercice 15 Exercice 16 Exercice 17 Les réponses doivent être données modulo 2π. 1. Nous avons 5x = dulo 2π : 2π 3 + x mod 2π donc x = π , 6 2π , 3 − π 6 5π , 6 mod − π 2 d’où les solutions mo- π 3 auxquelles il faut ajouter les solutions de 5x = π − 2π 3 − x mod 2π ou x = mod π3 d’où les solutions modulo 2π : π , 18 7π , 18 13π , 18 − 5π , 18 − 2. Nous avons ³ ³x ´ π´ sin 2x − = cos 3 3 ³π x ´ = sin − 2 3 6 11π , 18 − 17π 18 π 18 d’où 2x − π π x = − 3 2 3 2x − ³π x ´ π = π− − 3 2 3 mod 2π ou mod 2π Ainsi il existe un entier k tel que : x= ( 5π+12kπ ou 14 5π 6π +k 14 7 ou x = π 6π +k 2 5 5π+12kπ ) soit, modulo 2π : 10 5π 11π π 13π 3π 9π π ,− , , ,− , ,− 14 14 14 14 14 14 2 et π 3π 9π π 7π ,− , , ,− 2 10 10 10 10 3. Enfin cos (3x) = sin (x) ³π ´ = cos −x 2 d’où 3x = π −x 2 soit x= et modulo 2π π 8 mod 2π, mod ou 3x = − π , 2 ou x = − π +x 2 π 4 mod 2π mod π π 5π 7π 3π , ,− ,− 8 8 8 8 ou π 3π − , 4 4 Exercice 18 Exercice 19 Exercice 20 Exercice 21 1. Forme canonique : z 2 − 2(1 + i)z + 1 + 2i = (z − (1 + i))2 − i2 d’où z = 1 (racine évidente) ou z = 1 + 2i. 7 2. Discriminant : −24 + 10i = (1 + 5i)2 , d’où les racines −(1+i)±(1+5i) 2 : −1 − 3i, 2i. 2 3. Calculons le discriminant : (3 + 4i) − 4((−1 + 5i) = −3 + 4i = (1 + 2i)2 d’où z = −1 − i ou z = −2 − 3i. 4. Le discriminant de u 2 − (5 − 14i)u − 2(5i + 12) est 52 (1 − 2i)2 d’où z 2 = 5 − 12i, ou z 2 = −4i les carrés sont visibles 5 − 12i = (3 − 2i)2 , − 4i = (1 − i)2 et Nous en déduisons les quatre solutions ±(3 − 2i), ±(1 − i) 5. Mis à part z = −i, en divisant par z + i : z 2 − iz − 7 = 0 Le discriminant est 33 d’où z= p 3 3±i 2 6. Forme canonique (z − i)2 − (−3 + 4i) = (z − i)2 − (1 + 2i)2 d’où les solutions 1 + 3i, −1 − i 7. Posons z 2 = x + iy, nous obtenons ½ x2 − y 2 2x y = = −119 120 p Nous luipadjoignons x 2 + y 2 = 1192 + 1202 obtenue en égalant les modules. Il vient 1192 + 1202 = 132 , d’où x 2 = 25 et y 2 = 144, comme x y > 0, il vient z 2 = ±(5 + 12i) = ±(3 + 2i)2 Finalement, nous avons quatre solutions −(3 + 2i), 3 + 2i, −i(3 + 2i), i(3 + 2i) car les racines carrées de ±1 sont −1, 1, −i, −i. Reste à encadrer le résultat simplifié. . . Exercice 22 Pour tout z complexe : 2n − 1. 1≤k≤n (z − ωk ) = x Q 8 n − 1, donc 1≤k≤n (2 − ωk ) = Q P Exercice 23 Si z = 1 alors 0≤k≤11 z k = 12, sinon nous reconnaissons la somme des P 12 −1 termes d’une suite géométrique : 0≤k≤11 z k = zz−1 = 0 car z 12 − 1 = 0. Exercice 24 Nous pouvons supposer u = 1. Alors w = −1 − v et w̄ = −1 − v̄, d’où 1 = w w̄ = 2 + Re(v), donc Re(v) = − 12 et p Im(v) = ± 23 , soit v = ± j . Ou encore 1 + v + w = 0, en multipliant par v̄ w̄ : v̄ w̄ + v̄ + w̄ = 0, soit v̄ w̄ − 1 = 0, nous en déduisons v̄ w̄ = 1 ou v w = 1 soit w = v̄, donc 1 + v + v̄ = 0 et en multipliant par v : 1 + v + v 2 = 0. Exercice 25 1. Il s’agit de la médiatrice des points d’affixes 3 et 5. 2. En élevant au carré, après simplification : |z|2 − 7(z +pz̄) + 49 = 38. L’ensemble est le cercle de centre le point d’affixe 7 et de rayon 38. Exercice 26 1. z = 2−i 1−i = 32 + 2i . 2. Soient M, A et B les points d’affixes z, 1 et 2. Le module de z−2 z−1 est le rapport des longueurs des segments [A, M] et [B, M], soit 1, tandis que l’argument re−−→ −−→ présente la mesure de l’angle des vecteurs MA et MB, soit π2 . Nous en déduisons que le point M est l’intersection de la médiatrice de [A, B] avec l’arc supérieur du cercle de diamètre [A, B]. 9