2 - Tourbillon

MPSI 1
Mathématiques
Colle no2
Semaine no4
1. Nombres complexes :
(a) Racines nede 1, d’un nombre complexe (presque) quelconque.
(b) Racines carrées et équations de degré 2 sur C.
2. Trigonométrie : Factorisation, linéarisation.
3. Techniques de calcul : utilisation des symboles Pde sommation et Qde pro-
duit (nombres complexes et trigonométrie).
Exemples de sujets
Énoncés.(Indications,Solutions)
Exercice 1 1. Résoudre cosx+sinx=1
p2
2. Résoudre p3cos(x)+sin(x)=1
3. Résoudre cos(x)+sin(x)=p2
4. Résoudre sin(7x)−sin(x)=sin(3x)
5. Résoudre sin(x)sin(3x)=sin(5x)sin(7x)
Exercice 2 1. Linéariser sin2xcosx
2. Linéariser sin2xcos2x
3. Linéariser sin3x
4. Linéariser sinxcos2x
5. Linéariser cos4x
Exercice 3 Calculer (1−i)(1 +ip3) et en déduire cos π
12 et sin π 12 .
Exercice 4 Calculer le module et l’argument de (1+itanθ)2
1+tan2θ(θest un réel).
Exercice 5 Démontrer que z+z0
1+zz0est réel lorsque zet z0sont des complexes de
modules égaux à 1 et zz06=−1.
Exercice 6 Transformer en produit (factoriser)
1. cost+2cos2t+cos3t
2. sint+sin2t+sin7t+sin8t
1

Exercice 7 Calculer 1+ip3
2
p2(1+i)
2
algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire
cos π
12 , sin π 12 , tan π 12 , tan 5π 12 . Résoudre dans Cl’équation z24 =1.
Exercice 8 En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(3x) et sin(3x) en fonction
de sinxet cos x.
Exercice 9 1. Calculer cos5θ, cos8θ, sin6θ, sin9θ, en fonction des lignes trigo-
nométriques de l’angle θ.
2. Calculer sin3θ, sin4θ, cos5θ, cos6θ, à l’aide des sinus ou cosinus des mul-
tiples entiers de θ.
Exercice 10 Calculer cos5θet sin5θen fonction de cosθet sinθ.
Exercice 11 Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1+cos2x, cos3x+
2sin2x.
Exercice 12 Exprimer (cos5x)(sin3x) en fonction de sinxet cosx.
Exercice 13 Résoudre dans Rl’équation
cos(5x)=cosµ2π
3−x¶
Exercice 14 Calculer sin¡25π
3¢,cos¡19π 4¢,tan¡37π 6¢.
Exercice 15 Étudier le signe de la fonction donnée par f(x)=cos3x+cos5x.
Exercice 16 Simplifier, suivant la valeur de x∈[−π,π], l’expression p1+cosx+|sinx/2|.
Exercice 17 Résoudre dans Rles équations suivantes : (donner les valeurs des solu-
tions appartenant à ]−π,π]et les placer sur le cercle trigonométrique).
1. sin(5x)=sin¡2π
3+x¢,
2. sin¡2x−π
3¢=cos¡x 3¢,
3. cos(3x)=sin(x).
Exercice 18 À quelle condition sur le réel ml’équation p3cos(x)+sin(x)=ma-t-
elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pour m=p2.
Exercice 19 Résoudre dans Rles équations suivantes :
1. cos2(x)−sin2(x)=sin(3x).
2. cos4(x)−sin4(x)=1.
Exercice 20 Résoudre les équations :
1. z2−2(1+i)z+1+2i =0
2

2. z2+(1+i)z+6−2i =0
3. z2+(3+4i)z−1+5i =0
4. z4−(5−14i)z2−2(5i +12) =0
5. z3−i=6(z+i)
6. z2−2iz+2−4i =0
7. z4=−119+i120
Exercice 21
Exercice 22 Calculer Q1≤k≤n(2−ωk) où ω1,...,ωnsont les racines nede 1.
Exercice 23 Soit zun nombre complexe vérifiant l’égalité z12 =1. Calculer P0≤k≤11 zk.
Exercice 24 Soient u,vet wtrois nombres complexes de modules égaux à 1 véri-
fiant u+v+w=0. Démontrer que v=j u,w=j2uou v=j2u,w=j u.
Exercice 25 Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que :
1. ¯¯¯¯
z−3
z−5¯¯¯¯=1
2. ¯¯¯¯
z−3
z−5¯¯¯¯=p2 2.
Exercice 26 1. Résoudre dans Cl’équation (1) z−2
z−1=i. Donner la solution sous
forme algébrique.
2. Soit M,A, et B les points d’affixes respectives z,1,2. On suppose que M 6= A et
que M 6= B. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2
z−1.
Retrouver ainsi la solution de l’équation (1).
Indications.(Énoncés,Solutions)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
3

Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
Exercice 18
Exercice 19
Exercice 20 1.
2.
3. z3+i3=6(z+i)
4.
5.
Exercice 21
Exercice 22 Calculer Q1≤k≤n(z−ωk)
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25 1. |z−3|=|z−5|
2. p2|z−3|=|z−5|.
Exercice 26
Solutions.(Énoncés,Indications)
4

Exercice 1 1. Les lignes suivantes sont équivalentes
cosx+sin x=1
p2
p2
2cosx+p2 2sinx=1 2
cos³x−
π
4´=cos π 3
ainsi
x−
π
4=
π
3mod 2πou x−
π
4=−
π
3mod 2π
soit
x=7π
12 mod 2πou x=−
π
12 mod 2π
2.
3.
4. Factorisons l’expression à gauche
sin(7x)−sin(x)=sin(3x)
2sinµ7x−x
2¶cosµ7x+x 2¶=sin(3x)
2sin(3x)cos(4x)=sin(3x)
soit sin(3x)(2cos(4x)−1) =0
(sin(3x)=0
oucos(4x)=cos π
3
Finalement
x=0 mod π
3ou x=±
π
12 mod π 2
5. Linéarisons
sinxsin(3x)=sin(5x)sin(7x)
1
2(cos(3x−x)−cos(3x+x)) =1 2(cos(7x−5x)−cos(7x+5x))
cos(4x)=cos(12x)
d’où x=0 mod π
4ou x=0 mod π 8, la première égalité est impliquée par la
seconde, finalement
x=0 mod π
8
Exercice 2
Exercice 3
5