Chapitre 18 Séries numériques

K R C
Définition 1 (Série)
(un)n∈NK(un)n∈N
p
sp=
p
X
k=0
uk.
Puk(sp)p∈NPun
Exercice 1.
Définition 2 (Série convergente, Reste)
(sp)p∈NPun
+∞
P
n=0
un
p∈Nrp=
+∞
P
n=0
un−
p
P
n=0
un=
+∞
P
n=p+1
un
rpp
Exercice 2.
1. q∈]0,1[ q
1
2. 1
n
Propriété 1 (Structure)
K
Propriété 2 (Suite télescopique)
v n un=vn−vn−1
vPun
Exercice 3. α∈R?
+1
(n+1)α−1
nα
Propriété 3 (Changement d’un nombre fini de termes)
N n >N un=vnPunPvn
Théorème 1 (Divergence grossière)
Pun(un)n∈N0
Exercice 4.
1.

2. α601
nα
3. (−1)n
tanh n
Théorème 2 (Théorème des séries alternées)
(un)n∈N
(i) (un)n∈N
(ii) (un)n∈N0
P(−1)nunrp=∞ P
n=p+1
un(−1)p+1 |rp|6
up+1
Exercice 5.
1. (−1)n
n+1
2. x∈R(−1)nx2n+1
(2n+1)!
Théorème 3 (Séries à termes positifs)
(un)Pun(sp)
+∞
X
n=0
un= lim
p→+∞sp= sup
p∈Nsp.
Exercice 6. (Série exponentielle) xPxk
k!
Propriété 4
n06un6vn
(i)PunPvn
(ii)PvnPun
Théorème 4 (Séries de Riemann)
(i)α > 1P1
nα
(ii)α61P1
nα
Exercice 7. α∈]0,1[
1
nα
Propriété 5
a∈Na>2 (vn)∈J0, a −1KNvn
an
06
+∞
X
n=1
vn
an61.

Théorème 5 (Développement décimal)
α∈[0,1[ n∈Nvn=bα10nc−10 10n−1αα=
+∞
P
n=1
vn
10n
α
Théorème 6 (Relations de comparaison)
PunPvn`
un∼`·vnPunPvn
Exercice 8.
1. a∈R?1
a2+n2
2. 1
n(4n2−1)
3. un=(−1)n
√nvn=(−1)n √n+1
n
Théorème 7
n0∈Nf[n0,+∞[
(i)Zn
n−1
f(t)dt −f(n)
(ii)P
n>n0
f(n)f x 7→ Zx
n0
f(t)dt
+∞
Pf(n)
lim
N→+∞ZN
n+1
f(t)dt 6
+∞
X
k=n+1
f(k)6lim
N→+∞ZN
n
f(t)dt.
Exercice 9.
Définition 3 (Convergence absolue)
(un)KPunP|un|
Exercice 10. (−1)n
n2
(−1)n
n
Théorème 8
PunPun
Exercice 11. xPxk
k!
Théorème 9 (Relations de comparaison)
PunKPvnun=O(vn)
PvnPun

Exercice 12. n+1
2ln 1 + 1 n−1
Théorème 10 (Formule de Stirling)
n!∼n
en√2πn.
Exercice 13. 2−2n2n
n