Chapitre 18 Séries numériques

Chapitre 18 Séries numériques
Dans ce chapitre, K désigne R ou C.
I - Généralités
I.1 - Notion de série
Définition 1 (Série).
Soit (un )n∈N une suite d'éléments de K. La série associée à la suite (un )n∈N est la suite dénie
pour tout entier naturel p par
p
X
sp =
uk .
k=0
Cette suite est notée
P
uk . La suite (sp )p∈N est la suite des sommes partielles de la série
P
un .
Exercice 1. Donner des exemples de séries et préciser leur comportement limite.
Définition 2 (Série convergente, Reste).
Si la suite (sp )p∈N est convergente, la série
P
un est convergente . La limite, notée
somme de la série. Le cas échéant, pour tout p ∈ N, on note rp =
Le réel rp est le
reste d'ordre p de la série.
+∞
P
un −
n=0
p
P
+∞
P
un , est la
n=0
+∞
P
un =
un .
n=p+1
n=0
Exercice 2.
1. Soit q ∈]0, 1[. Déterminer la somme et le reste de la série géométrique de raison q et de premier
terme 1.
2. Montrer que la série de terme général
1
n
diverge.
Propriété 1 (Structure).
L'ensemble des séries convergentes est un K-espace vectoriel. L'application qui à toute série
convergente associe sa limite est une application linéaire.
I.2 - Premiers critères de convergence
Propriété 2 (Suite télescopique).
S'il existe une suite
P v telle que pour tout entier naturel n non nul, un = vn − vn−1 , alors la
suite v et la série
un ont le même comportement asymptotique.
Exercice 3. Soit α ∈ R?+ . Déterminer la nature de la série de terme général
1
(n+1)α
−
1
nα .
Propriété 3 (Changement d’un nombre fini de termes).
P
P
S'il existe un entier naturel N tel que pour tout n > N , un = vn , alors
un et
vn ont
même comportement asymptotique.
Théorème 1 (Divergence grossière).
P
Si
un converge, alors (un )n∈N converge vers 0.
Exercice 4.
1. Montrer que la réciproque est fausse.
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 18. Séries numériques
MPSI 1
2. Montrer que si α 6 0, la série de terme général
3. Montrer que la série de terme général
(−1)n
tanh n
1
nα
diverge.
est divergente.
Théorème 2 (Théorème des séries alternées).
Soit (un )n∈N une suite réelle telle que
(i). (un )n∈N est décroissante,
(ii). (un )n∈N converge vers 0.
P
Alors, (−1)n un est convergente. De plus, rp =
∞
P
un est du signe de (−1)p+1 et |rp | 6
n=p+1
up+1 .
Exercice 5.
1. Montrer que la série de terme général
(−1)n
n+1
est convergente.
2n+1
x
2. Soit x ∈ R. Montrer que la série de terme général (−1)n (2n+1)!
converge.
II - Séries de nombres réels positifs
II.1 - Relations de comparaison
Théorème 3 (Séries à termes positifs).
P
Soit (un ) une suite de réels positifs. un converge si et seulement si la suite (sp ) de ses sommes
partielles est majorée. Alors,
+∞
X
n=0
un = lim sp = sup sp .
p→+∞
p∈N
Exercice 6. (Série exponentielle) Soit x un réel positif. Montrer que
P xk
k!
converge.
Propriété 4.
On suppose que pour tout entier naturel n, 0 6 un 6 vn .
P
P
(i). Si
un diverge, alors
vn diverge.
P
P
(ii). Si
vn converge, alors
un converge.
Théorème 4 (Séries de Riemann).
P 1
(i). Si α > 1,
α converge.
P n1
(ii). Si α 6 1,
nα diverge.
Exercice 7. Lorsque α ∈]0, 1[, en utilisant le théorème des accroissements nis, déterminer un
équivalent du reste de la série de terme général n1α .
Propriété 5.
Soit a ∈ N, a > 2 et (vn ) ∈ J0, a − 1KN . Alors, la série de terme général
vn
an
converge et
+∞
X
vn
06
6 1.
an
n=1
Stanislas
A. Camanes
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Théorème 5 (Développement décimal).
+∞
P
Soit α ∈ [0, 1[. Pour tout n ∈ N, on note vn = bα10n c − 10 10n−1 α . Alors, α =
n=1
développement décimal de α.
vn
10n
est le
Théorème 6 (Relations de comparaison).
P
P
Soient
un et
vn deux P
séries à termes positifs. On suppose qu'il existe ` non nul tel que
P
un ∼ ` · vn . Alors,
un et
vn ont même comportement asymptotique.
Exercice 8.
1. Soit a ∈ R? . Montrer que la série de terme général
converge.
1
a2 +n2
2. Étudier le comportement de la série de terme général
1
.
n(4n2 −1)
3. Comparer le comportement des séries de terme général un =
II.2 - Comparaison à des intégrales
(−1)n
√
n
et vn =
(−1)n
√
n
+ n1 .
Théorème 7.
Soient n0 ∈ N et f une fonction continue sur [n0 , +∞[, à valeurs réelles, positive et décroissante.
Z n
f (t) dt − f (n) est convergente, à termes positifs.
(i). La série de terme général
n−1
Z x
P
(ii). La série
f (n) converge si et seulement si f x 7→
f (t) dt admet une limite réelle
n>n0
n0
en +∞.
P
De plus, si
f (n) converge, alors
Z
N
lim
N →+∞ n+1
f (t) dt 6
+∞
X
Z
f (k) 6
k=n+1
lim
N
N →+∞ n
f (t) dt.
Exercice 9.
Reprendre l'exemple des sommes de Riemann. En déduire des équivalents des restes et / ou des
sommes partielles.
III - Séries absolument convergentes
III.1 - Convergence absolue
Définition 3 (Convergence absolue).
P
Soit (un ) une suite d'éléments de K. La série
un
Exercice 10. Déterminer si les séries de terme général
gentes ou convergentes.
converge absolument si
(−1)n
n2
puis
(−1)n
n
P
|un | converge.
sont absolument conver-
Théorème
P 8.
P
Si
un converge absolument, alors
un converge.
Exercice 11. Montrer que pour tout x réel, la série
P xk
k!
converge.
III.2 - Critères élémentaires de convergence absolue
Théorème 9 (Relations de comparaison).
P
P
Soit
un une série d'éléments
de K et
vn une série à termes positifs. Si un = O(vn ) et
P
P
vn converge, alors
un converge.
Stanislas
A. Camanes
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Exercice 12. Montrer que la série de terme général n +
Théorème 10 (Formule de Stirling).
n! ∼
1
2
ln 1 +
1
n
− 1 converge.
n n √
2πn.
e
Exercice 13. Déterminer la nature de la série de terme général 2−2n
Stanislas
2n
n
.
A. Camanes