Séries de Fourier

Université Mohammed I
Année 2007-2008
Ecole Nationale des Sciences Appliquées
ENSA1 - Analyse II
Oujda
Enseignant : I.Elmahi
Chapitre 5
Séries de Fourier
Table des matières
1 Séries trigonométriques
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Fonctions périodiques . . .
Fonctions trigonométriques
Cas de convergence . . . . .
Ecriture complexe . . . . .
Calcul des coecients . . .
.
.
.
.
.
2 Séries de Fourier
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Coecients de Fourier d'une fonction paire ou impaire . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2
3
4
4
5
6
3 Cas d'une fonction quelconque
10
4 Formule de Bessel-Parseval
13
ENSA1
Analyse II
Séries
1
de
Séries de Fourier
Fourier
Séries trigonométriques
1.1 Fonctions périodiques
Dénition
Une fonction f : R → C est dite périodique de période T si ∀x ∈ R,
On dit aussi que f est T -périodique.
f (x + T ) = f (x).
Remarque
Une fonction T -périodique est entièrement dénie par sa restriction sur un intervalle de
longueur T . (ex : [0, T [; [a, a + T [).
6
a−T
-
a
a+T
a + 2T
1.2 Fonctions trigonométriques
Dénition
On
Pappelle série trigonométrique toute série de fonctions complexes de la variable réelle
x Un (x) dont le terme général s'écrit :
Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx) avec x ∈ R; (an , bn ) ∈ C2
P
La suite des sommes partielles associée à la série Un (x) est :
Sn (x) = a0 + an cos(x) + bn sin(x) + · · · + an cos(nx) + bn sin(nx)
Remarque
1. On remarque que la suite des sommes partielles Sn (x) est 2π -périodique. En eet :
Pour n = 1, le terme U1 (x) = a1 cos x + b1 sin x est 2π -périodique.
Pour n > 1, Un (x) = an cos(nx) + P
bn sin(nx) est 2π
n -périodique.
Donc P
si la série trigonométrique Un (x) converge simplement sur R, alors la somme
Sn = +∞
n=0 Un (x) = limn→+∞ Sn (x) est 2π -périodique.
2. Remarquons aussi que ∀n ≥ 0, le terme Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx) est continue
P sur R.
(Attention, cela dit, on ne peut rien dire de la continuité de la somme f (x) de Un (x)).
I.Elmahi
1
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
1.3 Cas de convergence
Proposition 1
Soit la série trigonométrique
P
P Un (x) avec : Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx). Si les
séries
numériques
a
et
bn convergent absolument, alors la série trigonométrique
n
P
Un (x) converge normalement sur R. De plus, la somme f (x) est continue sur R.
P
Preuve
On a ∀x ∈ R
|Un (x)| = |an cos(nx) + bn sin(nx)| ≤ |an | + |bn |
| {z }
Vn
Or les séries numériques
|an | et
|bn | convergent. D'où
Vn converge.
P
On enP
déduit que Un (x) converge normalement sur R.
Donc Un (x) converge uniformément sur R.
On a
∀n
P ∈ N Un (x) est continue sur R
Un (x) converge uniformément sur R
Alors la somme f (x) est continue sur R (théorème de continuité).
P
P
P
Proposition 2
Si (an ) et (bn ) sont des suites décroissantes
de nombres réels positifs convergent vers
P
0, alors la série trigonométrique an cos(nx) + bn sin(nx) converge simplement sur
R − 2πZ.
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle Ik = [2kπ + α, 2(k + 1)π − α]
où α ∈]0, π[.
Preuve(exercice)
Indication :
Convergence simple :
P
inx converge (appliquer le critère d'Abel). Cela perMontrer que ∀x ∈ R − 2πZ, la série an eP
P
P
mettra de déduire la convergence des séries an cos(nx) et an sin(nx) et idem pour bn einx .
On prend : εn = an , αn = einx .
εn & 0
n
n
1 − (eix )n+1 1 ei(n+1)x X X
ix k ≤
+
αk = (e ) = 1 − eix 1 − eix 1 − eix k=0
avec
eix
6= 1
⇒
k=0
x = 2kπ i,e : x ∈ R − 2πZ
Convergence uniforme :
Montrer que ∀n, p, ∀x ∈ Ik on a : |Sn+p (x) − Sn (x)| ≤ 2can+1 avec c =
2
.
|1−eix |
1.4 Ecriture complexe
On va essayer d'écrire Un (x) sous la forme complexe :
On a ∀n ∈ N Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx). Avec la formule d'Euler on a :
P
Un (x) = an
I.Elmahi
einx + e−inx
2
+ bn
einx − e−inx
2i
2
=
an − ibn
2
einx +
an + ibn
2
e−inx
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
n
cn
= an −ib
(1)
2
an +ibn
c−n =
(2)
2
P
Dans ce cas, on a alors : ∀n ≥ 1 Un (x) = cn einx +c−n e−inx . Si la série trigonométrique Un (x)
converge, alors sa somme f (x) s'écrit (on suppose pour le moment que c0 = a0 ) :
Posons ∀n ≥ 1
f (x) = c0 + (c1 eix + c−1 e−ix ) + (c2 ei2x + c−2 e−i2x ) + · · · + (cn einx + c−n e−inx ) + · · · =
+∞
X
cn einx
−∞
Réciproquement, on peut calculer les coecients an et bn en fonction des cn par :
∀n ≥ 1
an = cn + c−n
(3)
bn = i(cn − c−n ) (4)
Pour que les relations (1) et (3) soient vraies pour n = 0, on doit alors
P avoir : a0 = 2c0 c'est
à dire : c0 = a20 . Donc pour pouvoir écrire la somme f (x) de la série Un (x) sous la forme :
P
inx . On va considérer notre série trigonométrique comme étant de la forme :
f (x) = +∞
−∞ cn e
a0
+ a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx
2
1.5 Calcul des coecients
inx
Soit Un (x) une série qui converge uniformément sur R, alors sa somme f (x) = +∞
−∞ cn e
est continue sur R donc intégrable sur tout compact. On va calculer les coecients cn en fonction
de la somme f (x).
Soit p ∈ Z, on a :
P
P
f (x)e−ipx = e−ipx
+∞
X
cn einx
f (x)e−ipx =
⇒
n=−∞
Or la série
P
+∞
X
cn ei(n−p)x
n=−∞
cn ei(n−p)x est uniformément convergente elle est donc intégrable, et on a :
Z
2π
f (x)e
−ipx
Z
+∞
X
2π
dx =
0
0
i(n−p)x
cn e
dx =
n=−∞
+∞
X
n=−∞
Z
2π
cn
ei(n−p)x dx
0
2π
1
i(n−p)x
e
dx =
Pour n 6= p, on a : :
e
=0
i(n − p)
0
0
Z 2π
Z 2π
i(n−p)x
Pour n = p, on a : :
e
dx =
1dx = 2π
Z
2π
i(n−p)x
0
On a alors : ∀p ∈ Z
D'où cp =
Si la série trigonométrique
P
0
2π
Z
f (x)e−ipx dx = cp 2π
0
1
2π
Z
2π
f (x)e−ipx dx
0
Un (x) s'écrit :
a0
+ a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx
2
Alors on peut calculer les coecients an et bn par :
∀n ∈ N
I.Elmahi
an = cn + c−n
bn = i(cn − c−n )
3
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
et on a :
an =
bn =
En eet : an =
1
2π
2π
Z
Z
1 2π
f (x) cos(nx) dx
π 0
Z 2π
1
f (x) sin(nx) dx
π 0
f (x)e−inx dx +
0
1
2π
2π
Z
f (x)einx dx =
0
1
π
Z
2π
f (x) cos(nx) dx
0
Proposition
Soit la série trigonométrique
f (x) =
+∞
X
+∞
cn einx
⇒
a0 X
+
an cos(nx) + bn sin(nx)
2
f (x) =
n=−∞
On suppose que
P
n=1
Un (x) converge uniformément sur R, alors on a :
Z 2π
1
∀n ∈ Z , cn =
f (x)e−inx dx
2π 0
Z
1 2π
f (x) cos(nx) dx
∀n ∈ N , an =
π 0
Z
1 2π
∀n ∈ N , bn =
f (x) sin(nx) dx
π 0
2
Séries de Fourier
2.1 Dénition
Soit f : R −→ C une fonction 2π -périodique et intégrable sur tout compact
de R.
P+∞
a0
On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique 2 + n=1 an cos(nx) +
bn sin(nx).
où :
Z
1 2π
an =
f (x) cos(nx) dx
π 0
Z
1 2π
bn =
f (x) sin(nx) dx
π 0
P
inx avec :
La série de Fourier peut s'écrire aussi +∞
n=−∞ cn e
∀n ∈ Z, cn =
1
2π
Z
2π
f (x)e−inx dx
0
an , bn , cn sont appelés coecients de Fourier de f .
Remarque
La fonction f étant 2π -périodique, il en est de même pour la fonction : x 7−→ f (x)e−inx . On
a alors :
Z 2π
Z α+2π
f (x)e−inx dx =
∀α ∈ R,
0
I.Elmahi
f (x)e−inx dx
α
4
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
On peut donc changer l'intervalle d'intégration [0, 2π] par [α, α+2π] sans changer les coecients
de Fourier.
2.2 Coecients de Fourier d'une fonction paire ou impaire
On choisit l'intervalle [−π, π] pour le calcul des coecients an , bn et cn .
• Si f est paire :
Alors la fonction x 7−→ f (x) cos nx est aussi paire et la fonction x 7−→ f (x) sin nx est impaire.
On a alors :
∀n ∈ N,
an
bn
2
=
π
= 0
π
Z
f (x) cos nx dx
0
C'est à dire que la série de Fourier associée à f est :
+∞
a0 X
+
an cos nx
2
n=1
• Si f est impaire :
Alors la fonction x 7−→ f (x) cos nx est impaire et la fonction x 7−→ f (x) sin nx est paire. On a
alors :
∀n ∈ N,
an = 0
Z
2 π
bn =
f (x) sin nx dx
π 0
C'est à dire que la série de Fourier associée à f est :
+∞
X
bn sin nx
n=1
Exemple
Soit la fonction f 2π -périodique dénie sur R par f (x) = x pour 0 ≤ x < 2π
1. Représenter f
2. Série de Fourier associée à f ?
6
[
−2π
I.Elmahi
−π
[
0
π
5
[
2π
-
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
f est une fonction impaire donc ∀n ∈ N :
an = 0
Z
2 π
bn =
f (x) sin nx dx
π 0
bn =
=
=
=
Z
2 π
x sin nx dx
∀n ≥ 1
π 0
Z
2 π
− cos nx 0
x
dx
π 0
n
Z π
2
cos nx
−x cos nx π
+
dx
π
n
n
0
0
sin nx π
2 π(−1)n+1
+
π
n
n2 0
2(−1)n+1
n
Donc la série de Fourier associée à f est :
X 2(−1)n+1
bn =
n≥1
n
sin nx
2.3 Problème
Le problème fodamental qui se pose sur la série de Fourier associée à une fonction 2π périodique et intégrable sur tout compact de R est le suivant :
1. Cette série converge-t-elle ?
2. Dans le cas de convergence, sa somme vaut-elle f (x) ?
Dénition (fonction réglée)
Une fonction f : [a, b] −→ R est dite réglée si elle admet en tout point de [a, b[ une
limite à gauche et en tout point de ]a, b] une limite à droite.
Nous allons maintenant énoncer un théorème de convergence qui répond à la question posée.
Ce théorème sera admis car la démonstration est longue.
Théorème de Dirichlet
Soit f : R −→ C une fonction 2π -périodique vériant :
1. f réglée sur R
2. f est dérivable à gauche et à droite sur R
Alors la série de Fourier de f est simplement convergente sur R, et sa somme vaut pour
tout x ∈ R
−
+
f (x ) + f (x )
2
où f (x− ) et f (x+ ) sont les limites à gauche et à droite de x.
En particulier, si f est continue en un point x, alors on a :
+∞
a0 X
f (x) =
+
an cos nx + bn sin nx
2
n=1
I.Elmahi
6
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
6
f (x− )
S=
f (x− )+f (x+ )
2
f (x+ )
-
x
Exemple 1
Soit la fonction f : R 7−→ R, 2π -périodique, paire dénie par : f (x) = x pour x ∈ [0, π]
1. Représenter f .
2. Calculer les coecients de Fourier de f , puis appliquer le théorème de Dirichlet.
P
P+∞ 1
1
3. Calculer +∞
p=0 (2p+1)2 puis en déduire la somme S =
n=1 n2 .
6
0
−π
−2π
6
π
2π
-
Puisque f est paire, alors :
an
• Pour n = 0 on a :
• Pour n ≥ 1 on a :
a0 =
an =
an =
an =
2
π
bn
Rπ
0
2
=
π
= 0
Z
π
f (x) cos nx dx
0
x dx = π1 [x2 ]π0
d'où : a0 = π
iπ 1 Z π
2 hx
sin(nx) −
f (x) sin nx dx
π n
n 0
0
2 1
·
[cos nx]π0
π n2
2
[(−1)n − 1]
πn2
Si n = 2p + 1 (impaire) ⇒ a2p+1 =
Donc la série de Fourier associée à f est :
−4
.
π(2p+1)2
+∞
π X
+
a2p+1 cos ((2p + 1)x)
2
p=0
I.Elmahi
7
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
f est une fonction réglée (elle est même continue sur R).
f est dérivable à gauche et à droite sur R.
Alors le théorème de Dirichlet s'applique : La série de Fourier qui est : π2 +
simplement sur R et sa somme vaut en tout point x, f (x). Donc :
P+∞
−4
p=0 π(2p+1)2
converge
+∞
∀x ∈ R,
π X
−4
+
cos((2p + 1)x)
2
π(2p + 1)2
f (x) =
p=0
En particulier, pour x = 0, on a :
+∞
−4
π X
f (0) = 0 = +
2
π(2p + 1)2
p=0
On déduit alors que :
+∞
X
p=0
S =
1
π2
=
(2p + 1)2
8
+∞
X
n=0
S =
S =
S =
π2
8
+∞
X 1
1
+
(2p + 1)2
(2p)2
p=1
+
1
4
+∞
X
p=1
1
p2
π2 S
+
8
4
π2
6
Exemple 2
Soit f : R −→ R, 2π -périodique, impaire, dénie par :
f (x) =
et prenant des valeurs quelconques en
1. Graphe de f .
2. Coecients de Fourier de f .
P
(−1)p−1
3. En déduire +∞
p=1 2p−1 .
I.Elmahi
x pour x ∈ [0, π2 [
α pour x ∈] π2 , π[ (α ∈ R)
π
2
et π .
8
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
6
[
[
0
−π
−2π
]
[
π
-
2π
]
]
Puisque f est impaire alors : ∀n ∈ N an = 0
∀n ≥ 1
bn =
bn =
bn =
bn =
bn =
bn =
2
π
f (x) sin nx dx
0
2
π
2
π
2
π
π
2
Z
2
π
2
π
π
Z
Z
!
π
x sin(nx) dx +
α sin(nx) dx
π
2
π
2
0
π
!
Z
1
− cos nx π
−x cos nx 2
+
cos nx dx + α
n
n 0
n
π
0
2
h
nπ i
nπ 1
π
−π
α
+ [sin nx]02 −
(−1)n − cos
cos
2
2
n
n
2
π
nπ
1
nπ
α
nπ n
− cos
+ 2 sin
−
(−1) − cos
2
2
n
2
n
2
π
πn
1
nπ
α
nπ
− cos
+ 2 sin
+
cos
− cos(nπ)
2n
2
n
2
n
2
• Si n = 2p, alors :
b2p
π
2
α
p
p
− (−1) + ((−1) − 1)
=
π
4p
2p
• Si n = 2p − 1, alors :
b2p−1
2
1
α
p−1
=
(−1)
+
π (2p − 1)2
2p − 1
Donc la série de Fourier associée à f est :
+∞
X
n=1
bn sin nx =
+∞
X
b2p−1 sin(2p − 1)x +
p=1
+∞
X
b2p sin 2px
p=1
f est une fonction réglée sur R et dérivable à gauche et à droite sur R.
Donc le théorème de Dirichlet s'applique. On a :
∀x ∈ R,
I.Elmahi
+∞
+∞
p=1
p=1
X
f (x+ ) + f (x− ) X
=
b2p−1 sin(2p − 1)x +
b2p sin 2px
2
9
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
Pour x = π2 , on a :
+∞
+∞
p=1
p=1
f ( π2 + ) + f ( π2 − ) X
f (x+ ) + f (x− )
π X
π
=
=
b2p−1 sin(2p − 1) +
b2p sin 2p
2
2
2
2
π
2
+∞
+∞
X
+α X
1
2
α
p−1
p−1
(−1)p−1
=
b2p−1 (−1)
=
(−1)
+
2
π (2p − 1)2
2p − 1
p=1
p=1




+∞
+∞
X
X
π α
1
2
α(−1)p−1  2  π 2
(−1)p−1 
+ =
+
=
+α
4
2
π (2p − 1)2
(2p − 1)
π 8
2p − 1
p=1
p=1
+∞
π α
π 2α X (−1)p−1
+ = +
4
2
4
π
2p − 1
p=1
+∞
X
(−1)p−1
On conclut que :
p=1
2p − 1
=
π
4
Remarque importante
Jusqu'à maintenant, nous avons développé en série de Fourier des fonctions supposées 2π périodiques sur tout compact [α, α + 2π].
Supposons maintenant que f est T -périodique. Alors en eectuant la changement d'inconnue :
F (x) = f (x)
2π
avec x = t
T
2π
=ω
T
i,e t =
Tx
2π
On se ramène à une fonction F qui elle est 2π -périodique. En eet :
T
Tx
Tx
F (x + 2π) = f
(x + 2π) = f
+T =f
= F (x)
2π
2π
2π
2π
α,
α
+
2π
. Les coecients de Fourier de f sont
De plus la fonction F est intégrable sur 2π
T
T
alors :
an =
bn =
Z
2 T
f (t) cos(nωt) dt
T 0
Z
2 T
f (t) sin(nωt) dt
T 0
Et le théorème de Dirichlet s'écrit :
+∞
f (t+ ) + f (t− )
a0 X
=
+
an cos nωt + bn sin nωt
2
2
n=1
3
Cas d'une fonction quelconque
Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a, b] et bornée.
I.Elmahi
10
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
6
f
a
b
-
Il est possible d'obtenir un développement en série de Fourier de f .
Pour ce faire, il sut de prolonger f en une fonction g dénie sur R et qui soit périodique de
période ≥ b − a.
Un exemple de prolongement :
a
b
En général, il y a plusieurs prolongements possibles. A chaque prolongement g , on a un
développement en série de Fourier qui est de la forme :
g(x+ ) + g(x− )
a0 X
=
+
an cos nωx + bn sin nωx
2
2
n=1
2π
ω=
T
En particulier, on peut prolonger f en une fonction g paire ou bien impaire.
• Si g est paire, alors :
+∞
a0 X
g(x+ ) + g(x− )
=
+
an cos nωx
2
2
n=1
• Si g est impaire, alors :
+∞
g(x+ ) + g(x− ) X
=
bn sin nωx
2
n=1
Exemple
Développer en série de Fourier la fonction : f (x) =
puis en série de sinus.
x
4
pour 0 ≤ x ≤ 2, en une série de cosinus,
• Développement en série de cosinus :
f (x) = x4 x ∈ [0, 2]. Soit g une fonction T -périodique, paire, dénie par : g(x) =
]0, 2[.
I.Elmahi
11
x
4
/x∈
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
6
1
2
6
2
0
g est paire, donc :
avec : ω =
2π
T
=
2π
4
4
an =
T
Z
0
-
T
g(t) cos nωt dt et bn = 0
2
= π2 . D'où :
Z
2
t
nπ
cos
t dt
2
0 4
2 2
Z 2
t
1
t
dt =
=
Pour n = 0, a0 =
8 0 2
0 4
2
Z 2
1 2t
π
2
nπ
Pour n ≥ 1, an =
sin n t −
sin
t dt
4 nπ
2 0 πn 0
2
nπ i2
1 h
1
t = 2 2 [(−1)n − 1]
⇒ an = 2 2 cos
n π
2 0 n π
◦ Si n = 2p, alors : a2p = 0
−2
◦ Si n = 2p + 1, alors a2p+1 = (2p+1)
2 π2
Puisque g est une fonction réglée (continue),
dérivable à gauche et à droite, alors le théorème
P+∞
a0
de Dirichlet ⇒ ∀x ∈ R, g(x) = 2 + p=0 a2p+1 .
an =
+∞
D'où g(x) =
1 X
−2
π
+
cos(2p + 1)
2
2
4
(2p + 1) π
2x
p=0
Donc ∀x ∈ R, f (x) = g(x).
• Développement en série de sinus :
Dans ce cas, on prolongera f par une fonction impaire.
6
1
2
-2
0
2
4
-
− 12
I.Elmahi
12
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
g est impaire alors :
(
an = 0
bn
4
T
=
R
T
2
0
2
Z
bn =
0
bn =
bn =
g(t) sin(nωt) dt ∀n ≥ 1
ω=
2π
4
=
π
2
t
nπ
sin
t dt
4
2
Z 2
nπt
t 2
nπ 2
1
cos
− ·
cos
t +
dt
4 nπ
2 0 2πn 0
2
(−1)n+1
nπ
On a g est réglée et continue à droite et à gauche et dérivable à droite et à gauche. D'après
le théorème de Dirichlet on a :
+∞
nπ g(x− ) + g(x+ ) X (−1)n+1
=
sin
t
2
nπ
2
∀x ∈ R,
n=1
∀x ∈]0, 2[,
on a : f (x) = g(x) =
X (−1)n+1
nπ
sin
nπ t
2
Car g est continue sur ]0, 2[.
4
Formule de Bessel-Parseval
Considérons L22π l'espace des fonctions 2π -périodiques et de carré intégrable sur tout compact
de la forme [α, α + 2π]
L22π
=
f : R −→ C / f est 2π − périodique et tq :
Z
α+2π
|f (x)| dx < +∞
2
α
On peut montrer facilement que L22π est un espace vectoriel sur C.
Considérons alors l'application :
< · , · > : L22π × L22π −→ C
Z α+2π
1
f (x)g(x) dx
< f, g > 7−→
2π α
On a les propriétés suivantes : ∀f, g, h ∈ L22π ; ∀(λ, µ) ∈ C2 :
1. < λf + µg , h >= λ < f , h > +µ < g , h >
2. < g , f >=< f , g >
3. < f , f > ≥ 0
On dit que < · , · > est un produit scalaire hermitien. A ce produit scalaire hermitien, on
associe la norme suivante : pour f ∈ L22π
1
2
||f || =< f , f > =
1
2π
Z
α+2π
2
12
|f (x)| dx
α
Soit donc f une fonction 2π -périodique, développable en série de Fourier, sous la forme :
f (x) =
+∞
X
cn einx
avec cn =
n=−∞
I.Elmahi
13
1
2π
Z
2π
f (x)e−inx dx
0
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
Remarquons que f s'écrit comme combinaison linéaire innie des ϕn (x) avec ϕn (x) = einx .
Montrons que (ϕn (x))−∞≤n≤+∞ forme une base orthonormée.
On a :
Z
1
α + 2πϕn (x)ϕm (x) dx
2π α
Z
1
α + 2πeinx e−imx dx
2π α
Z
1
α + 2πei(n−m)x dx
2π α
< ϕn (x) , ϕm (x) > =
=
=
• Si n = m :
< ϕn (x) , ϕm (x) >=
• Si n 6= m :
1
2π
Z
α + 2π1 dx =
α
2π
=1
2π
α+2π
−i
1
i(n−m)x
=0
< ϕn (x) , ϕm (x) >=
e
2π (n − m)
α
Donc (ϕ(x)) est une base orthonormée.
Proposition
Le développement en série de Fourier de f
f (x) =
+∞
X
cn einx
n=−∞
représente la décomposition de f selon la base orthonormée (einx ) avec n ∈ Z.
Conséquence
Nous allons établir une relation liant ||f || au coecient de Fourier cn .
||f ||2 = hf , f i = h
+∞
X
cn einx ,
n=−∞
=
=
2
||f ||
2
||f || =
=
+∞
X
+∞
X
cn heinx ,
n=−∞
+∞
X
cm eimx i
m=−∞
+∞
X
cm eimx i
m=−∞
+∞
X
n=−∞ m=−∞
n=+∞
X
|cn |2
n=−∞
|cn |2
+∞
X
cn cm heinx , eimx i
car : he
inx
, e
imx
i=
0 si n 6= m
1 si n = m
est la formule de Bessel-Parseval qui s'écrit encore :
n=−∞
+∞
X
1
|cn | =
2π
n=−∞
I.Elmahi
2
Z
14
α+2π
|f (x)|2 dx
α
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
De plus on a :

 c0 =
cn =

cn =
a0
2
an −ibn
2
an +ibn
2
Séries de Fourier
∀n ≥ 1
La formule de Bessel-Parseval :
+∞
2||f ||2 =
|a0 |2 X
+
|an |2 + |bn |2
2
n=1
Preuve
On a :
< . , . > : C × C −→ C
(a , b) 7−→ ab
||a||2 = |a|2 =< a , a >= aa. D'où :
|an + ibn |2 = |an |2 + |ibn |2 + 2 < an , ibn >
= |an |2 + |bn |2 + 2 < an , ibn >
= |an |2 + | − bn |2 + 2 < an , −ibn >
= |an |2 + |bn |2 − 2 < an , ibn >
On a alors :
+∞
|a0 |2 1 X
+
2(|an |2 + |bn |2 ) + |c1 |2 + |c0 |2 + |c1 |2 + |c2 |2 + . . .
||f || =
4
4
2
n=1
+∞
D'où 2||f ||2 =
|a0 |2 X
+
|an |2 + |bn |2
2
n=1
Exemple
Soit f : R −→ R, 2π -périodique paire, dénie par f (x) = x pour 0 < x < π .
1. Coecients de Fourier.
2. Appliquer l'égalite de Bessel-Parseval pour calculer :
+∞
X
p=0
1
(2p + 1)4
3. En déduire la somme de la série de Riemann :
S=
+∞
X
1
n4
n=1
6
π
−2π
6
I.Elmahi
−π
0
15
π
2π
-
Année 2007-2008
ENSA1
Analyse II
Séries de Fourier
f est 2π -périodique et paire, donc :
bn = 0 R ∀n ≥ 1
π
an = π2 0 f (x) cos nx dx
Pour n = 0 on a a0 = π . On a :
Z π
x sin nx π
sin nx
2
−
dx
π
n
n
0
0
2 h cos nx iπ
π
n2 0
2
((−1)n − 1)
πn2
an =
an =
an =
• Si n = 2p alors : a2p = 0
• Si n = 2p + 1 alors : a2p+1 =
−4
(2p+1)2 π
Egalité de Bessel-Parseval :
+∞
|a0 |2 X
+
|an |2 + |bn |2
2
2||f ||2 =
n=1
2
1
2π
2π
Z
2
+∞ −4
π 2 X =
+
2
2
π(2p − 1) 2
|f (x)| dx
0
p=0
Comme x 7−→ |f (x)|2 est 2π -périodique et paire, alors :
Z
2π
2
Z
π
|f (x)| dx =
0
+∞
π
π2
16 X
1
x dx =
+ 2
2
π
(2p
+
1)4
0
p=0
π
+∞
π2
16 X
1
2 x3
=
+ 2
π 3 0
2
π
(2p + 1)4
2
π
2
|f (x)| dx ⇒
−π
⇒
Z
2
p=0
2π 2
⇒
3
+∞
X
⇒
p=0
S =
=
16
π2
+∞
X
p=0
+∞
X
p=0
1
(2p + 1)4
1
(2p + 1)4
1
π4
=
(2p + 1)4
96
+∞
+∞
+∞
X
X
X
1
1
1
=
+
4
4
n
(2p)
(2p + 1)4
n=1
S =
2
π4
=
6 × 16
⇒
S =
−
π2
1
16
+∞
X
p=1
p=1
p=0
1
π4
+
p4
96
1
π4
S+
16
96
15
π4
S=
16
96
⇒
S=
π4
π4
=
6 × 15
90
I.Elmahi
16
Année 2007-2008