2 - M. Philippe.fr

D'après sujet de bac
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés de la suite (un) définie par la donnée d'un réel u0 et la relation pour tout
n ∈ ℕ : un+1 =
1 – un
2
1) a) Montrer que la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
b) Déterminer u0 de sorte que la suite (un) soit constante
2) Dans la suite de l'énoncé, on posera u0 = sin
0
avec :
0
∈
[
–
2: 2
]
a) Justifier ce choix. Que devient (un) si
0=
6
?
b) Etablir l'égalité, pour tout
∈
[
–
2; 2
]
:
1 – sin 
2=sin  4– 2
c) Etablir que pour tout entier naturel, il existe un unique
n
∈
[
–
2; 2
]
tel que un = sin
n
. Quelle relation y a-t-il
entre
n1
et
n
?
d) On considère la suite
n
de terme général vérifiant :
n=n–
6
Montrer que cette suite est une suite géométrique. En déduire
n
puis
un
en fonction de n et
0
.
La suite (un) a-t-elle une limite ? Quelle est cette limite ?
Corrigé
1) a) Soit f la fonction définie par f(x) =
1 – x
2
. f est définie sur ]–∞;1] et dérivable sur ]-∞;1[ . On a : f '(x) =
–1
2
2
1 – x
2
f est donc décroissante et son tableau de variation est :
x–∞ –1 1
f '(x) –
f(x)
+∞
0
D'après ce tableau de variation : pour tout x ∈ [-1;1] , f(x) ∈ [0;1] et pour tout x ∈ ]-∞;1[ , f(x) ∈ ]1;+∞[.
Ainsi, pour u0 ∈ ]-∞;1[, u1 ∈ ]1;+∞[ et u2 n'existe pas d'où la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
b) On veut (un) constante c'est à dire pour tout n ∈ ℕ , un+1 = un
⇔
1 – un
2
= un
⇔
un
≥ 0 et
2 un
2un– 1=0
=1+8=9 >0 ⇒ un = –1 < 0 ne convient pas ou un =
1
2
La suite est donc constante pour
u0=1
2
2)a) On sait que la fonction sinus est strictement croissante et continue sur
[
–
2; 2
]
et on a
sin
[
–
2; 2
]
=[−1;1]
ainsi d'après le théorème de la bijection, pour tout u0 ∈ [–1;1], il existe un unique
0
∈
[
–
2; 2
]
tel que
u0=sin 0
Ce choix est donc justifié. De plus, pour
0=
6
, on a alors
u0=1
2
et la suite
un
est constante d'après la question
précédente
b)
sin 2
4– 2
=
1 – cos
2–
2
(voir formules de duplication). Or
cos
2–
= sin
d'où le résultat
c) Initialisation:
u1=
1– u0
2=
1 – sin 0
2
=
sin
4–0 2
= sin
1
en posant
1=
4–0 2
supposons qu'il existe un entier n tel que
un=sin n
…............à finir
1

On a la relation
n1=
4–n 2
d)
n1=n1–
6= 4−n 2− 6= 12 –n 2=1 2 6–n
=–1
2n
. La suite
n
est donc géométrique de raison
–1
2
et
premier terme
0=0–
6
. On a donc
n=0×
1
2
n
d'où
n=
60×
1
2
n
d'où
un=sin
6
0–
6
×
1
2
n
lim
n∞
1
2
n
=0
car
– 11
21
d'où
lim
n∞
n=
6
et
lim
n∞
un=1
2