2 - M. Philippe.fr

D'après sujet de bac
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés de la suite (un) définie par la donnée d'un réel u0 et la relation pour tout
1 – un
n ∈ ℕ : un+1 =
2
1) a) Montrer que la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
b) Déterminer u0 de sorte que la suite (un) soit constante
 
2) Dans la suite de l'énoncé, on posera u0 = sin  0 avec :  0 ∈ – :
2 2

a) Justifier ce choix. Que devient (un) si  0 = ?
6
 
b) Etablir l'égalité, pour tout  ∈ – ;
: 1 – sin  =sin   –  
2 2
2
4 2
 
c) Etablir que pour tout entier naturel, il existe un unique  n ∈ – ;
tel que un = sin  n . Quelle relation y a-t-il
2 2
entre  n1 et  n ?

d) On considère la suite  n de terme général vérifiant : n= n –
6
Montrer que cette suite est une suite géométrique. En déduire  n puis u n en fonction de n et  0 .
La suite (un) a-t-elle une limite ? Quelle est cette limite ?

[
] 
[
]
[
]
Corrigé
1
2
1–x
1) a) Soit f la fonction définie par f(x) =
. f est définie sur ]–∞;1] et dérivable sur ]-∞;1[ . On a : f '(x) =
2
1–x
2
2
f est donc décroissante et son tableau de variation est :
–1
x –∞
1
–

f '(x)
f(x)

–
+∞
1
0
D'après ce tableau de variation :
pour tout x ∈ [-1;1] , f(x) ∈ [0;1] et pour tout x ∈ ]-∞;1[ , f(x) ∈ ]1;+∞[.
Ainsi, pour u0 ∈ ]-∞;1[, u1 ∈ ]1;+∞[ et u2 n'existe pas d'où la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
1 – un
b) On veut (un) constante c'est à dire pour tout n ∈ ℕ , un+1 = un ⇔
= un ⇔ u n ≥ 0 et 2 u n2 u n – 1=0
2
1
 =1+8=9 >0 ⇒ un = –1 < 0 ne convient pas ou un =
2
1
La suite est donc constante pour u 0 =
2
 
 
2)a) On sait que la fonction sinus est strictement croissante et continue sur – ;
et on a sin – ;
=[−1 ; 1 ]
2 2
2 2

[
]
[
ainsi d'après le théorème de la bijection, pour tout u0 ∈ [–1;1], il existe un unique  0 ∈ –
[
]
]
 
tel que u 0 =sin  0
;
2 2
1

Ce choix est donc justifié. De plus, pour  0 = , on a alors u 0 = et la suite  u n  est constante d'après la question
2
6
précédente

 

1 – cos
–
b) sin 2
=
(voir formules de duplication). Or cos
–
–  = sin  d'où le résultat
2
4 2
2
2
 0
 
1– u0
1 – sin  0
c) Initialisation: u 1=
= sin
= sin  1 en posant  1= – 0
–
=
4 2
4 2
2
2
supposons qu'il existe un entier n tel que u n=sin  n …............à finir

 



 


 n
–
4 2
1
      1 
1
d) n1 = n1 – = − n − = – n =
–  n =– n . La suite  n est donc géométrique de raison – et
2
6 4 2 6 12 2 2 6
2
On a la relation  n1=

premier terme 0 =0 –
lim
n ∞

n


1
. On a donc n= 0 ×
6
2

n
d'où  n=
1
1

1
=0 car – 1 1 d'où lim  n = et lim u n =
2
2
6
2
n ∞
n ∞


1
0 ×
6
2
n
d'où u n=sin
    


1
 0 –
×
6
6
2
n