D'après sujet de bac
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés de la suite (un) définie par la donnée d'un réel u0 et la relation pour tout
n ∈ ℕ : un+1 =
1) a) Montrer que la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
b) Déterminer u0 de sorte que la suite (un) soit constante
2) Dans la suite de l'énoncé, on posera u0 = sin
a) Justifier ce choix. Que devient (un) si
?
b) Etablir l'égalité, pour tout
c) Etablir que pour tout entier naturel, il existe un unique
. Quelle relation y a-t-il
entre
?
d) On considère la suite
de terme général vérifiant :
Montrer que cette suite est une suite géométrique. En déduire
.
La suite (un) a-t-elle une limite ? Quelle est cette limite ?
Corrigé
1) a) Soit f la fonction définie par f(x) =
. f est définie sur ]–∞;1] et dérivable sur ]-∞;1[ . On a : f '(x) =
f est donc décroissante et son tableau de variation est :
x–∞ –1 1
f '(x) –
f(x)
+∞
0
D'après ce tableau de variation : pour tout x ∈ [-1;1] , f(x) ∈ [0;1] et pour tout x ∈ ]-∞;1[ , f(x) ∈ ]1;+∞[.
Ainsi, pour u0 ∈ ]-∞;1[, u1 ∈ ]1;+∞[ et u2 n'existe pas d'où la suite (un) existe si et seulement si u0 ∈ [–1;1]
b) On veut (un) constante c'est à dire pour tout n ∈ ℕ , un+1 = un
=1+8=9 >0 ⇒ un = –1 < 0 ne convient pas ou un =
La suite est donc constante pour
2)a) On sait que la fonction sinus est strictement croissante et continue sur
ainsi d'après le théorème de la bijection, pour tout u0 ∈ [–1;1], il existe un unique
Ce choix est donc justifié. De plus, pour
est constante d'après la question
précédente
b)
(voir formules de duplication). Or
d'où le résultat
c) Initialisation:
supposons qu'il existe un entier n tel que