Université Paris Sud Année 2012-2013 L2/S4 M266 PMCP Algèbre

Université Paris Sud
Année 2012-2013
L2/S4 M266
PMCP Algèbre III
TD n◦ I
Les espaces euclidiens : normes, produits scalaires
Exercice A 1) Soient x, y et z trois réels.
a) Montrer que si x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 alors (x + 2y + 3z)2 ≤ 14.
b) Montrer que si x2 + 2y 2 + 3z 2 ≤ 1 alors (x + y + z)2 ≤
∗
2) Soient n ∈ N , x1 , . . . , xn ∈
R∗+
tels que
n
X
i=1
11
.
6
n
X
1
xi = 1. Montrer que
≥ n2 . Etudier le cas d’égalité.
x
i
i=1
Exercice B (F + F ⊥ 6= E) Soit E := C ∗ ([0, 1]) muni du produit scalaire :
hf, gi :=
Z
1
t=0
f g(t) dt, et F := {f ∈ E tq f (0) = 0} .
Montrer que F ⊥ = {0}.
Exercice C Soit (E, h·, ·i) un espace euclidien, et || · || la norme associée. Soient (x, y) ∈ E 2 .
Montrer que
||x + y|| = ||x|| + ||y|| ⇔ x = 0ou ∃ α ∈ R+ / y = αx .
Exercice D (Identité du parallélogramme) Soit (E, || · ||) un R-espace vectoriel normé.
1) On suppose que la norme de E vérifie la relation
∀x, y ∈ E,
2 ||x||2 + ||y||2
On définit
p : E × E → R , (x, y) 7→
Montrer que p est un produit scalaire sur E.
= ||x + y||2 + ||x − y||2 .
1).1
1
||x + y||2 − normx2 − ||y||2 .
2
2) Réciproquement, si E est un espace euclidien dont le produit scalaire est noté hx, yi :
p
hx, xi) vérifie (1).1), et que hx, yi = p(x, y).
a) Montrer que la norme euclidienne (définie par ||x|| :=
1
b) Démontrer l’égalité de la médiane : si (x, a, b) ∈ E 3 ,
||x −
a+b
||x − a||2 + ||x − b||2 1
|| =
− ||a − b||2 .
2
2
4
Exercice E (Inégalité de Ptolémée) Soit E un espace euclidien.
1) Pour ~x ∈ E \ {~0}, on pose f (~x) =
~
x
.
k~
x k2
Montrer que : ∀ ~x, ~y ∈ E \ {~0}, kf (~x) − f (~y )k =
k~
x−~
yk
.
k~
x k k~
yk
2) Soient ~a, ~b, ~c, d~ ∈ E. Montrer que k~a − ~c k k~b − d~ k ≤ k~a − ~b k k~c − d~ k + k~b − ~c k k~a − d~ k.
Indication : se ramener au cas ~a = ~0 et utiliser l’application f.
Exercice F (Caractérisation des bases orthonormales) Soit E un espace vectoriel euclidien, et ~e1 , . . . , ~en
des vecteurs unitaires tels que :
∀ ~x ∈ E,
2
||~x|| =
n
X
i=1
h~x, ~ei i2 .
1) Démontrer que (~e1 , . . . , ~en ) est une base orthonormale de E.
2) On remplace l’hypothèse : ~ei unitaire par : dimE = n.
a) Démontrer que (~e1 , . . . , ~en ) est une base de E.
b) Démontrer que : ∀ ~x, ~y ∈ E, (~x | ~y ) =
Pn
x
i=1 (~
| ~ei )(~y | ~ei ).
c) On note G la matrice de Gram de ~e1 , . . . , ~en . Démontrer que G2 = G et conclure.
Exercice G Soient
∞
E := C ([0, 1], R) et ϕ(f, g) :=
Z
f g + f ′g′ .
[0,1]
1) Montrer que ϕ est un produit scalaire.
2) Soient
V := {f ∈ E | f (0) = f (1) = 0} et W := {f ∈ E | f ′′ = f } .
Montrer que V et W sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur W.
3) Soit
Eαβ := {f ∈ E | f (0) = α et f (1) = β} .
Déterminer
inf
f ∈Eαβ
Z
f 2 + f ′2 .
[0,1]
Exercice H (Somme directe orthogonale) Soit E un espace préhilbertien et F1 , . . . , Fn des sous-espaces
vectoriels tels que pour i 6= j, Fi ⊥ Fj . Montrer que la somme F1 + · · · + Fn est directe.
2
Exercice I (f (x) ⊥ x ⇒ f = 0) Soit E un espace vectoriel préhilbertien complexe et f ∈ L(E) tel que
pour tout vecteur ~x ∈ E, on a f (~x) ⊥ ~x.
1) Montrer que pour tous vecteurs ~x, ~y ∈ E, on a (f (~x) | ~y ) = 0.
2) Montrer que f = 0.
3) Comparer avec le cas réel.
Exercice J (Composition de projecteurs) Soient F, G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel
euclidien E tels que F ⊥ ⊥ G⊥ . On note pF et pG les projections orthogonales sur F et sur G.
Montrer que
pF + pG − pF ∩G = IdE et pF ◦ pG = pG ◦ pF = pF ∩G .
Exercice K (Projecteurs commutant) Soit E un espace vectoriel euclidien et p, q deux projections orthogonales.
Montrer que p et q commutent si et seulement si
(Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im p et (Im p ∩ Im q)⊥ ∩ Im q
sont orthogonaux.
Exercice L (Orthogonal des polynômes) Soit E := C([0, 1], R) muni du produit scalaire usuel, F le
sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales et g la fonction exponentielle sur [0, 1].
1) Montrer que g ∈
/ F.
2) Montrer qu’il existe une suite (fn ) de fonctions polynomiales convergeant vers g pour la norme euclidienne.
3) En déduire que F n’a pas de supplémentaire orthogonal.
Exercice M 1) R3 est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs
e1 = (1, 0, 1), e2 = (1, 0, 2) et e3 = (1, 1, 1) forment une base de R3 et en déterminer l’orthonormalisée de
Gram-Schmidt.
Z +∞
2) Montrer que l’application hP, Qi =
P (t)Q(t)e−t dt définit un produit scalaire sur R2 [X]. Déterminer
0
une base orthonormée. Calculer le projeté de X 2 sur R1 [X].
Exercice N Dans R3 muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan d’équation x + 2y − 3z = 0. Donner la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce
même plan.
Exercice O Calculer
inf
(a,b)∈R2
Z
1
2
0
2
(x − ax − b) dx et
inf
(a,b)∈R2
3
Z
1
0
(ex − (ax + b))2 dx .
Exercice P On munit M2 (R) du produit scalaire hM, Ni := tr(t MN). Soit F l’ensemble des matrices
symétriques de M2 (R).
1) Calculer F ⊥ .
1 1
. Calculer d(A, F ).
2) Soit A :=
0 −1
Exercice Q Soit (E, h·, ·i) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 2. Soient x et y ∈ E.
Montrer que :
1) Si ||x|| = ||y||, alors il existe un hyperplan H de E tel que y = s(x) où s est la symétrie orthogonale
par rapport à H.
2) Si hx, yi = ||y||2 , alors il existe un hyperplan H de E tel que y = p(x) où p est la projection orthogonale
sur H.
Exercice R On note E := R[X] le R-espace vectoriel des polynômes à une indéterminée et à coefficients
réels. Pour tout n ∈ N∗ , on note En := Rn [X] le R-sous-espace vectoriel de E des polynômes de degré
inférieur ou égal à n.
1) Pour tout couple (a, b) ∈ R2 , a < b et toute fonction continue u : [a, b] → R tel que u(x) > 0, ∀x ∈
[A, b], montrer que l’application
φa,b,u : E × E → R , (P, Q) 7→
Z
b
P (t)Q(t)u(t)dt
a
est un produit scalaire sur E.
2) Montrer qu’il existe une famille Pn
Z
0
1
n∈N
de polynômes telle que Pn soit de degré n et
Pn (t)Pm (t)dt = δnm ∀(m, n) ∈ N2 .
3) Soit
u : [−1, 1] → R , t 7→ 1 + t2 .
Pour tout (P, Q) ∈ E × E, on note hP, Qi := φ−1,1,u (P, Q). Dans cette question un entier n ∈ N∗ est fixé.
a) Montrer qu’il existe une unique base orthogonale Qi ,0≤i≤n de En telle que Qi soit unitaire de degré i pour
tout 0 ≤ i ≤ n.
b) Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ n, Qi est de même parité que i.
c) Pour i ∈ {0, . . . , n}, déterminer l’orthogonal de Ei ⊂ En .
⊥
d) Montrer que Qi+2 − XQi+1 ∈ Ei−1
.
e) En déduire une méthode de calcul de Qi+2 à partir de Qi et Qi+1 .
4
4) Pour tout R ∈ E et tout n ∈ N, montrer que deg(R) < n entraîne
et
R1
R(t)Pn (t)dt = 0
R(t)Qn (t)(1 + t2 )dt = 0 .
−1
0
R1
5) Étant donné un polynôme R ∈ E, on note λi ,1≤i≤r ses racines de multiplicité impaire. Montrer
qu’alors il existe un polynôme S ∈ E de signe constant sur R tel que
R =
r
Y
(X − λi )S .
i=1
6) Déduire de ce qui précède que, pour tout n ∈ N∗ le polynôme Pn (resp. Qn ) a n racines réels deux à deux
distinctes.
Exercice S (Polynômes de Legendre) On munit R[X] du produit scalaire
hP, Qi :=
On pose, pour tout n ∈ N :
Ln (X) :=
Z
1
P (t)Q(t)dt .
−1
1 dn
[(X 2 − 1)n ] .
n
n
2 n! dx
Montrer que :
1)
Ln ∈ R[X] et hLn , Lm i = δnm
2) le coefficient du terme de plus haut degré de Ln est
2
;
2n + 1
(2n)!
;
2n (n!)2
3) Ln (1) = 1, Ln (−1) = (−1)n , Ln est pair si n est pair et impair si n est impair ;
4)
nLn (X) = (2n − 1)XLn−1 (X) − (n − 1)Ln−2 (X) ;
5)
L′n (X) = XL′n−1 (X) + nLn−1 (X) , L′n (X) − L′n−2 (X) = (2n − 1)Ln−1 (X)
puis que
(X 2 − 1)L′n (X) = n(XLn (X) − Ln−1 (X)) .
√
L2n+1 ( X)
√
sont orthogonaux pour le produit scalaire
6) Montrer que les polynômes Qn (X) :=
X
Z 1
√
hP, Qi :=
P (t)Q(t) tdt .
0
5
Exercice T Soit (E, h·, ·i) un espace euclidien et p ∈ End(E) un projecteur.
Montrer que p est orthogonal (c’est-à-dire Ker p ⊥ Im p) si et seulement si :
∀ x ∈ E , ||p(x)|| ≤ ||x|| .
Exercice U Soit (E, h·, ·i) un espace euclidien et S := {x ∈ E; ||x|| = 1}. Soient x, y ∈ S et I le
segment [x, y].
Montrer que S ∩ I = {x, y}.
Exercice V Soient x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ) appartenant à R2 . Pour quelles valeurs de a, b, c, d ∈ R
l’application f (x, y) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 est-elle un produit scalaire sur R2 ?
Exercice W Soit E l’ensemble des suites an n∈N de réels telles que la série de terme général a2n
converge.
Dans cet énoncé on emploie la notation a pour désigner une suite an n∈N de réels.
1) Montrer que E est un espace vectoriel sur R.
2) Pour tout réel non nul α, on considère la suite u(α) définie par :
αn
∀n ∈ N, un (α) := √ .
n!
Vérifier que les suites u(α) sont des éléments de E.
3) Montrer que si a et b sont éléments de E, alors la série de terme général an bn est absolument convergente.
4) Soit Φ l’application définie sur E × E à valeurs dans R par :
∀(a, b) ∈ E × E,
Φ((a, b)) :=
+∞
X
an bn .
n=0
Montrer que Φ est un produit scalaire sur E.
On notera alors ha, bi := Φ(a, b), et || · || la norme associée à Φ.
5) Montrer l’inégalité
+∞ n
X
6 2
n=0
n!
+∞ n
+∞
X
9 X 4n ≤
.
n! n=0 n!
n=0
6) Déterminer pour tout réel α la norme ||u(α)|| et pour tous réels α et β distincts, le produit scalaire
hu(α), u(β)i.
7) Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel de E engendré par la famille
u(−1), u(1), u(2) .
Pour tout entier naturel k non nul, on définit : Fk l’ensemble des suites réelles a telles que : pour tout
entier n ≥ k, an = 0 Gk l’ensemble des suites réelles a de E telles que : pour tout entier n ≤ k−1, an = 0.
8) Montrer que Fk ⊂ E, et que Fk est un sous-espace vectoriel de E.
9) Déterminer une base de Fk et donner la dimension de Fk .
10) Montrer que Gk est un sous-espace vectoriel de E.
11) Soit a une suite de E. Montrer qu’il existe deux suites r et s telles que :
r ∈ Fk , s ∈ Gk et pour tout entier naturel n, an = rn + sn
En déduire que Fk et Gk sont des espaces supplémentaires orthogonaux pour le produit scalaire Φ.
1 est un élément de E.
12) Montrer que la suite
n + 1 n∈N
Déterminer son projeté orthogonal sur Fk pour le produit scalaire Φ.
6