Université Paris Sud Année 2012-2013 L2/S4 M266 PMCP Algèbre

Université Paris Sud Année 2012-2013
L2/S4 M266 PMCP Algèbre III
TD n◦I
Les espaces euclidiens : normes, produits scalaires
Exercice A 1) Soient x, y et ztrois réels.
a) Montrer que si x2+y2+z2≤1alors (x+ 2y+ 3z)2≤14.
b) Montrer que si x2+ 2y2+ 3z2≤1alors (x+y+z)2≤11
6.
2) Soient n∈N∗, x1,...,xn∈R∗
+tels que n
X
i=1
xi= 1.Montrer que
n
X
i=1
1
xi≥n2.Etudier le cas d’égalité.
Exercice B (F+F⊥6=E) Soit E:= C ∗ ([0,1]) muni du produit scalaire :
hf, gi:= Z1
t=0
fg(t)dt, et F:= {f∈Etq f(0) = 0}.
Montrer que F⊥={0}.
Exercice C Soit (E, h·,·i)un espace euclidien, et || · || la norme associée. Soient (x, y)∈E2.
Montrer que
||x+y|| =||x|| +||y|| ⇔ x= 0ou ∃α∈R+/ y =αx .
Exercice D (Identité du parallélogramme) Soit (E, || · ||)un R-espace vectoriel normé.
1) On suppose que la norme de Evérifie la relation
∀x, y ∈E, 2||x||2+||y||2=||x+y||2+||x−y||2.1).1
On définit
p:E×E→R,(x, y)7→ 1
2||x+y||2−normx2− ||y||2.
Montrer que pest un produit scalaire sur E.
2) Réciproquement, si Eest un espace euclidien dont le produit scalaire est noté hx, yi:
a) Montrer que la norme euclidienne (définie par ||x|| := phx, xi) vérifie (1).1), et que hx, yi=p(x, y).
1

b) Démontrer l’égalité de la médiane : si (x, a, b)∈E3,
||x−a+b
2|| =||x−a||2+||x−b||2 2−1 4||a−b||2.
Exercice E (Inégalité de Ptolémée) Soit Eun espace euclidien.
1) Pour ~x ∈E\ {~ 0},on pose f(~x) = ~x
k~x k2.Montrer que : ∀~x, ~y ∈E\ {~
0},kf(~x)−f(~y)k=k~x−~y k
k~x k k~y k.
2) Soient ~a,~ b,~c, ~ d∈E. Montrer que k~a −~c kk~ b−~ dk ≤ k~a −~ bkk~c −~ dk+k~ b−~c kk~a −~ dk.
Indication : se ramener au cas ~a =~ 0et utiliser l’application f.
Exercice F (Caractérisation des bases orthonormales) Soit Eun espace vectoriel euclidien, et~e1, . . . ,~en
des vecteurs unitaires tels que :
∀~x ∈E, ||~x||2=
n
X
i=1 h~x, ~eii2.
1) Démontrer que (~e1, . . . , ~en)est une base orthonormale de E.
2) On remplace l’hypothèse : ~eiunitaire par : dimE=n.
a) Démontrer que (~e1, . . . , ~en)est une base de E.
b) Démontrer que : ∀~x, ~y ∈E, (~x |~y) = Pn
i=1(~x |~ei)(~y |~ei).
c) On note Gla matrice de Gram de ~e1, . . . , ~en.Démontrer que G2=Get conclure.
Exercice G Soient
E:= C∞([0,1],R) et ϕ(f, g) := Z[0,1] fg +f′g′.
1) Montrer que ϕest un produit scalaire.
2) Soient
V:= {f∈E|f(0) = f(1) = 0}et W:= {f∈E|f′′ =f}.
Montrer que Vet Wsont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur W.
3) Soit
Eαβ := {f∈E|f(0) = αet f(1) = β}.
Déterminer
inf
f∈Eαβ Z[0,1]
f2+f′2.
Exercice H (Somme directe orthogonale) Soit Eun espace préhilbertien et F1,...,Fndes sous-espaces
vectoriels tels que pour i6=j, Fi⊥Fj.Montrer que la somme F1+···+Fnest directe.
2

Exercice I (f(x)⊥x⇒f= 0) Soit Eun espace vectoriel préhilbertien complexe et f∈ L(E)tel que
pour tout vecteur ~x ∈E, on a f(~x)⊥~x.
1) Montrer que pour tous vecteurs ~x, ~y ∈E, on a (f(~x)|~y) = 0.
2) Montrer que f= 0.
3) Comparer avec le cas réel.
Exercice J (Composition de projecteurs) Soient F, G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel
euclidien Etels que F⊥⊥G⊥.On note pFet pGles projections orthogonales sur Fet sur G.
Montrer que
pF+pG−pF∩G= IdEet pF◦pG=pG◦pF=pF∩G.
Exercice K (Projecteurs commutant) Soit Eun espace vectoriel euclidien et p, q deux projections or-
thogonales.
Montrer que pet qcommutent si et seulement si
(Im p∩Im q)⊥∩Im pet (Im p∩Im q)⊥∩Im q
sont orthogonaux.
Exercice L (Orthogonal des polynômes) Soit E:= C([0,1],R)muni du produit scalaire usuel, Fle
sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales et gla fonction exponentielle sur [0,1].
1) Montrer que g /∈F.
2) Montrer qu’il existe une suite (fn)de fonctions polynomiales convergeant vers gpour la norme eucli-
dienne.
3) En déduire que Fn’a pas de supplémentaire orthogonal.
Exercice M 1) R3est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs
e1= (1,0,1), e2= (1,0,2) et e3= (1,1,1) forment une base de R3et en déterminer l’orthonormalisée de
Gram-Schmidt.
2) Montrer que l’application hP, Qi=Z+∞
0
P(t)Q(t)e−tdt définit un produit scalaire sur R2[X].Déterminer
une base orthonormée. Calculer le projeté de X2sur R1[X].
Exercice N Dans R3muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection ortho-
gonale sur le plan d’équation x+ 2y−3z= 0.Donner la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce
même plan.
Exercice O Calculer
inf
(a,b)∈R2Z1
0
(x2−ax −b)2dx et inf
(a,b)∈R2Z1
0
(ex−(ax +b))2dx .
3

Exercice P On munit M2(R)du produit scalaire hM, Ni:= tr(tMN).Soit Fl’ensemble des matrices
symétriques de M2(R).
1) Calculer F⊥.
2) Soit A:= 1 1
0−1.Calculer d(A, F ).
Exercice Q Soit (E, h·,·i)un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 2.Soient xet y∈E.
Montrer que :
1) Si ||x|| =||y||,alors il existe un hyperplan Hde Etel que y=s(x)où sest la symétrie orthogonale
par rapport à H.
2) Si hx, yi=||y||2,alors il existe un hyperplan Hde Etel que y=p(x)où pest la projection orthogonale
sur H.
Exercice R On note E:= R[X]leR-espace vectorieldes polynômes àune indéterminée et à coefficients
réels. Pour tout n∈N∗,on note En:= Rn[X]le R-sous-espace vectoriel de Edes polynômes de degré
inférieur ou égal à n.
1) Pour tout couple (a, b)∈R2, a < b et toute fonction continue u: [a, b]→Rtel que u(x)>0,∀x∈
[A, b],montrer que l’application
φa,b,u :E×E→R,(P, Q)7→ Zb
a
P(t)Q(t)u(t)dt
est un produit scalaire sur E.
2) Montrer qu’il existe une famille Pnn∈Nde polynômes telle que Pnsoit de degré net
Z1
0
Pn(t)Pm(t)dt =δm
n∀(m, n)∈N2.
3) Soit
u: [−1,1] →R, t 7→ 1 + t2.
Pour tout (P, Q)∈E×E, on note hP, Qi:= φ−1,1,u(P, Q).Dans cette question un entier n∈N∗est fixé.
a) Montrer qu’il existe une unique base orthogonale Qi,0≤i≤nde Entelle que Qisoit unitaire de degré ipour
tout 0≤i≤n.
b) Montrer que pour tout 0≤i≤n, Qiest de même parité que i.
c) Pour i∈ {0,...,n},déterminer l’orthogonal de Ei⊂En.
d) Montrer que Qi+2 −XQi+1 ∈E⊥
i−1.
e) En déduire une méthode de calcul de Qi+2 à partir de Qiet Qi+1.
4

4) Pour tout R∈Eet tout n∈N,montrer que deg(R)< n entraîne
R1
0R(t)Pn(t)dt = 0
et R1
−1R(t)Qn(t)(1 + t2)dt = 0 .
5) Étant donné un polynôme R∈E, on note λi,1≤i≤rses racines de multiplicité impaire. Montrer
qu’alors il existe un polynôme S∈Ede signe constant sur Rtel que
R=
r
Y
i=1
(X−λi)S .
6) Déduire de ce qui précède que, pour tout n∈N∗le polynôme Pn(resp. Qn) a nracines réels deux à deux
distinctes.
Exercice S (Polynômes de Legendre) On munit R[X]du produit scalaire
hP, Qi:= Z1
−1
P(t)Q(t)dt .
On pose, pour tout n∈N:
Ln(X) := 1
2nn!
dn
dxn[(X2−1)n].
Montrer que :
1)
Ln∈R[X] et hLn, Lmi=δm
n
2
2n+ 1 ;
2) le coefficient du terme de plus haut degré de Lnest (2n)!
2n(n!)2;
3) Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, Lnest pair si nest pair et impair si nest impair;
4)
nLn(X) = (2n−1)XLn−1(X)−(n−1)Ln−2(X) ;
5)
L′
n(X) = XL′ n−1(X) + nLn−1(X), L′ n(X)−L′ n−2(X) = (2n−1)Ln−1(X)
puis que
(X2−1)L′
n(X) = n(XLn(X)−Ln−1(X)) .
6) Montrer que les polynômes Qn(X) := L2n+1(√X)
√Xsont orthogonaux pour le produit scalaire
hP, Qi:= Z1
0
P(t)Q(t)√tdt .
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