L`adhérence des décimaux inversibles Une preuve

Lambert Arsac CRCG
L’adhérence des décimaux inversibles
Une preuve
On se propose d’énoncer puis de démonter le résultat suivant.
Théorème 1 L’ensemble des nombres décimaux inversibles est dense dans l’en-
semble des nombres réels :
D×=R.
Pour cela, commençons par rappeler ce qu’est un nombre décimal.
Définition 1 Un nombre réel dest appelé nombre décimal s’il existe n∈Ntel que
10nd∈Z.
On note Dl’ensemble des nombre décimaux, et D×l’ensemble des nombres décimaux
inversibles dans D.
Essayons maintenant de caractériser les décimaux inversibles.
Proposition 1
D×={ε2α5β,(ε,α,β)∈ {−1,1} × Z2}.
Preuve.
Notons E:= {ε2α5β,(ε,α,β)∈ {−1,1} × Z2}.
Soit d1∈D×. Il existe donc d2∈Dtel que d1d2= 1
Par définition d’un nombre décimal, il existe donc (k1,k2)∈Z2tel que 10kidi∈Z
pour i= 1,2. Même mieux, on peut choisir εi∈ {−1,1}tel que ni:= εi10kidi∈N
pour i= 1,2.
On a donc
n1n2=ε1ε210k1+k2=ε1ε22k1+k25k1+k2∈N,
et d’après le théorème fondamental de l’arithmétique, il existe donc (ε,α,β)∈
{−1,1} × Z2tel que n1=ε2α5β.
Donc
d1=εn1
10k1=ε2α5β10−k1=ε2α−k15β−k1∈E.
Donc D×⊂E.
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Réciproquement, soit (ε,α,β)∈ {−1,1} × Z2.
On a
1
ε=ε
1
2α=5α 10α
1
5β=2β 10β
,
donc
1
ε2α5β=ε2β5α10−α−β.
Donc 10α+β(ε2α5β)−1∈Z, ce qui donne bien que ε2α5β∈D×.
Finalement, D×=E.
Approchons maintenant de la preuve du théorème principal, pour cela choisissons
x∈R, et essayons de construire une suite (δn)n∈Nd’éléments de D×telle que
δn∈D×−−−−→
n→+∞
x∈R.
Pour cela, construisons par récurrence une suite (δn)n∈Ntelle que
∀n∈N|x−δn|610−n.
On pose δ0:= bxc ∈ Z⊂D×, on a bien |x−δ0|610−0= 1.
Soit n∈N>1tel qu’il existe (δk)06k6n−1vérifiant les propriétés énoncées.
On a x∈R, donc il existe ε∈ {−1,1},m∈Z,(xi)i∈[[1,m]] tels que
x=ε
m
X
i=−∞
xi10i.
Nous allons avoir besoin de petits lemmes que nous énonçons et démontrons (ce qui
est fait n’est plus à faire).
Lemme 1 Soit Hun sous-groupe de (R,+).
L’ensemble Hest soit monogène, soit dense dans R.
Preuve.
Soit Hun sous-groupe additif de R.
On a clairement H∩R+6=∅.
Posons
η:= inf{h∈H∩R+}.
Distinguons deux cas.
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?Si η > 0.
Soit h∈H, et k∈Ztel que
kη 6|h|<(k+ 1)η.
On a |h| − kη ∈H, et 06|h| − kη < (k+ 1)η−kη =η.
Donc pas définition de η,|h| − kη = 0, donc h=±kη.
Donc H= [η], et donc en particulier Hest monogène.
?Si η= 0.
Soit r∈R,ε > 0.
Comme η= 0, il existe h∈]0,ε]∩H.
On considère r>0, le cas rnégatif se traitant exactement de la même façon.
Soit k∈Ntel que
kh 6r < (k+ 1).
On a bien kh ∈H, et de plus
06r−kh
6(k+ 1)h−kh
=h
6ε
Donc |r−kh|6ε, ce qui montre que Hest dense dans R.
Lemme 2 L’ensemble
G:= {αln(2) + βln(10),(α,β)∈Z2}
est dense dans R.
Preuve.
On a clairement que Gest un sous-groupe additif de R.
Or d’après le lemme 1, Gest soit monogène, soit dense dans R.
Il suffit donc de montrer que Gn’est pas monogène.
Supposons par l’absurde qu’il existe γ∈Rtel que G= [γ].
On a (ln(2),ln(10)) ∈G2, donc il existe (a,b)∈Z2tel que
(ln(2) = aγ
ln(10) = bγ ,
donc bln(2) = aln(10), ce qui revient à dire que 2b= 10a.
D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, on a donc a=b= 0, ce qui est
absurde.
L’ensemble Gest donc dense dans R.
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Revenons à la construction de notre suite.
Posons
Nn:=
m+n
X
i=0
xi10i.
On veut trouver (α,β)∈N2tel que
Nn10β62α<(Nn+ 1)10β.(1)
En passant au logarithme, cela revient à vouloir
ln(Nn) + βln(10) 6αln(2) <ln(Nn+ 1) + βln(10),
soit
ln(Nn)6αln(2) −βln(10) <ln(Nn+ 1).
Or |ln(Nn+ 1) −ln(Nn)|>0.
Donc d’après le lemme 2, un tel couple (α,β)existe.
Ce couple vérifie alors l’équation (1).
On a donc
Nn62α10−β< Nn+ 1.
Posons
δn:= ε2α10−β10−n
=ε2α−β−n5−β−n.
D’après la proposition 1, nous avons bien δn∈D×.
De plus,
|x−δn|=
m
X
i=−∞
xi10i−ε2α10−β
| {z }
>Nn
10−n
6
m
X
i=−∞
xi10i−εNn10−n
=
m
X
i=−∞
xi10i−ε m+n
X
i=0
xi10i!10−n
=
m
X
i=−∞
xi10i−ε
m
X
i=−n
xi10i
=
−(n+1)
X
i=−∞
xi10i
610−n
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Ainsi, nous avons bien construit une suite (δn)n∈Ntelle que
∀n∈Nδn∈D×et |x−δn|610−n−−−−→
n→+∞0.
Donc
D×=R,
ce qui conclut la preuve du théorème.
La résolution d’une conjecture en appelant une autre, voici ce que nous proposons.
Nous savons déjà que
D6Q6A6R,
(ce sont tous des sous-anneaux de (R,+,×)) et comme D×⊂D, nous avons aussi
montré la densité des tous ces sous-ensembles de R.
Cependant.
Existe-t-il E D un sous-anneau de (R,+,×)tel que E×=R?
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