T.ES CONTINUITE La notion de continuité nous est familière : le temps s’écoule d’une manière continue, on ne passe pas brutalement de 12h à 12h 01s, il n’y a pas de saut. C’est en ce sens que l’expression fonction continue est employée en mathématiques. I - FONCTION CONTINUE Définition 1 : Une fonction f est continue en un point a si lim = f (a ) x→a Cette définition signifie en outre que f est définie en a et que lim f ( x) existe. x→a Par exemple la fonction inverse n’est pas continue en 0 car 0 n’a pas d’inverse. Définition 2 : Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I , lim = f (a ) . x→a Remarque : En terminale ES on ne vous demandera pas de démontrer qu’une fonction est continue. Intuitivement une fonction continue est celle dont la courbe représentative, ne présente aucun saut, aucun trou, aucune asymptote verticale. Exemples : 1. f ( x) = 2x x O f n’est pas continue en 0, car f n’est pas définie en 0 et lim f ( x) x →0 n’existe pas. 2x − x2 2. g ( x) = 2 x − 2x + 1 O la fonction g n’est pas définie pour x = 1, elle n’est pas continue en 1 Page 1 sur 4 T.ES CONTINUITE 9 8 7 lim q ( x) = 4,5 mais q n’est 6 x − 3x 3. q ( x ) = 2x − 6 3 x→ 3 5 2 4 pas continue en 3, car q n’est pas définie en 3. 3 2 1 0 -5 x2 − 1 si x ≠ 1 4. h( x) = x − 1 si x = 1 2 -1 0 5 la fonction h est continue puisque h(1) = 2 et lim h( x) = 2 O x →1 5. La fonction partie entière Tout réel x appartenant à un intervalle unique du type [ p ; p + 1 [ avec p entier relatif , on appelle partie entière de x, notée E ( x ), l’entier p immédiatement inférieur ou égal à x 3 par exemple : E ( − 3 ) = − 2 et E ( 3 ) = 1 La fonction E n’est pas continue. 2 1 6. Nous admettrons que : 0 − les fonctions polynômes sont continues sur IR . − les fonctions rationnelles p q sont -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où le dénominateur ne s’annule pas. II – THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = c admet une solution unique હ ∈ [ a ; b ]. Page 2 sur 4 3 4 T.ES CONTINUITE f ( b) f ( b) y=c c y=c c f ( a) f ( a) O α b α a a b f est continue et strictement croissante sur f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [ a ; b ] . l’intervalle [ a ; b ]. O L’équation f (x) = c admet une solution unique L’équation f (x) = c admet une solution unique હ હ f ( b) f ( b) y=c c f ( a) O y=c c f ( a) a α1 α2 α 3b f est continue mais n’est pas monotone sur l’intervalle [a;b]. L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs solutions O a b f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] . L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de solutions. CONVENTION Dans un tableau de variation, on conviendra que les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. EXEMPLE D’APPLICATION DU THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) = 1 − 2 x − x + 2 . Résoudre f (x) = 2 f est une application affine par morceaux telle que : − x + 3 si x ≤ −2 f ( x) = −3 x − 1 si − 2 ≤ x ≤ 0,5 x − 3 si x ≥ 0,5 Nous avons le tableau de variation de f ainsi que sa courbe. O Page 3 sur 4 CONTINUITE T.ES + ∞ − Sur l’intervalle ] −∞ ; − 2] f est strictement +∞ 5 décroissante et f (− − − 2,5 2) ≥ 5 alors l’équation f (x) = 2 n’a pas de solution dans cet intervalle. − Sur l’intervalle [− − 2 ; 0,5] f est strictement décroissante et 2 ∈ [− − 2,5 ; 5] alors l’équation f (x) = 2 admet une solution unique dans l’intervalle [− − 2 ; 0,5] (Un calcul rapide donne : x = − 1) − Sur l’intervalle [0,5 ; +∞ ∞ ] f est strictement croissante et f (3) = 0 et f (6) = 3 alors l’équation f (x) = 2 admet une solution unique dans l’intervalle [3 ; 6]. (Un calcul rapide donne : x = 5) x −∞ +∞ f −2 0,5 Page 4 sur 4