Une fonction f est continue en un point a si lim Cette définition

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La notion de continuité nous est familière : le temps s’écoule d’une manière continue, on ne
passe pas brutalement de 12h à 12h 01s, il n’y a pas de saut.
C’est en ce sens que l’expression fonction continue est employée en mathématiques.
I - F ONCTION CONTINUE
Définition 1 :
Une fonction f est continue en un point a si
lim ( )
x a
f a
→
=
Cette définition signifie en outre que f est définie en a et que
lim ( )
x a
f x
→
existe.
Par exemple la fonction inverse n’est pas continue en 0 car 0 n’a
pas d’inverse.
Définition 2 :
Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie
sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I ,
lim ( )
x a
f a
→
=
.
Remarque :
En terminale ES on ne vous demandera pas de démontrer qu’une
fonction est continue. Intuitivement une fonction continue est
celle dont la courbe représentative, ne présente aucun saut,
aucun trou, aucune asymptote verticale.
Exemples :
1.
2
( )
x
f x
x
=
f
n’est pas continue en
0, car f
n’est pas
définie en 0 et
0
lim ( )
x
f x
→
n’existe pas.
2.
2
2
2
( )
2 1
x x
g x
x x
−
=
− +
la fonction g
n’est pas
définie pour x = 1, elle
n’est pas continue en 1
O
O

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-3
-2
-1
0
1
2
3
-4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.
( )
3 2
3
2 6
x x
q x
x
−
=
−
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 0 5
3
lim ( ) 4,5
x
q x
→
=
mais q
n’est
pas continue en 3, car
q n’est pas définie en 3.
4.
2
1
si 1
( ) 1
2 si 1
x
x
h x x
x
−
≠
=−
=
la fonction h est
continue puisque h
(1)
= 2 et
1
lim ( ) 2
x
h x
→
=
5. La fonction partie entière
Tout réel x appartenant à un intervalle unique du type [ p ; p + 1 [
avec p entier relatif , on appelle partie entière de x, notée E ( x ),
l’entier p immédiatement inférieur ou égal à x
par exemple : E
(
)
3
− = −
−−
− 2 et E
(
)
3
= 1
La fonction E n’est pas continue.
6. Nous admettrons que :
− les fonctions polynômes sont continues
sur IR .
− les fonctions rationnelles
p
q
sont
continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout
point où le dénominateur ne s’annule pas.
II – T HEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un
intervalle [ a ; b ], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b)
, l’équation f (x) = c admet une solution unique હ
હહ
હ ∈
∈∈
∈ [ a ; b ].
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f est continue et strictement croissante sur
l’intervalle [ a ; b ].
L’équation f (x) = c admet une solution unique
હ
હહ
હ
f est continue et strictement décroissante sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c admet une solution unique
હ
હહ
હ
f
est continue mais n’est pas
monotone sur l’intervalle
[ a ; b ] .
L’équation f (x) = c
peut avoir
plusieurs solutions
f
n’est pas continue sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c
peut ne pas
avoir de solutions.
C ONVENTION
Dans un tableau de variation, on conviendra que les flèches
obliques de variation traduisent la continuité et la stricte
monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
E XEMPLE D ’ APPLICATION DU THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Soit f la fonction définie sur IR par
( ) 1 2 2
f x x x
= − − +
. Résoudre
f (x) = 2
f est une application affine par morceaux telle que :
3 si 2
( ) 3 1 si 2 0,5
3 si 0,5
x x
f x x x
x x
− + ≤ −
= − − − ≤ ≤
− ≥
Nous avons le tableau de variation de f ainsi
que sa courbe.
a
b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
O
a
α
1
b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
α
2
α
3
O
O
a
α
b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
O
a
α
b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
O

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− Sur l’intervalle ] −
−−
−∞
∞∞
∞ ;
−
−−
− 2] f est strictement
décroissante et f (−
−−
−
2) ≥
≥≥
≥ 5 alors
l’équation f (x) = 2 n’a pas de solution dans cet intervalle.
− Sur l’intervalle [−
−−
− 2 ; 0,5] f est strictement décroissante et 2 ∈
∈∈
∈
[−
−−
− 2,5 ; 5] alors l’équation f (x) = 2 admet une solution unique
dans l’intervalle [−
−−
− 2 ; 0,5] (Un calcul rapide donne : x = −
−−
− 1)
− Sur l’intervalle [0,5 ; +∞
∞∞
∞ ] f est strictement croissante et f (3) =
0 et f (6) = 3 alors l’équation f (x) = 2 admet une solution
unique dans l’intervalle [3 ; 6]. (Un calcul rapide donne : x = 5)
x
−
−−
− ∞
∞∞
∞
−
−−
−
2 0,5 +
∞
∞∞
∞
f +
∞
∞∞
∞
+
∞
∞∞
∞
5
− 2,5