Contrôle Continu n 2 – Corrigé

LICENCE
B05 : Polynˆomes, fractions rationnelles et s´eries formelles
Contrˆole Continu n◦2– Corrig´e
Soit P=X6+X5+ 3 X4+ 2 X3+ 3 X2+X+ 1 .
1. Quelle est la multiplicit´e de i(i2=−1) comme racine de P?
On a P(i) = i6+i5+ 3 i4+ 2 i3+ 3 i2+i+ 1 = −1 + i+ 3 −2i−3 + i+ 1 = 0.
On a P0= 6 X5+ 5 X4+ 12 X3+ 6 X2+ 6 X+ 1 et P0(i) = −6i+ 5 −12 i−6 + 6 i+ 1 = 0.
On a P00 = 30 X4+ 20 X3+ 36 X2+ 12 X+ 6 et P00 (i) = 30 −20 i−36 + 12 i+ 6 = −8i6= 0.
Donc iest racine de Pde multiplicit´e 2.
2. Trouver toutes les racines de Pdans C, avec leurs ordres de multiplicit´e.
Puisque Pest `a coefficients r´eels et que iest racine de Pde multiplicit´e 2, son conjugu´e −iest aussi
racine de Pde multiplicit´e 2. On a d´ej`a 4 des racines de Pdans Ccompt´ees avec multiplicit´e. Appelons
αet βles deux autres racines (Pest de degr´e 6, donc il a 6 racines compt´ees avec multiplicit´e dans
C). Puisque Pest unitaire, la somme des racines est l’oppos´e du coefficient de X5dans P. On a donc
i+i+ (−i) + (−i) + α+β=−1, d’o`u α+β=−1. Comme Pest en plus de degr´e pair, le produit des
racines est le terme constant, donc i×i×(−i)×(−i)×α×β= 1, d’o`u αβ = 1. Les nombres αet β, sont
les racines de l’´equation X2+X+ 1 = 0, d’o`u α=−1 + i√3
2=jet β=−1−i√3 2=j.
Les racines de Pdans Csont iavec multiplicit´e 2, −iavec multiplicit´e 2, jet j.
3. Donner la factorisation de Pen produit de facteurs irr´eductibles sur R.
En regroupant chaque racine imaginaire avec sa conjugu´ee (iavec −i,javec j), on obtient
P= (X2+ 1)2(X2+X+ 1) .
4. Trouver le pgcd unitaire de Pet du polynˆome d´eriv´e P0.
Parmi les racines de Pdans C,iet −isont racines de P0de multiplicit´e 1, et jet jne sont pas racines
de P0. Les racines du pgcd de Pet P0dans Csont donc iet −iavec multiplicit´e 1, et le pgcd unitaire est
(X−i)(X+i) = X2+ 1.