Intégrales curvilignes, formes différentielles

Ici,
3ou 2p
.
I Intégrale curviligne le long d’une courbe
Soit
)(
],[: tMt ba p
R
un arc paramétré de classe
1
C
, de support C.
Soit
RCf :
une fonction continue.
On appelle intégrale curviligne de f le long de , et on note
dsMf )(
le réel défini par
 b
adt
ds dtttMfdsMf )())(()(
(où
)()( t
dt
dM
t
dt
ds 
)
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable » (en particulier pas de points doubles autres qu’en
des points isolé), cette intégrale ne dépend que de C.
Généralisation :
Aux arcs continus et de classe
1
C
par morceaux,
c'est-à-dire que est continu et il existe une subdivision
baaaa n ...
21
de
],[ ba
telle que
],/[ 1
,,1 ii aa ni 
est de classe
1
C
.
(On généralise par addition…)
Interprétation :
s étant une abscisse curviligne,
ds
représente « le déplacement élémentaire sur C ».
Ainsi,
 n
iiii
ntststMfdsMf 11))()())(((lim)(
(admis)
où, pour tout
ni ,0
,
nab
iiat 
 .
(subdivision régulière de
],[ ba
).
Utilité :
Exemple : un fil dont la forme est donné par la courbe paramétrée , de densité linéique
)(: MpMp 
(fonction continue de M) a pour masse totale
dsMp )(
.
II Formes différentielles sur un ouvert de
p
R
.
Soit un ouvert de
p
R
.
A) Définition
Une forme différentielle sur
est une application de dans
),( RRp L
.
Si par exemple
3p
, on sait que
),( 3RRL
(dual de
3
R
) est un R-ev de
dimension 3, dont une base naturelle est constituée des 3 projecteurs :
xzyx ),,(
,
yzyx ),,(
et
zzyx ),,(
, qu’on a notés en analyse
dzdydx ,,
.
Ainsi, une forme différentielle sur s’écrit :
CdzBdyAdx 
où A, B, C sont 3 applications de dans R.
Autrement dit :
dzzyxCdyzyxBdxzyxAzyxzyx ),,(),,(),,(),,(,),,( 3 R
.
On dit que est de classe
k
C
lorsque A, B, C le sont.
De même si
2p
, une forme différentielle sur un ouvert de
2
R
s’écrit :
BdyAdx
où A et B sont des fonctions de dans R.
Exemples :
Intégrales curvilignes, formes différentielles

- définie par
xydydxxyxyx  )12(),(,),( R
est une forme
différentielle de classe
1
C
sur
2
R
.
- Si
RR 
2
:f
est de classe
1
C
, alors
dy
y
f
dx
x
f
df 
est une forme
différentielle continue sur .
B) Formes différentielles exactes
Définition :
Soit une forme différentielle continue sur . On dit que est exacte lorsqu’il
existe f, de classe
1
C
sur , telle que
df
.
Autrement dit, avec
2p
par exemple :
La forme différentielle définie par
dyyxBdxyxAyxyx ),(),(),(,),( 
(où A et B sont continues) est exacte si et seulement si il existe f, de classe
1
C
, telle que
 ),( yx
,
),(),( yx
x
f
yxA 
et
),(),( yx
y
f
yxB 
.
C) Intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’une courbe
Soit
)(
],[: tMt ba p
R
un arc de classe
1
C
et de support C.
On prend les notations habituelles :
On pose
 b
adttvtM ))())((( 
.
Attention :
)),(,( RRp LF
,
),())(( RRp LtM 
et
R))())((( tvtM 
.
Autrement dit, dans le cas
2p
:
Si
dyyxBdxyxAyxyx ),(),(),(,),( 
, alors :
  b
adttytytxBtxtytxA )(')).(),(()(')).(),((
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable », cette intégrale ne dépend que de C et de
l’orientation de C définie par ce paramétrage (l’intégrale est changée en son opposée si
la paramétrisation inverse l’orientation de C).
Lien avec les intégrales curvilignes de fonctions :
dsMTMdtttTtMdttTttM b
adt
ds
b
adt
ds ))()(()())())((())()())((( 
On peut ici encore généraliser aux arcs continus et
1
C
par morceaux, par addition.
Cas où est exacte :
Théorème :
Soit
R:f
, de classe
1
C
, et soit
p
ba R],[:
continue et de classe
1
C
par
morceaux, de support contenu dans .
Alors
)()( AfBfdf 
, où A est le point de de paramètre a, B celui de
paramètre b.
En particulier, si est fermé (c'est-à-dire
BA 
),
0 df
.
Démonstration :
Avec les notations précédentes, dans le cas
2p
par exemple :

)()())(),(()(')).(),(()(')).(),((
))(),(( de en dérivée
AfBftytxfdttytytx
y
f
txtytx
x
fb
a
b
a
tytxftt
III Circulation d’un champ de vecteurs
Soit un ouvert de
3
R
, et soit
3
:RF
un champ de vecteurs de classe
0
C
.
On a :
)),,(),,,(),,,((),,(,),,( zyxZzyxYzyxXzyxFzyx  
Soit la forme différentielle
ZdzYdyXdx 
.
Alors est aussi noté
dMMF )(
, appelé circulation de
F
le long de .
Justification, interprétation :
n
iiii
n
b
a
b
a
MMtMF
dttvMF
dttztMZtytMYtxtMX
11
))((lim
).()(
)(')).(()(')).(()(')).((
Où
nab
iiat 
 .
et
)( ii tMM 
.
(La dernière égalité est admise, mais intuitivement claire)
Ainsi, le théorème du paragraphe précédent s’écrit aussi :
)()(grad AfBfdMf
M
(circulation d’un champ dérivant d’un potentiel)
où
R:f
est de classe
1
C
.