Intégrales curvilignes, formes différentielles

Intégrales curvilignes, formes différentielles
Ici, p  2 ou 3 .
I Intégrale curviligne le long d’une courbe
Soit  : [a, b]  R p un arc paramétré de classe C 1 , de support C.
t M (t )
Soit f : C  R une fonction continue.
On appelle intégrale curviligne de f le long de  , et on note

b
f ( M )ds   f ( M (t )) ds
dt (t ) dt (où
a
 f (M )ds le réel défini par
ds
dM
(t ) 
(t ) )
dt
dt
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable » (en particulier pas de points doubles autres qu’en
des points isolé), cette intégrale ne dépend que de C.
Généralisation :
Aux arcs continus et de classe C 1 par morceaux,
c'est-à-dire que  est continu et il existe une subdivision a  a1  a2  ...  an  b de
[ a, b] telle que i  1, n ,  /[ai1 ,ai ] est de classe C 1 .
(On généralise par addition…)
Interprétation :
s étant une abscisse curviligne, ds représente « le déplacement élémentaire sur C ».
Ainsi,

f ( M )ds  lim
n  
n
 f (M (t ))( s(t )  s(t
i 1
i
i
i 1
)) (admis)
où, pour tout i   0, n  , ti  a  i. bna (subdivision régulière de [ a, b] ).
Utilité :
Exemple : un fil dont la forme est donné par la courbe paramétrée  , de densité linéique
p : M  p( M ) (fonction continue de M) a pour masse totale
II Formes différentielles sur un ouvert de R
p
 p(M )ds .
.
Soit  un ouvert de R p .
A) Définition
Une forme différentielle sur  est une application de  dans L(R p , R ) .
Si par exemple p  3 , on sait que L(R 3 , R ) (dual de R 3 ) est un R-ev de
dimension 3, dont une base naturelle est constituée des 3 projecteurs : ( x, y, z )  x ,
( x, y, z )  y et ( x, y, z )  z , qu’on a notés en analyse dx, dy , dz .
Ainsi, une forme différentielle  sur  s’écrit :
  Adx  Bdy  Cdz oùA, B, C sont 3 applications de  dans R.
Autrement dit :
( x, y, z )  R 3 ,  ( x, y, z )  A( x, y, z )dx  B( x, y, z )dy  C ( x, y, z )dz .
On dit que  est de classe C k lorsque A, B, C le sont.
De même si p  2 , une forme différentielle sur un ouvert  de R 2 s’écrit :
  Adx  Bdy oùA et B sont des fonctions de  dans R.
Exemples :
-  définie par ( x, y )  R ,  ( x, y )  (2 x  1)dx  xydy est une forme
différentielle de classe C 1 sur R 2 .
f
f
- Si f : R 2  R est de classe C 1 , alors df  dx  dy est une forme
x
y
différentielle continue sur  .
B) Formes différentielles exactes
Définition :
Soit  une forme différentielle continue sur  . On dit que  est exacte lorsqu’il
existe f, de classe C 1 sur  , telle que   df .
Autrement dit, avec p  2 par exemple :
La forme différentielle  définie par ( x, y )  ,  ( x, y )  A( x, y )dx  B( x, y )dy
(où A et B sont continues) est exacte si et seulement si il existe f, de classe C 1 , telle que
f
f
( x, y )   , A( x, y ) 
( x, y ) et B( x, y )  ( x, y ) .
x
y
C) Intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’une courbe
Soit  : [a, b]  R p un arc de classe C 1 et de support C.
t M (t )
On prend les notations habituelles :
b

On pose      ( M (t ))( v (t )) dt .

a

Attention :   F(, L(R p , R )) ,  ( M (t ))  L(R p , R ) et  ( M (t ))( v (t ))  R .
Autrement dit, dans le cas p  2 :
Si ( x, y )  ,  ( x, y )  A( x, y )dx  B( x, y )dy , alors :
    A( x(t ), y(t )).x' (t )  B( x(t ), y(t )). y' (t )dt
b

a
Admis :
Si le paramétrage est « raisonnable », cette intégrale ne dépend que de C et de
l’orientation de C définie par ce paramétrage (l’intégrale est changée en son opposée si
la paramétrisation inverse l’orientation de C).
Lien avec les intégrales curvilignes de fonctions :



b
b
ds
ds



(
M
(
t
))(
(
t
)
T
(
t
))
dt


(
M
(
t
))(
T
(
t
))
(
t
)
dt


(
M
)(
T
( M )) ds
dt
dt
 



a

a
1
On peut ici encore généraliser aux arcs continus et C par morceaux, par addition.
Cas où  est exacte :
Théorème :
Soit f :   R , de classe C 1 , et soit  : [a, b]  R p continue et de classe C 1 par
morceaux, de support contenu dans  .
Alors  df  f ( B)  f ( A) , où A est le point de  de paramètre a, B celui de

paramètre b.
En particulier, si  est fermé (c'est-à-dire A  B ),
 df  0 .
Démonstration :
Avec les notations précédentes, dans le cas p  2 par exemple :
 f

f
b
( x(t ), y (t )). x' (t )  ( x(t ), y (t )). y' (t ) dt   f ( x(t ), y(t ))a  f ( B)  f ( A)

a x
y



  
b
dérivée en t de t  f ( x ( t ), y ( t ))
III Circulation d’un champ de vecteurs

Soit  un ouvert de R 3 , et soit F :   R 3 un champ de vecteurs de classe C 0 .

On a : ( x, y, z )  , F ( x, y, z )  ( X ( x, y, z ), Y ( x, y, z ), Z ( x, y, z ))
Soit  la forme différentielle   Xdx  Ydy  Zdz .


Alors   est aussi noté  F ( M )  dM , appelé circulation de F le long de  .


Justification, interprétation :
   X (M (t )).x' (t )  Y (M (t )). y' (t )  Z (M (t )).z' (t )dt
b
a
b 

  F ( M )  v (t ).dt
a
 lim
n  
n

 F (M (t ))  M
i 1
ba
n
i
i 1
Mi
Où ti  a  i. et M i  M (ti ) .
(La dernière égalité est admise, mais intuitivement claire)
Ainsi, le théorème du paragraphe précédent s’écrit aussi :
 grad
M
f  dM  f ( B)  f ( A) (circulation d’un champ dérivant d’un potentiel)
où f :   R est de classe C 1 .