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EPFL - M. Troyanov and J. Cristina
Introduction aux variétés différentiables Exercices
20 décembre 2016
Exercice 14.1. (a) Prouver la formule suivante pour la différentielle extérieure d’une 1-forme :
dω(X, Y ) = X(ω(Y)) −Y(ω(Y)) −ω([X, Y ]).
(b) ?Prouver ensuite la généralisation pour une k-forme :
dω(X1,··· , Xk+1) =
k+1
X
i=1
(−1)i+1Xiω(X1,··· ,c Xi,··· , Xk+1)
+X
1≤i<j≤k+1
(−1)i+jω([Xi, Xj], X1,··· ,c Xi,··· ,c Xj,··· , Xk+1)
(la notation c Xisignifie que le terme Xiest omis dans la somme).
(c) En déduire une nouvelle preuve que la définition de la différentielle extérieure est indépendante du
choix de coordonnées locales.
Exercice 14.2. Let Mbe a smooth manifold. Consider the set of closed k-forms Ck={β∈Ωk(M)|
dβ = 0}. Show that there is a subspace Vof Ckwhich is isomorphic to Hk(M)such that Ck=
V⊕d(Ωk−1(M)).
In other words for any β∈Ckthere is a unique γ∈Vsuch that the equation
dη =β−γ
has a solution, and that for β∈d(Ωk−1(M)) γ= 0. Note that for compact manifolds dim Hk(M)is
finite. So this says that the solvability of the equation dη =βis parametrised by Hk(M). And for all
compact manifolds this is a finite dimensional space.
Exercice 14.3. Écrivons les coordonnées usuelles de R2nsous la forme x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn. Soit
αla 2-forme Pn
i=1 dxi∧dyi. Calculer αn=α∧ ··· ∧ α
| {z }
nfois
.
Indication. Commencer par les exemples en petite dimension.
Exercice 14.4. Une forme différentielle à valeur complexe sur une variété Mde degré kest une
expression du type α+iβ où α, β ∈Ωk(M)et i=√−1. On note Ωk(M, C)l’ensemble de ces formes.
a) Prouver que si Uest un ouvert de C, alors la fonction f∈C1(U, Cest holomorphe si et seulement
si ω=f(z)dzΩ1(U, C)est une forme fermée.
En déduire une preuve du théorème intégral de Cauchy : Si Uest un ouvert simplement connexe de C
et si γ:S1→Uest un lacet différentiable dans U, alors pour toute fonction holomorphe f:U→C
on a ´γf(z) dz= 0.
Exercice 14.5. On considère un ouvert (connexe) Ude Rn, muni des coordonnées globales usuelles.
Une forme différentielle αde degré kest dite décomposable s’il existe kformes ω1, . . . , ωkde degré 1
telles que α=ω1∧ ··· ∧ ωk.
(i) Si αest décomposable, que vaut α∧α?
(ii) La forme dx1∧dx2−dx2∧dx3+dx3∧dx1est-elle décomposable (n>3) ?
(iii) Même question pour la forme dx1∧dx2+dx3∧dx4(n>4).