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EPFL Introduction aux variétés différentiables
M. Troyanov and J. Cristina
Exercices
20 décembre 2016
Exercice 14.1. (a) Prouver la formule suivante pour la différentielle extérieure d’une 1-forme :
dω(X, Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(Y )) − ω([X, Y ]).
(b) ? Prouver ensuite la généralisation pour une k-forme :
dω(X1 , · · · , Xk+1 ) =
k+1
X
ci , · · · , Xk+1 )
(−1)i+1 Xi ω(X1 , · · · , X
i=1
+
X
ci , · · · , X
cj , · · · , Xk+1 )
(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , · · · , X
1≤i<j≤k+1
ci signifie que le terme Xi est omis dans la somme).
(la notation X
(c) En déduire une nouvelle preuve que la définition de la différentielle extérieure est indépendante du
choix de coordonnées locales.
Exercice 14.2. Let M be a smooth manifold. Consider the set of closed k-forms C k = {β ∈ Ωk (M ) |
dβ = 0}. Show that there is a subspace V of C k which is isomorphic to H k (M ) such that C k =
V ⊕ d(Ωk−1 (M )).
In other words for any β ∈ C k there is a unique γ ∈ V such that the equation
dη = β − γ
has a solution, and that for β ∈ d(Ωk−1 (M )) γ = 0. Note that for compact manifolds dim H k (M ) is
finite. So this says that the solvability of the equation dη = β is parametrised by H k (M ). And for all
compact manifolds this is a finite dimensional space.
Exercice 14.3.
les coordonnées usuelles de R2n sous la forme x1 , y 1 , x2 , y 2 , . . . , xn , y n . Soit
Pn Écrivons
· · ∧ α}.
α la 2-forme i=1 dxi ∧ dy i . Calculer αn = α
| ∧ ·{z
n fois
Indication. Commencer par les exemples en petite dimension.
Exercice 14.4. Une forme différentielle à valeur√complexe sur une variété M de degré k est une
expression du type α + iβ où α, β ∈ Ωk (M ) et i = −1. On note Ωk (M, C) l’ensemble de ces formes.
a) Prouver que si U est un ouvert de C, alors la fonction f ∈ C 1 (U, C est holomorphe si et seulement
si ω = f (z)dzΩ1 (U, C) est une forme fermée.
En déduire une preuve du théorème intégral de Cauchy : Si U est un ouvert simplement connexe de C
et si ´γ : S1 → U est un lacet différentiable dans U , alors pour toute fonction holomorphe f : U → C
on a γ f (z) dz = 0.
Exercice 14.5. On considère un ouvert (connexe) U de Rn , muni des coordonnées globales usuelles.
Une forme différentielle α de degré k est dite décomposable s’il existe k formes ω1 , . . . , ωk de degré 1
telles que α = ω1 ∧ · · · ∧ ωk .
(i) Si α est décomposable, que vaut α ∧ α ?
(ii) La forme dx1 ∧ dx2 − dx2 ∧ dx3 + dx3 ∧ dx1 est-elle décomposable (n > 3) ?
(iii) Même question pour la forme dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 (n > 4).