Trigonométrie - Exercices à résoudre - E

1
Trigonométrie - Exercices à résoudre
1. Définitions – Formules fondamentales
1. A l'aide du cercle trigonométrique, rechercher une valeur approchée des nombres suivants :
cos 120° , sin ( – π
3 ) , tg 315° , cotg 2π
3 , cos ( – π
4 ) , sin 15π
2 , tg ( 3π 4 ) , cotg ( – 210°)
Vérifier la pertinence de cette approximation à l'aide de la calculatrice
2. Construire tous les angles α tels que : tg α = 2 ; cos α = – 1
2 ; cotg α = 0,75 ; sin α = – 1
4 .
3. On donne sin a = 5
13 et a dans le deuxième quadrant. Calculer cos a, tg a et cotg a.
4. On donne tg a = – 3
4 et a ∈ ] – π
2 , 0 [. On demande sin a, cos a, cotg a.
5. On donne cos a = – 1
8 et a dans le deuxième quadrant. Calculer sin a, tg a, cotg a.
6. On donne cotg a = 4 et a ∈ ] π, 3π
2 [ . Calculer tg a, sin a, cos a.
7. Calculer cos a, tg a, cotg a sachant que sin a = 12
13 et que a est du deuxième quadrant.
8. Calculer sin a, tg a, cotg a sachant que cos a = – 0,28 et que a est du troisième quadrant.
9. Calculer sin a, cos a et tg a sachant que cotg a = 3
3 et que a est du troisième quadrant.
10. Un rayon lumineux passe de l'air dans l'eau. On sait qu'entre l'angle d'incidence i et l'angle de
réfraction r existe la relation sin i
sin r = 4
3 ( 4 3 étant l'indice de réfraction de l'eau par rapport à l'air).
Construire le rayon réfracté connaissant le rayon incident.
11. Simplifier les expressions suivantes :
11.1. ( 1
tg a + 1
cotg a ) sin a cos a
11.2. tg2 a – tg2 b – sin2 a – sin2 b
cos2 a cos2 b
11.3. cotg2 a – cotg2 b + sin2 a – sin2 b
sin2 a sin2 b
11.4. sin2 a ( 1 + cotg2 a )
11.5. sin6 a + 3 sin2 a cos2 a + cos6 a

2
11.6. sin3 a + cos3 a
sin a + cos a + sin3 a – cos3 a sin a – cos a
11.7. sin4 a + sin2a cos2 a + 4 sin2 a + 5 cos2 a
11.8. sin8 a – 2( 1 – sin2 a cos2 a)2 + cos8 a
11.9. sin6 a – 2 sin4 a + cos6 a + sin2 a – cos4 a
12. Démontrer que les expressions suivantes sont indépendantes de a.
12.1. (tg a + cotg a) sin a cos a
12.2. tg a + cotg a – 1
sin a cos a
12.3. (sin a + cos a)2 + (sin a – cos a)2
12.4. sin4 a + 2 sin2 a cos2 a + cos4 a
12.5. sin6 a + 3 sin2 a cos2 a + cos6 a
12.6. 3( sin4 a + cos4 a) – 2( sin6 a + cos6 a)
13. On donne x = a cos α – b cos α , y = a sin α + b cos α .
13.1. Calculer x2 + y2
13.2. En déduire le lieu géométrique du point de coordonnée ( x , y ) quand on fait varier
le paramètre α.
14. On donne x = cos u
cos v , y = sin u
cos v , z = tg v. Calculer x2 + y2 – z2 .
15.
15.1. On considère les trois nombres x = a cos u , y = a sin u cos v , z = a sin u sin v.
Montrer que x2 + y2 + z2 est indépendant de u et de v.
15.2. On considère les quatre nombres x = a cos u , y = a sin u cos v ,
z = a sin u sin v cos w et t = a sin u sin v sin w.
Montrer que x2 + y2 + z2 + t2 est indépendant de u, v, w.
15.3. Généraliser pour n nombres.
16. Si 0 < a < b < c < π
2 , prouver que tg a < sin a + sin b + sin c
cos a + cos b + cos c < tg c
17. On pose sin x + cos x = a et sin5 x + cos5 x = b. Calculer sin3 x + cos3 x et sin5 x + cos5 x
en fonction de a et de b.
18. Démontrer les identités suivantes.
18.1. sin4 a – cos4 a = sin2 a – cos2 a = 2 sin2 a – 1
18.2. sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a
18.3. tg2 a – tg2 b = 1
cos2 a – 1 cos2 b

3
18.4. 1
1 – sin a + 1
1 + sin a = 2 cos2 a
18.5. tg a – sin a
sin3 a = 1
cos a ( 1 + cos a )
18.6. sin2 b – cos2 a
sin2 a sin2 b = 1 – cotg2 a cotg2 b
18.7. cos a
1 – tg a + sin a
1 – cotg a = sin a + cos a
18.8. tg a
tg b = tg a + cotg b
cotg a + tg b
18.9. sin a + cos a
sin a – cos a = tg a + 1
tg a – 1 = 1 + cotg a 1 – cotg a = 1 + 2 sin a cos a sin2 a – cos2 a
18.10. tg a +cotg a
tg a – cotg a – tg a – cotg a
tg a + cotg a = 4 tg2 a – cotg2 a = 4 sin2 a cos2 a
sin2 a – cos2 a
18.11. sin2 a + sin a cos a + cos2 a
cos2 a = 1 + tg a + tg2 a
19. Simplifier les expressions suivantes :
19.1. cotg 430°
cos( – 250°) + sin 215° cos 145°
tg 575° sin ( – 290°)
19.2. sin 420° cos( –120°) tg3 ( – 1200°) cos 135°
cotg2( – 870° )
19.3. 4 sin5 7π
6 + 3 cos2 13π
6 – tg3 ( – 31π 6 )
19.4.
sin π
3 tg 5π
6 cos ( – π
6 )
cos 2π
3 cotg 123π
4 sin 7π 4
19.5.
tg2 ( 11π
6 ) cotg3 ( – 3π 4 ) sin ( – 7π 4 )
sin ( – 32π
3 ) cos3 ( – 14π
3 ) sin ( – 8π 3 ) cos3 ( – 17π 6 )
19.6. sin ( π
2 + a ) cos ( a – π ) cotg ( 3π
2 – a ) – sin ( π
2 – a ) sin (3π
2 – a ) cotg ( a – 3π 2 )
19.7.
sin ( a – 13π
2 ) sin ( 11π
2 + a )
cos( a – 11π ) cos ( a – 7π )
19.8.
sin ( π – a) cotg (3π
2 – a ) cos ( a – 2π)
tg ( π + a ) tg ( π
2 + a ) cos ( 3π
2 + a )
19.9. sin ( a + 6π ) cos ( 2π – a)
tg ( π – a ) cos2 ( a + 4π)

4
19.10.
tg ( 5π
2 + a )
sin ( 3π
2 – a)
cos ( a + π
2 )
19.11.
sin ( π – a) cotg ( 3π
2 – a ) cos ( a – 2π )
tg ( π + a ) tg ( π
2 + a ) cos ( 3π
2 + a )
19.12.
cos ( π
2 + a ) cos ( π – a )
sin ( π
2 – a) sin ( a – 2π )
+ sin ( π – a ) cos ( π + a )
sin ( π
2 + a ) cos ( 3π
2 + a )
19.13.
tg ( π + a ) tg ( π
2 + a )
tg ( 3π
2 – a )
+
cotg ( π
2 – a ) cotg ( π – a )
tg ( 3π
2 + a )
19.14. cos ( 11π
2 + a ) sin ( 3π
2 + a ) tg ( a – 5π 2 ) cotg ( a + 13π 2 )

5
2. Formules d'addition, de factorisation
2.1. Formules d'addition, de duplication, en tg x
2
1. Calculer sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20° ; cos 10° cos 70° + sin 10° sin 70°
2. Sans utiliser la calculatrice, calculer sin 105°, cos 105°, tg 105°, sin 165°, cos 165°, tg 165°
3. On donne tg a = n
n+1 et tg b = 1
2n+1 ; calculer tg ( a + b ).
4. Calculer sin ( a + b) , sin ( a – b) , cos ( a + b ) , cos ( a – b) sachant que
4.1. sin a = 24
25 , cos b = 3
5 a et b sont du premier quadrant
4.2. sin a = 3
5 , cos b = 8
17 a ∈ ] π
2 , π [ , b ∈ ] 0 , π 2 [
4.3. tg a = 2 , tg b = 3 a ∈ ] 0 , π
2 [ , b ∈ ] π , 3π
2 [
5. Simplifier l'expression cos2(a + b ) + cos2 ( a – b) – cos 2a cos 2b.
6. Exprimer cotg (a + b) et cotg (a – b) en fonction de cotg a et cotg b
7. Calculer en fonction des sinus et des cosinus de a, b et c :
sin (a – b + c) ; cos(a + b – c) ; sin (b + c – a) ; cos (b – c + a)
8. Calculer en fonction des tangentes des angles a, b , c :
tg ( a – b + c ) ; tg ( a – b – c ) ; tg ( b + c – a)
9. Calculer sin 3a en fonction de sin a ; cos 3a en fonction de cos a ; tg 3a en fonction de tg a
10. Démontrer les identités suivantes :
10.1. sin ( a + b ) + sin ( a – b )
cos ( a + b ) + cos ( a – b) = tg a
10.2. sin ( a + b ) – sin ( a – b )
cos ( a + b ) + cos ( a – b) = tg b
10.3. sin ( a + b ) – sin ( a – b )
cos ( a + b ) – cos ( a – b ) = – cotg a
10.4. sin ( a – b ) + cos ( a + b)
sin ( a + b ) – cos ( a – b) = tg a + 1
tg a – 1 = 1 + cotg a 1 – cotg a
10.5. cos ( a + b ) cos ( a – b ) + sin ( a + b ) sin ( a – b ) = cos2 b – sin2 b
10.6. cos ( a + b ) sin ( a – b ) + cos ( a – b ) sin ( a + b) = ( sin a + cos a )2 – 1
10.7. cos a cos ( b + c ) + sin b sin ( c – a) – cos c cos ( a + b ) = 0
10.8. sin a sin ( b – c ) + sin b sin ( c – a ) + sin c sin ( a – b) = 0
10.9. sin( a – b)
cos a cos b + sin ( b – c)
cos b cos c + sin( c – a) cos c cos a = 0