Polynômes

Chapitre 1
Polynômes
Sommaire
1Construction des polynômes .......................... 1
1.1 Ensemble des polynômes ......................... 1
1.2 Opérations algébriques sur les polynômes................. 3
1.3 Dérivation des polynômes......................... 4
2Divisibilité et division euclidienne ....................... 5
2.1 Relation de divisibilité .......................... 5
2.2 Division euclidienne............................ 6
2.3 PGCD .................................. 6
2.4 Polynômes premiers entre eux ...................... 6
2.5 PPCM .................................. 6
2.6 Division selon les puissances croissantes ................. 6
3Racines d’un polynôme ............................. 6
3.1 Racines et multiplicités .......................... 6
3.2 Polynômes scindés ............................ 6
Dans tout ce chapitre, le symbole Kdésigne l’un d’un ensembles Cou R. Tout élément
de Kest appelé scalaire.
1. Construction des polynômes
1.1. Ensemble des polynômes
Remarque. Jusqu’à présent, on ne distinguait généralement pas les polynômes des fonc-
tions polynomiales, applications de Rdans Rde la forme x↦a0+a1x+a2x2+...+anxn,
où nest un entier naturel quelconque et (a0, a1,...,an)est une famille de (n+1)scalaires.
Pourtant, les polynômes ne sont pas des fonctions.
Exemple. Soit Ple polynôme 3X2+4X+1. Calculer P(5), c’est transformer le réel 5
en un autre réel à partir d’opérations élémentaires : puissance, multiplication par un sca-
laire, addition. Toutefois, ces opérations sont possibles sur d’autres objets mathématiques.
Ainsi, si Mest une matrice de M2(K), on peut donner à P(M)le sens de 3M2+4M+I2.
De même, si fest une application de Rdans R, alors P(f)désigne l’application Rdans
Rqui à tout réel xassocie le réel 3f(x)2+4f(x)+1. Ainsi, P(exp)est l’application de R
dans Rqui à tout réel xassocie le réel 3e2x+4ex+1.
1esiea

Remarque. L’exemple précédent montre que l’essentiel du polynôme 3X2+4X+1ne
réside pas tant dans la nature de Xque dans la liste de ses coefficients (3,4,1), que
l’on ordonnera plutôt sous la forme (1,4,3). Cela permet de donner sens à la définition
suivante.
Définition 1.1 (polynôme à une indéterminée Xet à coefficients dans K).
On appelle polynôme à une indéterminée Xet à coefficients dans Ktoute suite presque
nulle d’éléments de K, c’est-à-dire toute suite (ak)k∈Nd’éléments de Kdont tous les termes
sont nuls à partir d’un certain rang. Pour tout kde N, le scalaire akest appelé coefficient
de degré k.
Remarque. Conformément à cette définition, un polynôme n’est rien d’autre qu’une suite
de la forme (a0, a1, a2,...,0,0,0,...). On a ainsi 3X2+4X+√2=(√2,4,3,0,0,0,...)ou
encore 2iX6−3X4+X−i=(−i,1,0,0,−3,0,2i,0,0,0,...).
Remarque. Par définition, deux polynômes sont égaux si, et seulement si, tous leurs
coefficients sont égaux.
Définition 1.2 (ensemble K[X]).
L’ensemble des polynômes à une indéterminée Xet à coefficients dans Kest noté K[X].
Définition 1.3 (polynôme constant, polynôme nul).
On appelle polynôme constant de K[X]toute suite (λ, 0,0,0,...)où λest un élément quel-
conque de K. Un tel polynôme sera simplement noté λ. Avec cette notation, le polynôme
0est appelé polynôme nul.
Remarque. Le polynôme nul n’est donc rien d’autre que la suite nulle, c’est-à-dire la
suite (ak)k∈Ndéfinie pour tout kde Npar ak=0.
Définition 1.4 (degré d’un polynôme).
Soit P=(ak)k∈Nun polynôme non nul de K[X]. On appelle degré de Pet on note deg(P)
l’entier vérifiant deg(P)=max{k∈Nak≠0}. On appelle coefficient dominant de Ple
scalaire adeg(P).
Définition 1.5 (coefficient dominant d’un polynôme).
Soit P=(ak)k∈Nun polynôme non nul de K[X]. On appelle coefficient dominant de Ple
scalaire adeg(P).
Définition 1.6 (polynôme unitaire).
Soit Pun polynôme non nul de K[X]. On dit que Pest unitaire si, et seulement si, son
coefficient dominant est égal à 1.
Exemple. Le polynôme 2X3+X−√3est de degré 3. Son coefficient dominant est égal
à2; ce polynôme n’est donc pas unitaire.
Exemple. Le polynôme X5−iX2+Xest de degré 5. Son coefficient dominant est égal à
1; ce polynôme est donc unitaire.
2esiea

Définition 1.7 (valuation d’un polynôme).
à faire ?
1.2. Opérations algébriques sur les polynômes
Définition 1.8 (somme et produit externe).
Soit P=(ak)k∈Net Q=(ak)k∈Ndeux polynômes de K[X]et soit λdans K. On appelle
somme de Pet Qet on note P+Qle polynôme égal à la suite (ak+bk)k∈N. On appelle
produit de λpar Pet on note λP le polynôme égal à la suite (λak)k∈N.
Définition 1.9 (produit interne).
Soit P=(ak)k∈Net Q=(ak)k∈Ndeux polynômes de K[X]. On appelle produit de Pet Q
et on note P×Qou plus simplement P Q le polynôme égal à la suite k
∑
i=0
aibk−ik∈N .
Remarque. La définition du produit semble étrange au premier abord. C’est pourtant
celle qui est issue du produit classique de deux polynômes. Une disposition pratique des
calculs peut se faire dans un tableau. Prenons par exemple le produit de Ppar Qavec
P=X3−X+2et Q=−X4+X2+3X+2.
2−1 0 3
2
3
1
0
−1
tableau à finir !
Définition 1.10 (indéterminée X).
On convient de poser X=(0,1,0,0,0,...).
Remarque. Par produit, on a alors X2=(0,0,1,0,0,0,0,...)ainsi que, plus générale-
ment, Xk=(0,0,0,...,0,0,1,0,0,0,0,...)où le « 1» est précédé de kzéros quel que soit
kdans N.
Définition 1.11 (notation définitive des polynômes).
Soit P=(ak)k∈Nun polynôme non nul de K[X]. On peut alors écrire P=+∞
∑
k=0
akXk.
Remarque. La somme précédente est finie ; on peut écrire P=n
∑
k=0
akXk, où n=deg(P).
Remarque (réécriture des opérations sur les polynômes). Si Pet Qsont deux
polynômes de K[X]définis par P=+∞
∑
k=0
akXket Q=+∞
∑
k=0
bkXk, alors on a :
3esiea

Définition 1.12 (composition des polynômes).
Soit P=+∞
∑
k=0
akXket Qdeux polynômes de K[X]. On appelle composée de Qsuivi de P
et on note P○Qou P(Q)le polynôme +∞
∑
k=0
akQk.
Exemple. à faire
Exemple. En particulier, on peut écrire P○X=P(X)=P. Cela montre que l’indéter-
minée Xn’est très certainemenent pas un réel x: nous n’écririons jamais P=P(x)si P
était une application polynomiale...
Proposition 1.13 (degré d’une somme, d’un produit, d’une composée).
Soit Pet Qdeux polynômes non nuls de K[X]et soit λdans K∗. On a alors :
deg(P+Q)⩽max{deg(P),deg(Q)}
deg(λP )=deg(P)
deg(P Q)=deg(P)+deg(Q)
deg(P○Q)=deg(P)×deg(Q)
Remarque. Dans la propriété sur le degré de la somme, il s’agit bien d’une inégalité
et pas d’une égalité, comme le montre l’exemple des polynômes Pet Qvérifiant P=
−X3+2X2−Xet Q=X3−2X2+7X−3. L’inégalité devient néanmoins une égalité si les
polynômes Pet Qsont de degrés différents, ou bien s’ils sont de même degré mais que la
somme de leurs coefficients dominants ne s’annule pas.
Proposition 1.14 (intégrité de K[X]).
Quels que soient Pet Qdans K[X], on a l’équivalence : P Q =0⇐⇒P=0ou Q=0.
1.3. Dérivation des polynômes
Définition 1.15 (polynôme dérivé).
Soit P=+∞
∑
k=0
akXkun polynôme de K[X]. On appelle polynôme dérivé de Pet on note P′
le polynôme vérifiant P′=+∞
∑
k=0
kakXk−1.
Remarque. Étant donné, par convention, que l’égalité 0×X−1=0est vraie, la puissance
négative X−1n’apparaît que faussement dans le cas k=0. Les puristes pourront ne faire
commencer la somme qu’à 1.
4esiea

Définition 1.16 (dérivées itérées).
On définit par récurrence la suite des polynômes dérivés de P. Le 0epolynôme dérivé de
P, noté P(0)est égal au polynôme P. Ensuite, pour tout nde N, le (n+1)epolynôme
dérivé de P, noté P(n+1)est le polynôme dérivé du n+epolynôme dérivé de P. On a ainsi :
P(n+1)=(P(n))′.
Remarque. Lorsque n=2ou n=3, on préfère généralement les notations P′′ et P′′′ à
P(2)et P(3).
Proposition 1.17 (dérivation d’une somme).
Si Pet Qsont deux polynômes de K[X], alors on a (P+Q)′=P′+Q′. Plus généralement,
pour tout nde N, on a (P+Q)(n)=P(n)+Q(n).
Proposition 1.18 (dérivation d’un produit externe).
Si Pest un polynôme de K[X]si λest un scalaire quelconque, alors on a (λP )′=λP ′.
Plus généralement, pour tout nde N, on a (λP )(n)=λP (n).
Proposition 1.19 (dérivation d’un produit externe).
Si Pet Qsont deux polynômes de K[X], alors on a (P Q)′=P′Q+P Q′. Plus généralement,
pour tout nde N, on a (P Q)(n)=n
∑
k=0n
kP(k)Q(n−k).
Remarque. Cette dernière égalité est connue sous le nom de formule de Leibniz.
Proposition 1.20 (dérivation d’une composée).
Si Pet Qsont deux polynômes de K[X], alors on a (P○Q)′=P′○Q×Q′.
Remarque. Pour tout nde N, la formule donnant la dérivée nede la composée P○Qest
compliquée. Elle est connue sous le nom de formule de Faà de Bruno.
Proposition 1.21 (évaluation polynomiale).
à faire.
2. Divisibilité et division euclidienne
2.1. Relation de divisibilité
Définition 1.22 (divisibilité).
à faire.
Exemple. à faire.
5esiea