Polynômes

Chapitre 1
Polynômes
Sommaire
1
Construction des polynômes . . . . . . . . . .
1.1 Ensemble des polynômes . . . . . . . . .
1.2 Opérations algébriques sur les polynômes.
1.3 Dérivation des polynômes. . . . . . . . .
Divisibilité et division euclidienne . . . . . . .
2.1 Relation de divisibilité . . . . . . . . . .
2.2 Division euclidienne. . . . . . . . . . . .
2.3 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . .
2.5 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Division selon les puissances croissantes .
Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . .
3.1 Racines et multiplicités . . . . . . . . . .
3.2 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . .
2
3
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5
5
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6
6
6
6
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6
Dans tout ce chapitre, le symbole K désigne l’un d’un ensembles C ou R. Tout élément
de K est appelé scalaire.
1. Construction des polynômes
1.1. Ensemble des polynômes
Remarque. Jusqu’à présent, on ne distinguait généralement pas les polynômes des fonctions polynomiales, applications de R dans R de la forme x ↦ a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,
où n est un entier naturel quelconque et (a0 , a1 , . . . , an ) est une famille de (n+1) scalaires.
Pourtant, les polynômes ne sont pas des fonctions.
Exemple. Soit P le polynôme 3X 2 + 4X + 1. Calculer P (5), c’est transformer le réel 5
en un autre réel à partir d’opérations élémentaires : puissance, multiplication par un scalaire, addition. Toutefois, ces opérations sont possibles sur d’autres objets mathématiques.
Ainsi, si M est une matrice de M2 (K), on peut donner à P (M ) le sens de 3M 2 + 4M + I2 .
De même, si f est une application de R dans R, alors P (f ) désigne l’application R dans
R qui à tout réel x associe le réel 3f (x)2 + 4f (x) + 1. Ainsi, P (exp) est l’application de R
dans R qui à tout réel x associe le réel 3e2x + 4ex + 1.
1
esiea
Remarque. L’exemple précédent montre que l’essentiel du polynôme 3X 2 + 4X + 1 ne
réside pas tant dans la nature de X que dans la liste de ses coefficients (3, 4, 1), que
l’on ordonnera plutôt sous la forme (1, 4, 3). Cela permet de donner sens à la définition
suivante.
Définition 1.1 (polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K).
On appelle polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K toute suite presque
nulle d’éléments de K, c’est-à-dire toute suite (ak )k∈N d’éléments de K dont tous les termes
sont nuls à partir d’un certain rang. Pour tout k de N, le scalaire ak est appelé coefficient
de degré k.
Remarque. Conformément à cette définition, un polynôme n’est
√ rien
√d’autre qu’une suite
2
de la forme (a0 , a1 , a2 , . . . , 0, 0, 0, . . .). On a ainsi 3X + 4X + 2 = ( 2, 4, 3, 0, 0, 0, . . .) ou
encore 2iX 6 − 3X 4 + X − i = (−i, 1, 0, 0, −3, 0, 2i, 0, 0, 0, . . .).
Remarque. Par définition, deux polynômes sont égaux si, et seulement si, tous leurs
coefficients sont égaux.
Définition 1.2 (ensemble K[X]).
L’ensemble des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans K est noté K[X].
Définition 1.3 (polynôme constant, polynôme nul).
On appelle polynôme constant de K[X] toute suite (λ, 0, 0, 0, . . .) où λ est un élément quelconque de K. Un tel polynôme sera simplement noté λ. Avec cette notation, le polynôme
0 est appelé polynôme nul.
Remarque. Le polynôme nul n’est donc rien d’autre que la suite nulle, c’est-à-dire la
suite (ak )k∈N définie pour tout k de N par ak = 0.
Définition 1.4 (degré d’un polynôme).
Soit P = (ak )k∈N un polynôme non nul de K[X]. On appelle degré de P et on note deg(P )
l’entier vérifiant deg(P ) = max{k ∈ N ∣ ak ≠ 0}. On appelle coefficient dominant de P le
scalaire adeg(P ) .
Définition 1.5 (coefficient dominant d’un polynôme).
Soit P = (ak )k∈N un polynôme non nul de K[X]. On appelle coefficient dominant de P le
scalaire adeg(P ) .
Définition 1.6 (polynôme unitaire).
Soit P un polynôme non nul de K[X]. On dit que P est unitaire si, et seulement si, son
coefficient dominant est égal à 1.
√
Exemple. Le polynôme 2X 3 + X − 3 est de degré 3. Son coefficient dominant est égal
à 2 ; ce polynôme n’est donc pas unitaire.
Exemple. Le polynôme X 5 − iX 2 + X est de degré 5. Son coefficient dominant est égal à
1 ; ce polynôme est donc unitaire.
2
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Définition 1.7 (valuation d’un polynôme).
à faire ?
1.2. Opérations algébriques sur les polynômes
Définition 1.8 (somme et produit externe).
Soit P = (ak )k∈N et Q = (ak )k∈N deux polynômes de K[X] et soit λ dans K. On appelle
somme de P et Q et on note P + Q le polynôme égal à la suite (ak + bk )k∈N . On appelle
produit de λ par P et on note λP le polynôme égal à la suite (λak )k∈N .
Définition 1.9 (produit interne).
Soit P = (ak )k∈N et Q = (ak )k∈N deux polynômes de K[X]. On appelle produit de P et Q
k
et on note P × Q ou plus simplement P Q le polynôme égal à la suite (∑ ai bk−i )
i=0
.
k∈N
Remarque. La définition du produit semble étrange au premier abord. C’est pourtant
celle qui est issue du produit classique de deux polynômes. Une disposition pratique des
calculs peut se faire dans un tableau. Prenons par exemple le produit de P par Q avec
P = X 3 − X + 2 et Q = −X 4 + X 2 + 3X + 2.
2 −1 0 3
2
3
1
0
−1
tableau à finir !
Définition 1.10 (indéterminée X).
On convient de poser X = (0, 1, 0, 0, 0, . . .).
Remarque. Par produit, on a alors X 2 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, . . .) ainsi que, plus généralement, X k = (0, 0, 0, . . . , 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, . . .) où le « 1 » est précédé de k zéros quel que soit
k dans N.
Définition 1.11 (notation définitive des polynômes).
+∞
Soit P = (ak )k∈N un polynôme non nul de K[X]. On peut alors écrire P = ∑ ak X k .
k=0
n
Remarque. La somme précédente est finie ; on peut écrire P = ∑ ak X k , où n = deg(P ).
k=0
Remarque (réécriture des opérations sur les polynômes). Si P et Q sont deux
+∞
+∞
k=0
k=0
polynômes de K[X] définis par P = ∑ ak X k et Q = ∑ bk X k , alors on a :
3
esiea
Définition 1.12 (composition des polynômes).
+∞
Soit P = ∑ ak X k et Q deux polynômes de K[X]. On appelle composée de Q suivi de P
k=0
+∞
et on note P ○ Q ou P (Q) le polynôme ∑ ak Qk .
k=0
Exemple. à faire
Exemple. En particulier, on peut écrire P ○ X = P (X) = P . Cela montre que l’indéterminée X n’est très certainemenent pas un réel x : nous n’écririons jamais P = P (x) si P
était une application polynomiale...
Proposition 1.13 (degré d’une somme, d’un produit, d’une composée).
Soit P et Q deux polynômes non nuls de K[X] et soit λ dans K∗ . On a alors :
deg(P + Q) ⩽ max{deg(P ), deg(Q)}
deg(λP ) = deg(P )
deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)
deg(P ○ Q) = deg(P ) × deg(Q)
Remarque. Dans la propriété sur le degré de la somme, il s’agit bien d’une inégalité
et pas d’une égalité, comme le montre l’exemple des polynômes P et Q vérifiant P =
−X 3 + 2X 2 − X et Q = X 3 − 2X 2 + 7X − 3. L’inégalité devient néanmoins une égalité si les
polynômes P et Q sont de degrés différents, ou bien s’ils sont de même degré mais que la
somme de leurs coefficients dominants ne s’annule pas.
Proposition 1.14 (intégrité de K[X]).
Quels que soient P et Q dans K[X], on a l’équivalence : P Q = 0 ⇐⇒ P = 0 ou Q = 0.
1.3. Dérivation des polynômes
Définition 1.15 (polynôme dérivé).
+∞
Soit P = ∑ ak X k un polynôme de K[X]. On appelle polynôme dérivé de P et on note P ′
k=0
+∞
le polynôme vérifiant P ′ = ∑ kak X k−1 .
k=0
Remarque. Étant donné, par convention, que l’égalité 0 × X −1 = 0 est vraie, la puissance
négative X −1 n’apparaît que faussement dans le cas k = 0. Les puristes pourront ne faire
commencer la somme qu’à 1.
4
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Définition 1.16 (dérivées itérées).
On définit par récurrence la suite des polynômes dérivés de P . Le 0e polynôme dérivé de
P , noté P (0) est égal au polynôme P . Ensuite, pour tout n de N, le (n + 1)e polynôme
dérivé de P , noté P (n+1) est le polynôme dérivé du n+e polynôme dérivé de P . On a ainsi :
P (n+1) = (P (n) )′ .
Remarque. Lorsque n = 2 ou n = 3, on préfère généralement les notations P ′′ et P ′′′ à
P (2) et P (3) .
Proposition 1.17 (dérivation d’une somme).
Si P et Q sont deux polynômes de K[X], alors on a (P + Q)′ = P ′ + Q′ . Plus généralement,
pour tout n de N, on a (P + Q)(n) = P (n) + Q(n) .
Proposition 1.18 (dérivation d’un produit externe).
Si P est un polynôme de K[X] si λ est un scalaire quelconque, alors on a (λP )′ = λP ′ .
Plus généralement, pour tout n de N, on a (λP )(n) = λP (n) .
Proposition 1.19 (dérivation d’un produit externe).
Si P et Q sont deux polynômes de K[X], alors on a (P Q)′ = P ′ Q+P Q′ . Plus généralement,
n
n
pour tout n de N, on a (P Q)(n) = ∑ ( )P (k) Q(n−k) .
k=0 k
Remarque. Cette dernière égalité est connue sous le nom de formule de Leibniz.
Proposition 1.20 (dérivation d’une composée).
Si P et Q sont deux polynômes de K[X], alors on a (P ○ Q)′ = P ′ ○ Q × Q′ .
Remarque. Pour tout n de N, la formule donnant la dérivée ne de la composée P ○ Q est
compliquée. Elle est connue sous le nom de formule de Faà de Bruno.
Proposition 1.21 (évaluation polynomiale).
à faire.
2. Divisibilité et division euclidienne
2.1. Relation de divisibilité
Définition 1.22 (divisibilité).
à faire.
Exemple. à faire.
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esiea
2.2. Division euclidienne
Théorème 1.23 (division euclidienne).
Soit A et B deux polynômes de K[X] vérifiant B ≠ 0. Il existe alors un unique couple
(Q, R) de polynômes de K[X] vérifiant A = BQ + R et deg(R) < deg(B).
Remarque. Effectuer la division euclidienne de A par B, c’est déterminer l’unique couple
(Q, R) de polynômes vérifiant les conditions précédentes.
Définition 1.24 (dividende, diviseur, quotient, reste).
Dans la division euclidienne de A par B, le polynôme A est appelé dividende, le polynôme
B est appelé diviseur, le polynôme Q est appelé quotient et le polynôme R est appelé
reste.
2.3. PGCD
2.4. Polynômes premiers entre eux
2.5. PPCM
2.6. Division selon les puissances croissantes
3. Racines d’un polynôme
3.1. Racines et multiplicités
3.2. Polynômes scindés
6
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