Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Probabilités
conditionnelles
I. Activité d’introduction
Dans les classes de Terminale ES d’un lycée la répartition des 2
façon suivante :
Filles : F
Garçons : G
Total
Esp : E
17
22
All : A
6
12
langues se fait de la
Ital : I
7
5
Total
a) Compléter le tableau ci-dessus
b) Si on choisit au hasard un des élèves de Terminale ES, quelles sont les probabilités :
( )=⋯
( )=⋯
( )=⋯
( )=⋯
( )=⋯
( ∩ )=⋯
( ∩ )=⋯
( ∩ )=⋯
c) Déterminer la probabilité que l’élève fasse espagnol sachant que c’est une fille. On
notera cette probabilité ( )
d) Déterminer la probabilité que l’élève fasse allemand sachant que c’est une fille. On
notera cette probabilité ( )
e) Déterminer la probabilité que l’élève fasse italien sachant que c’est une fille. On
notera cette probabilité ( )
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f) Effectuer les calculs suivants et comparer avec les résultats trouvés aux questions c)
d) et e)
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( )
( )
( )
g) Comparer ( ) et ( ∩ ) + ( ∩ ) + ( ∩ )
h) Compléter l’arbre ci-dessous :
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II. Probabilité conditionnelle
1) Définition
Soit A et B deux événements avec P( A) ¹ 0 .
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se
réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée PA (B) et est définie par :
PA (B) =
P( AÇ B)
P( A)
2) Exemple :
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Soit A l'événement "Le résultat est un pique".
Soit B l'événement "Le résultat est un roi".
Décrire l’évènement
∩
: ………………………………………………………………………………….……..…
Donner la probabilité ( ∩ ) : ……………………………………………………………………………………..
Calculer alors la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est :
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.
Comment peut-on retrouver intuitivement ce résultat ?
………………………………………………………………………………………………………………………….……………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….…………….
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3) Remarque
La probabilité conditionnelle suit les règles et lois de probabilités vues dans les classes
antérieures. On a en particulier, si A et B deux événements avec ( ) ≠ 0 :
0 £ PA ( B) £ 1
PA (B) = 1 - PA (B)
III. Comment construire un arbre pondéré
1) Règles
Règle 1 : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle 2 : La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un chemin) est égale au produit des
probabilités du chemin aboutissant à cette feuille.
2) Exemple
Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.
Dans sa récolte :
- Il dispose de 80% de pommes de variété A et de 20% de pommes de variété B
- 15% des pommes de variété A et 8% des pommes de variété B sont avariées et
devront être jetées
On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :
l’évènement « la pomme est de variété A »
l’évènement « la pomme est de variété B »
l’évènement « la pomme est jetée »
-
l’évènement contraire de
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Décrire à l’aide des notations utilisées en probabilité les données numériques de l’énoncé :
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Faire l’arbre pondéré correspondant à la situation de l’énoncé .
Calculer la probabilité de l’évènement : « La pomme est de variété A et est jetée »
…………………………………………………………………………………………………
Calculer la probabilité de l’évènement : « La pomme est de variété B et est jetée »
…………………………………………………………………………………………………
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3) Formule des probabilités totales
Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à
plusieurs "chemins" est égale à la somme des probabilités de chacun de ces "chemins".
Exemple : Revenons à l’exemple précédent …
Calculer la probabilité que la pomme soit jetée :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
IV. Synthèse
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