T09 Trigo Exos

Terminales S
Exercices sur les fonctions trigonométriques
Exercice 1 : Equations trigonométriques
Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.
1
dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣
2
(3) sin ⎛⎜⎝ 2x − π2 ⎞⎟⎠ = 0 dans ⎤⎦−π ,π ⎤⎦
(1)
cos ( x ) = −
( 2)
( 4)
cos ( 2x ) =
1
dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣
2
sin ( x ) = cos ( x ) dans !
Exercice 2 : Inéquations trigonométriques
Résoudre les inéquations suivantes dans l’intervalle indiqué.
(1)
cos ( x ) ≤
3
dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣ puis dans ⎤⎦ −π , π ⎤⎦
2
( 2)
⎛
π⎞
3
sin ⎜ 2x − ⎟ ≥
dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣
3⎠
2
⎝
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = cos ( 3x ) .
1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
2) Compléter alors la courbe de f sur ⎡⎣ −π ,0 ⎤⎦ :
3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f.
Exercice 4 :
On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = sin ( 2x ) .
1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
2) Compléter alors la courbe de f sur ⎡⎣ −π ,0 ⎤⎦ :
3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f .
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Exercice 5 : Dérivées successives
On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = cos ( x ) .
1) Calculer les dérivées successives f ', f '', f (3)
2) En utilisant les formules de trigonométrie des angles complémentaires et supplémentaires,
⎛
π⎞
montrer que : ∀x ∈!, cos ⎜ x + ⎟ = − sin x .
2⎠
⎝
⎛
π⎞
n
3) Montrer par récurrence que ∀n ∈!, f ( ) ( x ) = cos ⎜ x + n ⎟ ∀x ∈".
2⎠
⎝
Exercice 6 : Etude de fonction
On considère la fonction définie sur ! par f ( x ) =
2
2 + cos ( x )
1) Justifier que la fonction f est bien définie sur ! .
2) Etudier les variations de f sur ⎡⎣0, π ⎤⎦ .
3) En utilisant la parité de f, en déduire ses variations sur ⎡⎣ −π , π ⎤⎦ .
Exercice 7 : Etude de fonction
On considère la fonction définie sur ! par f ( x ) = sin x (1+ cos x )
1) Démontrer que f est impaire et périodique.
En déduire que l’on peut restreindre l’intervalle d’étude à ⎡⎣0, π ⎤⎦
2) Etudier les variations de f sur ⎡⎣0, π ⎤⎦ .
3) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle ⎡⎣0, π ⎤⎦ puis compléter sur ⎡⎣ −3π ,3π ⎡⎣ en justifiant.
4) Déterminer l’équation de la tangente en
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π
2
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Exercice 8 : Etude de fonction
1
2
On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = 1+ cos x + cos 2x
1) Montrer que la fonction f est 2 π - périodique.
2) Montrer que ∀x ∈!, f ' ( x ) = − sin x (1+ 2cos x ) .
3) a) Résoudre l’inéquation e 1+ 2cos x ≥ 0 dans ⎡⎣0; 2π ⎤⎦ .
b) Etudier le signe de la dérivée puis dresser la tableau de variations sur ⎡⎣0; 2π ⎤⎦ .
5) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle ⎡⎣0,2π ⎤⎦ puis compléter sur ⎡⎣0; 6π ⎤⎦ en justifiant.
Exercice 9 : VRAI / FAUX
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement.
Affirmation 1 :
⎛ 1⎞
lim n2 sin ⎜ ⎟ = +∞
⎝ n⎠
n→+∞
Affirmation 2 :
sin x
La fonction f définie sur ⎤⎦0;+∞ ⎡⎣ par f x =
n’a pas de limite en l’infini.
x
()
Affirmation 3 :
⎡ π⎤
L’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ⎢0 ; ⎥ .
⎣ 2⎦
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Exercice 10 : Exemple de fonction continue et non dérivable.
On considère la fonction f définie sur ! par :
⎧
⎛ 1⎞
⎪ f ( x ) = x × sin ⎜ ⎟ si x ≠ 0
⎝ x⎠
⎨
⎪f 0 =0
⎩ ( )
1) La fonction f est-elle continue en 0 ?
2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 11 : Un encadrement de sin x par deux polynômes
Partie 1 : On considère la fonction 𝑓 définie sur ! par 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 .
1) Dériver 𝑓 . En déduire les variations de 𝑓 .
2) a) Calculer f ( 0 ) et en déduire le signe de f sur ! .
b) En déduire que, pour tout réel 𝑥 ≥ 0 , on a : 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤ 𝑥 .
Partie 2 : On considère la fonction 𝑔 définie sur ! par 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 +
1) a)
!!
!
.
Calculer 𝑔!! (𝑥) . Dresser alors le tableau de variations de 𝑔′ .
()
b) Calculer g ' 0 et en déduire le signe de 𝑔′, puis le tableau de variations de 𝑔 .
c) Dresser le tableau de signes de g.
2) En déduire que, pour tout réel 𝑥 ≥ 0 , on a : 𝑥 −
Partie 3 : Encadrer sin
!!
!
≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 .
π
et estimer sa précision.
5
Exercice 12 : inspiré BAC 2015
Partie A :
1) Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u = 1− i .
2) Déterminer pour tout réel θ la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe eiθ (1− i ) .
⎛
π⎞
3) En déduire que pour tout réel θ , cosθ + sin θ = 2 ⎜ θ − ⎟ .
4⎠
⎝
Partie B : Soient f , g et h les fonctions définies sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ par
f ( x ) = e − x cos x, g ( x ) = e − x et h ( x ) = g ( x ) − f ( x ) .
1) Justifier que la courbe C g est située au dessus de la courbe C f sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ .
2) Démontrer que la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale aux deux courbes C f et C g .
⎡
⎤
⎛
π⎞
3) a) Démontrer que ∀x ∈ ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ , h' x = e − x ⎢ 2 cos ⎜ x − ⎟ − 1⎥ .
4⎠
⎝
⎣
⎦
⎛
π⎞
b) Etudier le signe de 2 cos ⎜ x − ⎟ − 1 sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ .
4⎠
⎝
()
c) En déduire les variations de h sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ .
d) Interpréter géométriquement le maximum de la fonction h sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ .
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Exercice 13 : BAC 2016
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un
essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre)
situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation
consiste à ta- per le ballon par un coup de pied depuis un
point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur
le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E.
La transformation est réussie si le ballon passe entre les
poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle
!
ATB le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour
ATB est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
laquelle l’angle !
Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m .
⎤ π⎡
! et !
ETA , ETB
ATB et I l’intervalle ⎥0; ⎢ .
On note α, β et γ les mesures respectives, en radian des angles !
⎦ 2⎣
1) En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
2) La fonction tangente est définie sur l’intervalle I par tan x =
sin x
. Montrer qu’elle est strictement
cos x
croissante sur I.
ATB admet une mesure γ appartenant à l’intervalle I.
3) On admet que l’angle !
(
)
On admet que, ∀a,b ∈I, tan a − b =
tan a − tan b
5,6x
. Montrer que tan γ = 2
.
1− tan a × tan b
x + 765
ATB est maximum lorsque sa mesure γ est maximale.
4) L’angle !
a) Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ⎤⎦0;50 ⎤⎦ de la fonction f définie par
f ( x) = x +
765
x
ATB est maximum et déterminer cette
b) Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle !
!
valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB à 0,01 radian près.
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