Terminales S Exercices sur les fonctions trigonométriques Exercice 1 : Equations trigonométriques Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué. 1 dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣ 2 (3) sin ⎛⎜⎝ 2x − π2 ⎞⎟⎠ = 0 dans ⎤⎦−π ,π ⎤⎦ (1) cos ( x ) = − ( 2) ( 4) cos ( 2x ) = 1 dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣ 2 sin ( x ) = cos ( x ) dans ! Exercice 2 : Inéquations trigonométriques Résoudre les inéquations suivantes dans l’intervalle indiqué. (1) cos ( x ) ≤ 3 dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣ puis dans ⎤⎦ −π , π ⎤⎦ 2 ( 2) ⎛ π⎞ 3 sin ⎜ 2x − ⎟ ≥ dans ⎡⎣0,2π ⎡⎣ 3⎠ 2 ⎝ Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = cos ( 3x ) . 1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ? 2) Compléter alors la courbe de f sur ⎡⎣ −π ,0 ⎤⎦ : 3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f. Exercice 4 : On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = sin ( 2x ) . 1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ? 2) Compléter alors la courbe de f sur ⎡⎣ −π ,0 ⎤⎦ : 3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f . Page 1 sur 5 Exercice 5 : Dérivées successives On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = cos ( x ) . 1) Calculer les dérivées successives f ', f '', f (3) 2) En utilisant les formules de trigonométrie des angles complémentaires et supplémentaires, ⎛ π⎞ montrer que : ∀x ∈!, cos ⎜ x + ⎟ = − sin x . 2⎠ ⎝ ⎛ π⎞ n 3) Montrer par récurrence que ∀n ∈!, f ( ) ( x ) = cos ⎜ x + n ⎟ ∀x ∈". 2⎠ ⎝ Exercice 6 : Etude de fonction On considère la fonction définie sur ! par f ( x ) = 2 2 + cos ( x ) 1) Justifier que la fonction f est bien définie sur ! . 2) Etudier les variations de f sur ⎡⎣0, π ⎤⎦ . 3) En utilisant la parité de f, en déduire ses variations sur ⎡⎣ −π , π ⎤⎦ . Exercice 7 : Etude de fonction On considère la fonction définie sur ! par f ( x ) = sin x (1+ cos x ) 1) Démontrer que f est impaire et périodique. En déduire que l’on peut restreindre l’intervalle d’étude à ⎡⎣0, π ⎤⎦ 2) Etudier les variations de f sur ⎡⎣0, π ⎤⎦ . 3) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle ⎡⎣0, π ⎤⎦ puis compléter sur ⎡⎣ −3π ,3π ⎡⎣ en justifiant. 4) Déterminer l’équation de la tangente en TS Fonctions trigonométriques π 2 Page 2 sur 5 Exercice 8 : Etude de fonction 1 2 On considère la fonction f définie sur ! par f ( x ) = 1+ cos x + cos 2x 1) Montrer que la fonction f est 2 π - périodique. 2) Montrer que ∀x ∈!, f ' ( x ) = − sin x (1+ 2cos x ) . 3) a) Résoudre l’inéquation e 1+ 2cos x ≥ 0 dans ⎡⎣0; 2π ⎤⎦ . b) Etudier le signe de la dérivée puis dresser la tableau de variations sur ⎡⎣0; 2π ⎤⎦ . 5) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle ⎡⎣0,2π ⎤⎦ puis compléter sur ⎡⎣0; 6π ⎤⎦ en justifiant. Exercice 9 : VRAI / FAUX Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement. Affirmation 1 : ⎛ 1⎞ lim n2 sin ⎜ ⎟ = +∞ ⎝ n⎠ n→+∞ Affirmation 2 : sin x La fonction f définie sur ⎤⎦0;+∞ ⎡⎣ par f x = n’a pas de limite en l’infini. x () Affirmation 3 : ⎡ π⎤ L’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle ⎢0 ; ⎥ . ⎣ 2⎦ TS Fonctions trigonométriques Page 3 sur 5 Exercice 10 : Exemple de fonction continue et non dérivable. On considère la fonction f définie sur ! par : ⎧ ⎛ 1⎞ ⎪ f ( x ) = x × sin ⎜ ⎟ si x ≠ 0 ⎝ x⎠ ⎨ ⎪f 0 =0 ⎩ ( ) 1) La fonction f est-elle continue en 0 ? 2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Exercice 11 : Un encadrement de sin x par deux polynômes Partie 1 : On considère la fonction 𝑓 définie sur ! par 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 . 1) Dériver 𝑓 . En déduire les variations de 𝑓 . 2) a) Calculer f ( 0 ) et en déduire le signe de f sur ! . b) En déduire que, pour tout réel 𝑥 ≥ 0 , on a : 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤ 𝑥 . Partie 2 : On considère la fonction 𝑔 définie sur ! par 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 + 1) a) !! ! . Calculer 𝑔!! (𝑥) . Dresser alors le tableau de variations de 𝑔′ . () b) Calculer g ' 0 et en déduire le signe de 𝑔′, puis le tableau de variations de 𝑔 . c) Dresser le tableau de signes de g. 2) En déduire que, pour tout réel 𝑥 ≥ 0 , on a : 𝑥 − Partie 3 : Encadrer sin !! ! ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 . π et estimer sa précision. 5 Exercice 12 : inspiré BAC 2015 Partie A : 1) Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u = 1− i . 2) Déterminer pour tout réel θ la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe eiθ (1− i ) . ⎛ π⎞ 3) En déduire que pour tout réel θ , cosθ + sin θ = 2 ⎜ θ − ⎟ . 4⎠ ⎝ Partie B : Soient f , g et h les fonctions définies sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ par f ( x ) = e − x cos x, g ( x ) = e − x et h ( x ) = g ( x ) − f ( x ) . 1) Justifier que la courbe C g est située au dessus de la courbe C f sur ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ . 2) Démontrer que la droite d’équation y = 0 est une asymptote horizontale aux deux courbes C f et C g . ⎡ ⎤ ⎛ π⎞ 3) a) Démontrer que ∀x ∈ ⎡⎣0;+∞ ⎡⎣ , h' x = e − x ⎢ 2 cos ⎜ x − ⎟ − 1⎥ . 4⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ⎛ π⎞ b) Etudier le signe de 2 cos ⎜ x − ⎟ − 1 sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ . 4⎠ ⎝ () c) En déduire les variations de h sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ . d) Interpréter géométriquement le maximum de la fonction h sur ⎡⎣0 ;2π ⎤⎦ . TS Fonctions trigonométriques Page 4 sur 5 Exercice 13 : BAC 2016 Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à ta- per le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure. Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ! ATB le plus grand possible. Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour ATB est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. laquelle l’angle ! Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer. Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . ⎤ π⎡ ! et ! ETA , ETB ATB et I l’intervalle ⎥0; ⎢ . On note α, β et γ les mesures respectives, en radian des angles ! ⎦ 2⎣ 1) En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB, exprimer tan α et tan β en fonction de x. 2) La fonction tangente est définie sur l’intervalle I par tan x = sin x . Montrer qu’elle est strictement cos x croissante sur I. ATB admet une mesure γ appartenant à l’intervalle I. 3) On admet que l’angle ! ( ) On admet que, ∀a,b ∈I, tan a − b = tan a − tan b 5,6x . Montrer que tan γ = 2 . 1− tan a × tan b x + 765 ATB est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. 4) L’angle ! a) Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ⎤⎦0;50 ⎤⎦ de la fonction f définie par f ( x) = x + 765 x ATB est maximum et déterminer cette b) Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ! ! valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB à 0,01 radian près. 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