T09 Trigo Exos

Terminales S
Exercices sur les fonctions trigonométriques
Page 1 sur 5
Exercice 1 : Equations trigonométriques
Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle indiqué.
1
( )
cos x
( )
=−1
2 dans 0,2
π
⎡
⎣⎡ ⎣2
( )
cos 2x
( )
=1
2 dans 0,2
π
⎡
⎣⎡ ⎣
3
( )
sin 2x−
π
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=0 dans −
π , π
⎤
⎦⎤ ⎦4
( )
sin x
( )
=cos x
( )
dans !
Exercice 2 : Inéquations trigonométriques
Résoudre les inéquations suivantes dans l’intervalle indiqué.
1
( )
cos x
( )
≤3
2 dans 0,2
π
⎡
⎣⎡ ⎣ puis dans −
π , π
⎤
⎦⎤ ⎦2
( )
sin 2x−
π
3
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟≥3
2 dans 0,2
π
⎡
⎣⎡ ⎣
Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur
! par f x
( )
=cos 3x
( )
.
1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
2) Compléter alors la courbe de f sur
−
π ,0
⎡
⎣⎤ ⎦
:
3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f.
Exercice 4 :
On considère la fonction f définie sur
! par f x
( )
=sin 2x
( )
.
1) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ?
2) Compléter alors la courbe de f sur
−
π ,0
⎡
⎣⎤ ⎦
:
3) Conjecturer alors la valeur de la plus petite période de f .

TS Fonctions trigonométriques Page 2 sur 5
Exercice 5 : Dérivées successives
On considère la fonction f définie sur
! par f x
( )
=cos x
( )
.
1) Calculer les dérivées successives
f', f'', f3
( )
2) En utilisant les formules de trigonométrie des angles complémentaires et supplémentaires,
montrer que :
∀x∈!, cos x+
π
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−sin x
.
3) Montrer par récurrence que
∀n∈!,fn
( )
x
( )
=cos x+n
π
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟∀x∈".
Exercice 6 : Etude de fonction
On considère la fonction définie sur
! par f x
( )
=2
2+cos x
( )
1) Justifier que la fonction f est bien définie sur
!
.
2) Etudier les variations de f sur
0,
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
3) En utilisant la parité de f, en déduire ses variations sur
−
π , π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
Exercice 7 : Etude de fonction
On considère la fonction définie sur
! par f x
( )
=sin x1+cos x
( )
1) Démontrer que f est impaire et périodique.
En déduire que l’on peut restreindre l’intervalle d’étude à
0,
π
⎡
⎣⎤ ⎦
2) Etudier les variations de f sur
0,
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
3) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle
0,
π
⎡
⎣⎤ ⎦
puis compléter sur
−3
π ,3 π
⎡
⎣⎡ ⎣
en justifiant.
4) Déterminer l’équation de la tangente en
π
2

TS Fonctions trigonométriques Page 3 sur 5
Exercice 8 : Etude de fonction
On considère la fonction f définie sur
!par f x
( )
=1+cos x+1
2cos2x
1) Montrer que la fonction f est 2
π
- périodique.
2) Montrer que
∀x∈!,f'x
( )
=−sin x1+2cos x
( )
.
3) a) Résoudre l’inéquation e
1+2cos x≥0 dans 0; 2 π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
b) Etudier le signe de la dérivée puis dresser la tableau de variations sur
0; 2
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
5) Donner l’allure de la courbe sur l’intervalle
0,2
π
⎡
⎣⎤ ⎦
puis compléter sur
0; 6
π
⎡
⎣⎤ ⎦
en justifiant.
Exercice 9 : VRAI / FAUX
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement.
Affirmation 1 :
lim
n→+∞
n2sin 1
n
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟= +∞
Affirmation 2 :
La fonction f définie sur
0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
par
f x
( )
=sin x
x
n’a pas de limite en l’infini.
Affirmation 3 :
L’équation
x−cos x=0
admet une unique solution dans l’intervalle
0 ;
π
2
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
.

TS Fonctions trigonométriques Page 4 sur 5
Exercice 10 : Exemple de fonction continue et non dérivable.
On considère la fonction f définie sur ! par :
f x
( )
=x×sin 1
x
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ si x≠0
f0
( )
=0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1) La fonction f est-elle continue en 0 ?
2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 11 : Un encadrement de sin x par deux polynômes
Partie 1 : On considère la fonction 𝑓 définie sur
!
par 𝑓𝑥=𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑥 .
1) Dériver 𝑓 . En déduire les variations de 𝑓 .
2) a) Calculer
( )
0f
et en déduire le signe de f sur
!
.
b) En déduire que, pour tout réel 𝑥≥0 , on a : 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤𝑥 .
Partie 2 : On considère la fonction 𝑔 définie sur
!
par 𝑔𝑥=𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑥+ !!
!.
1) a) Calculer 𝑔!!(𝑥) . Dresser alors le tableau de variations de 𝑔′ .
b) Calculer
g' 0
( )
et en déduire le signe de 𝑔′, puis le tableau de variations de 𝑔 .
c) Dresser le tableau de signes de g.
2) En déduire que, pour tout réel 𝑥≥0 , on a : 𝑥− !!
! ≤𝑠𝑖𝑛 𝑥 .
Partie 3 : Encadrer
sin
π
5
et estimer sa précision.
Exercice 12 : inspiré BAC 2015
Partie A :
1) Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe
u=1−i
.
2) Déterminer pour tout réel
θ
la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe
ei
θ
1−i
( )
.
3) En déduire que pour tout réel
θ
,
cos θ +sin θ =2 θ −
π
4
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.
Partie B : Soient f , g et h les fonctions définies sur
0;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
par
f x
( )
=e−xcos x,g x
( )
=e−x et h x
( )
=g x
( )
−f x
( )
.
1) Justifier que la courbe
Cg est située au dessus de la courbe Cf sur 0;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.
2) Démontrer que la droite d’équation
y=0
est une asymptote horizontale aux deux courbes
Cf et Cg
.
3) a) Démontrer que
∀x∈0;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣,h'x
( )
=e−x2 cos x−
π
4
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−1
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
.
b) Etudier le signe de
2 cos x−
π
4
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−1
sur
0 ;2
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
c) En déduire les variations de h sur
0 ;2
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.
d) Interpréter géométriquement le maximum de la fonction h sur
0 ;2
π
⎡
⎣⎤ ⎦
.

TS Fonctions trigonométriques Page 5 sur 5
Exercice 13 : BAC 2016
Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un
essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre)
situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation
consiste à ta- per le ballon par un coup de pied depuis un
point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur
le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E.
La transformation est réussie si le ballon passe entre les
poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle
ATB
!
le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour
laquelle l’angle
ATB
!
est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m .
On note α, β et γ les mesures respectives, en radian des angles
ETA
!
,
ETB
!
et
ATB
!
et I l’intervalle
0;
π
2
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢
.
1) En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB, exprimer
tan
α
et
tan
β
en fonction de x.
2) La fonction tangente est définie sur l’intervalle I par
tan x=sin x
cos x
. Montrer qu’elle est strictement
croissante sur I.
3) On admet que l’angle
ATB
!
admet une mesure
γ
appartenant à l’intervalle I.
On admet que,
∀a,b∈I, tan a−b
( )
=tan a−tan b
1−tan a×tan b
. Montrer que
tan γ =5,6x
x2+765
.
4) L’angle
ATB
!
est maximum lorsque sa mesure
γ
est maximale.
a) Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle
0;50
⎤
⎦⎤ ⎦
de la fonction f définie par
f x
( )
=x+765
x
b) Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle
ATB
!
est maximum et déterminer cette
valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle
ATB
!
à 0,01 radian près.