R´esum´e de cours : Nombres complexes.
Forme alg´ebrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme ( dite
alg´ebrique ) : z=a+i b o`u aet bsont des r´eels.
Le r´eel aest appel´e partie r´eelle de zet est not´e Re(z). Le r´eel best
appel´e partie imaginaire de zet est not´e Im(z).
zest r´eel b=0;zest imaginaire pur a=0.
Le complexe 0 est `a la fois r´eel et imaginaire pur.
Conjugu´e d’un nombre complexe
On appelle conjugu´e du complexe z=a+i b,aet br´eels, le complexe
not´e zet d´efini par : z=ai b.
Les images de deux complexes conjugu´es sont sym´etriques par rap-
port `a l’axe des abscisses (appel´e souvent axe des r´eels).
z+z=2Re(z);zz=2iIm(z);z=zet zz =x2+y2, o`u z=x+i y avec
x,yR.
z+z=z+z;zz=zz;zn=znet ³z
z´=z
z.
Si z=z+i z′′ avec z,z′′ Calors z=zi z′′
Module et arguments d’un nombre complexe non nul
Soit zun nombre complexe non nul d’image Mdans le plan muni
d’un rep`ere orthonormal direct ¡O;#»
u,#»
v¢, et soit (r,θ)un couple de coor-
donn´ees polaires du point Mdans (O;#»
u).
le r´eel rest appel´e module de zet not´e |z|;
le r´eel θest appel´e argument de zet not´e arg(z). On a donc :
|z|=r=OM ;arg(z)á
(#»
u;
# »
OM)[2π].
Le complexe 0 a pour module 0 mais n’a pas d’argument.
Tout complexe non nul za une infinit´e d’arguments. Si θest l’un
d’eux, tout autre argument de zest de la forme θ+2kπ,kZ.
Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul
Soit zun nombre complexe non nul de module ret dont un argument
est θ,
l’´ecriture z=r( cosθ+isinθ)est appel´ee forme trigonom´etrique de z.
Soit z=a+i b, avec aet br´eels, un complexe non nul.
Si |z|=ret si arg(z)=θ[2π]alors a=rcosθet b=rsin θ.
Forme trigonométrique
z=r(cosθ+isinθ), r>0
Forme algébrique
z=a+i b,a,bR,
r=pa2+b2; cosθ=a
r; sinθ=b
r
a=rcosθ;b=rsinθ
Formes exponentielle d’un nombre complexe non nul
Pour tout r´eel θon pose : eiθ=cos θ+isinθ. Si zest un nombre com-
plexe non nul de module ret dont un argument est θ, on appelle forme
exponentielle de zl’ ´ecriture : z=r eiθ.
Remarques
Si ρet θsont des r´eels quelconques et si z=ρeiθ, la forme exponentielle
de z
n’est pas toujours ρeiθ.
si ρ>0, la forme exponentielle de zest ρeiθ;
si ρ<0, la forme exponentielle de zest ρei(π+θ);
si ρ=0,z=0et la forme exponentielle de zn’existe pas.
Pour montrer qu’un nombre complexe est r´eel
?
?
?
?
?
?
on peut :
montrer que sa partie imaginaire est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `a son conjugu´e ;
montrer qu’il est nul ou que son argument est kπ,kZ.
Pour montrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur
?
?
?
?
?
?
?
on peut :
montrer que sa partie r´eelle est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `a l’oppos´e de son conjugu´e ;
montrer qu’il est nul ou que son argument est π
2+kπ,kZ.
Formules d’Euler
cosθ=eiθ+eiθ
2;sinθ=eiθeiθ
2i.
Formule de Moivre
Pour tout r´eel θet pour tout entier naturel n:[cos (θ)+isin(θ)]n=
cos(nθ)+isin(nθ)
Cons´equences
Pour ´ecrire 1+eiθet 1eiθ(θR) sous la forme ρeiα, avec (ρ,α)R2,
on peut factoriser par eiθ
2:
eiθ+1=eiθ
2³eiθ
2+eiθ
2´=2cosµθ
2eiθ
2;eiθ1=eiθ
2³eiθ
2eiθ
2´=2sinµθ
2ei¡θ
2+π
2¢
i=eiπ
2;1=eiπ;i=eiπ
2
Distances et angles orient´es
Soient A,Bet Ctrois points distincts du plan
|zBzA|=AB ;¯¯¯¯
zCzA
zBzA¯¯¯¯=AC
AB
Mesure de l’angle ³#»
u,
# »
AB ´est ´egale `a : á
³#»
u,
# »
AB´arg(zBzA)[2π]
Mesure de l’angle ³# »
AB ,
# »
AC ´est ´egale `a : á
³# »
AB ,
# »
AC ´argµzCzA
zBzA[2π]
Cons´equences
A,Bet C´etant trois points distincts du plan :
A,Bet Csont align´es zczA
zBzA
Rdet³# »
AB,
# »
AC ´=0
argµzczA
zBzA=kπ,kZ.
les droites (AB)et (AC )sont perpendiculaires zczA
zBzA
iR
# »
AB .
# »
AC =0argµzczA
zBzA=kπ+π
2,kZ
Th´eor`eme :
L’´equation zn=1(nN) admet dans Cnsolutions distinctes deux
`a deux, appel´ees les racine ni`eme de l’unit´e qui sont : e2i kπ
n=³e2iπ
n´kavec
k{0,1,.. . ,n1}.
Si on pose zk=e2i kπ
nalors on a : znk=zk=1
zk
,z0+z1+...zn1=0et
z0×z1×...×zn1=(1)n1.
Th´eor`eme :
Soit U=ρeiαavec ρ>0. L’´equation zn=U(nN) admet dans C
nsolutions distinctes deux `a deux, appel´ees les racine ni`eme de Uqui
sont : ei(α+2kπ)
navec k{0,1, ...,n1}.
Equation du second degr´e `a coefficients complexes
Soit (E)l’´equation az2+bz +c=0,a6= 0. Soit =b24ac le discri-
minant de l’´equation, il existe un δtel que δ2=alors les solutions de
(E)sont z=b+δ
2a,z′′ =bδ
2a.
az2+bz +c=a(zz)(zz′′).
z+z′′ = b
a;zz′′ =c
a.
1est une solution de (E)a+b+c=0,1est une solution de
(E)ab+c=0
Si a,bet csont r´eels alors les solutions de (E)sont conjugu´ees.
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