fiche cours complexes 10 11

R´esum´e de cours : Nombres complexes.
Forme alg´ebrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme ( dite
alg´ebrique ) : z=a+i b o`u aet bsont des r´eels.
Le r´eel aest appel´e partie r´eelle de zet est not´e Re(z). Le r´eel best
appel´e partie imaginaire de zet est not´e Im(z).
zest r´eel ⇔b=0;zest imaginaire pur ⇔a=0.
Le complexe 0 est `a la fois r´eel et imaginaire pur.
Conjugu´e d’un nombre complexe
On appelle conjugu´e du complexe z=a+i b,aet br´eels, le complexe
not´e zet d´efini par : z=a−i b.
Les images de deux complexes conjugu´es sont sym´etriques par rap-
port `a l’axe des abscisses (appel´e souvent axe des r´eels).
z+z=2Re(z);z−z=2iIm(z);z=zet zz =x2+y2, o`u z=x+i y avec
x,y∈R.
z+z′=z+z′;zz′=zz′;zn=znet ³z
z′´=z
z′.
Si z=z′+i z′′ avec z′,z′′ ∈Calors z=z′−i z′′
Module et arguments d’un nombre complexe non nul
Soit zun nombre complexe non nul d’image Mdans le plan muni
d’un rep`ere orthonormal direct ¡O;#» u,#» v¢, et soit (r,θ)un couple de coor-
donn´ees polaires du point Mdans (O;#» u).
le r´eel rest appel´e module de zet not´e |z|;
le r´eel θest appel´e argument de zet not´e arg(z). On a donc :
|z|=r=OM ;arg(z)≡á
(#» u;
# »
OM)[2π].
Le complexe 0 a pour module 0 mais n’a pas d’argument.
Tout complexe non nul za une infinit´e d’arguments. Si θest l’un
d’eux, tout autre argument de zest de la forme θ+2kπ,k∈Z.
Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul
Soit zun nombre complexe non nul de module ret dont un argument
est θ,
l’´ecriture z=r( cosθ+isinθ)est appel´ee forme trigonom´etrique de z.
Soit z=a+i b, avec aet br´eels, un complexe non nul.
Si |z|=ret si arg(z)=θ[2π]alors a=rcosθet b=rsin θ.
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Forme trigonométrique
z=r(cosθ+isinθ), r>0
Forme algébrique
z=a+i b,a,b∈R,
r=pa2+b2; cosθ=a
r; sinθ=b r
a=rcosθ;b=rsinθ
Formes exponentielle d’un nombre complexe non nul
Pour tout r´eel θon pose : eiθ=cos θ+isinθ. Si zest un nombre com-
plexe non nul de module ret dont un argument est θ, on appelle forme
exponentielle de zl’ ´ecriture : z=r eiθ.
Remarques
Si ρet θsont des r´eels quelconques et si z=ρeiθ, la forme exponentielle
de z
n’est pas toujours ρeiθ.
si ρ>0, la forme exponentielle de zest ρeiθ;
si ρ<0, la forme exponentielle de zest −ρei(π+θ);
si ρ=0,z=0et la forme exponentielle de zn’existe pas.
Pour montrer qu’un nombre complexe est r´eel
?
?
?
?
?
?
on peut :
montrer que sa partie imaginaire est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `a son conjugu´e ;
montrer qu’il est nul ou que son argument est kπ,k∈Z.

Pour montrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur
?
?
?
?
?
?
?
on peut :
montrer que sa partie r´eelle est nulle ;
montrer qu’il est ´egal `a l’oppos´e de son conjugu´e ;
montrer qu’il est nul ou que son argument est π
2+kπ,k∈Z.
Formules d’Euler
cosθ=eiθ+e−iθ
2;sinθ=eiθ−e−iθ 2i.
Formule de Moivre
Pour tout r´eel θet pour tout entier naturel n:[cos (θ)+isin(θ)]n=
cos(nθ)+isin(nθ)
Cons´equences
Pour ´ecrire 1+eiθet 1−eiθ(θ∈R) sous la forme ρeiα, avec (ρ,α)∈R2,
on peut factoriser par eiθ
2:
eiθ+1=eiθ
2³eiθ 2+e−iθ 2´=2cosµθ
2¶eiθ
2;eiθ−1=eiθ 2³eiθ 2−eiθ 2´=2sinµθ
2¶ei¡θ
2+π 2¢
i=eiπ
2;−1=eiπ;−i=e−iπ 2
Distances et angles orient´es
Soient A,Bet Ctrois points distincts du plan
|zB−zA|=AB ;¯¯¯¯
zC−zA
zB−zA¯¯¯¯=AC AB
Mesure de l’angle ³#» u,
# »
AB ´est ´egale `a : á
³#»
u,
# »
AB´≡arg(zB−zA)[2π]
Mesure de l’angle ³# » AB ,
# »
AC ´est ´egale `a : á
³# »
AB ,
# »
AC ´≡argµzC−zA
zB−zA¶[2π]
Cons´equences
A,Bet C´etant trois points distincts du plan :
A,Bet Csont align´es ⇔zc−zA
zB−zA
∈R⇔det³# » AB,
# »
AC ´=0⇔
argµzc−zA
zB−zA¶=kπ,k∈Z.
les droites (AB)et (AC )sont perpendiculaires ⇔zc−zA
zB−zA
∈iR⇔
# »
AB .
# »
AC =0⇔argµzc−zA
zB−zA¶=kπ+π 2,k∈Z
Th´eor`eme :
L’´equation zn=1(n∈N∗) admet dans Cnsolutions distinctes deux
`a deux, appel´ees les racine ni`eme de l’unit´e qui sont : e2i kπ
n=³e2iπ n´kavec
k∈{0,1,.. . ,n−1}.
Si on pose zk=e2i kπ
nalors on a : zn−k=zk=1
zk
,z0+z1+...zn−1=0et
z0×z1×...×zn−1=(−1)n−1.
Th´eor`eme :
Soit U=ρeiαavec ρ>0. L’´equation zn=U(n∈N∗) admet dans C
nsolutions distinctes deux `a deux, appel´ees les racine ni`eme de Uqui
sont : ei(α+2kπ)
navec k∈{0,1, ...,n−1}.
Equation du second degr´e `a coefficients complexes
Soit (E)l’´equation az2+bz +c=0,a6= 0. Soit ∆=b2−4ac le discri-
minant de l’´equation, il existe un δtel que δ2=∆alors les solutions de
(E)sont z′=−b+δ
2a,z′′ =−b−δ 2a.
az2+bz +c=a(z−z′)(z−z′′).
z′+z′′ = − b
a;z′z′′ =c a.
1est une solution de (E)⇔a+b+c=0,−1est une solution de
(E)⇔a−b+c=0
Si a,bet csont r´eels alors les solutions de (E)sont conjugu´ees.