TD 4 - LSV

L3 - 2012/2013 - TD 4 Mercredi 10 octobre Mathématiques Discrètes
Exercice 1 -Cadeau-Retour
On vous propose de choisir un unique cadeau parmi n. Les cadeaux vous
sont proposés un par un dans un ordre aléatoire. Lorsque l’on vous propose
un cadeau, vous pouvez l’accepter et partir avec ou le refuser et continuer
d’inspecter les cadeaux suivants. Les valeurs des cadeaux sont toutes distinctes
et vous souhaitez bien entendu choisir celui de plus grande valeur. On note
(Ak)n
k=1 l’évènement “Le kem cadeau est choisi” et Bl’évènement “Le meilleur
cadeau a été choisi”.
On peut aussi poser Bil’évènement “Le meilleur cadeau est le iem”.
1.1 Trouver une stratégie qui maximise les chances de trouver le meilleur
cadeau.
1.2 Calculer P(B)en suivant cette stratégie ? Quelle est le comportement
asymptotique de cette stratégie pour n→+∞?
Exercice 2 -Variance
Soit Xune variable aléatoire réelle telle que E(X)est fini. On définit la
variance de Xpar V(X) = E[(X−E[X])2].
2.1 Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de variance finie et
α∈R, calculer V(X+αY ).
2.2 Exprimer V(X)en fonction de E(X)et de E(X2).
2.3 Trouver une loi telle que toute variable aléatoire Xsuivant cette loi vérifie
E(X)<+∞mais V(X) = +∞.
2.4 Calculer la variance d’une loi de Benouilli.
2.5 En utilisant la question précédente, calculer la variance d’une loi binomiale.
2.6 Soit f(x) = Pk≥0xk, calculer f0(x)et f00(x). Utiliser ces expressions
pour calculer la variance de la loi géométrique.
2.7 Calculer la variance d’une loi de Poisson.
Soit Xune variable aléatoire réelle positive d’espérance finie.
2.8 Démontrer l’inégalité de Markov:
∀α≥0, α ·P(X≥α)≤E(X)
Soit Yune variable aléatoire réelle d’espérance et de variance finies.
2.9 Déduire de la question précédente l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
Ph|Y−E(Y)| ≥ βpV(Y)i≤1
β2
B. Barbot 1 E.N.S. de Cachan

L3 - 2012/2013 - TD 4 Mercredi 10 octobre Mathématiques Discrètes
Exercice 3 -Processus de Markov
Un dé est lancé plusieurs fois. Lesquelles de ces processus sont des chaînes
de Markov? Donner les matrices de transition correspondantes.
3.1 Xnest la plus grande valeur observée au bout de nlancers.
3.2 Nnest le nombre de 6dans nlancers.
3.3 Au temps r, le temps Crdepuis le dernier 6.
3.4 Au temps t, le temps Bravant le prochain 6.
Exercice 4 -Duel
Trois personne A,Bet Cs’affrontent en duel. Aatteint sa cible avec proba-
bilité 2
3,Batteint sa cible avec probabilité 1 2et catteint sa cible avec probabilité
1
3. Chacun des duellistes vise son adversaire le plus fort.
4.1 Décrire une chaîne de Markov représentant le duel. Classifier les états.
4.2 Sur la survie de quel joueur seriez vous prêt à parier?
B. Barbot 2 E.N.S. de Cachan