TD 4 - LSV

L3 - 2012/2013 - TD 4
Mercredi 10 octobre
Mathématiques Discrètes
Exercice 1 - Cadeau-Retour
On vous propose de choisir un unique cadeau parmi n. Les cadeaux vous
sont proposés un par un dans un ordre aléatoire. Lorsque l’on vous propose
un cadeau, vous pouvez l’accepter et partir avec ou le refuser et continuer
d’inspecter les cadeaux suivants. Les valeurs des cadeaux sont toutes distinctes
et vous souhaitez bien entendu choisir celui de plus grande valeur. On note
(Ak )nk=1 l’évènement “Le k em cadeau est choisi” et B l’évènement “Le meilleur
cadeau a été choisi”.
On peut aussi poser Bi l’évènement “Le meilleur cadeau est le iem ”.
1.1 Trouver une stratégie qui maximise les chances de trouver le meilleur
cadeau.
1.2 Calculer P(B) en suivant cette stratégie ? Quelle est le comportement
asymptotique de cette stratégie pour n → +∞?
Exercice 2 - Variance
Soit X une variable aléatoire réelle telle que E(X) est fini. On définit la
variance de X par V(X) = E[(X − E[X])2 ].
2.1 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de variance finie et
α ∈ R, calculer V(X + αY ).
2.2 Exprimer V(X) en fonction de E(X) et de E(X 2 ).
2.3 Trouver une loi telle que toute variable aléatoire X suivant cette loi vérifie
E(X) < +∞ mais V(X) = +∞.
2.4 Calculer la variance d’une loi de Benouilli.
2.5 En utilisant la question précédente, calculer la variance d’une loi binomiale.
P
k
0
00
2.6 Soit f (x) =
k≥0 x , calculer f (x) et f (x). Utiliser ces expressions
pour calculer la variance de la loi géométrique.
2.7 Calculer la variance d’une loi de Poisson.
Soit X une variable aléatoire réelle positive d’espérance finie.
2.8 Démontrer l’inégalité de Markov:
∀α ≥ 0, α · P(X ≥ α) ≤ E(X)
Soit Y une variable aléatoire réelle d’espérance et de variance finies.
2.9 Déduire de la question précédente l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
i
h
p
1
P |Y − E(Y )| ≥ β V(Y ) ≤ 2
β
B. Barbot
1
E.N.S. de Cachan
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Mercredi 10 octobre
Mathématiques Discrètes
Exercice 3 - Processus de Markov
Un dé est lancé plusieurs fois. Lesquelles de ces processus sont des chaînes
de Markov? Donner les matrices de transition correspondantes.
3.1 Xn est la plus grande valeur observée au bout de n lancers.
3.2 Nn est le nombre de 6 dans n lancers.
3.3 Au temps r, le temps Cr depuis le dernier 6.
3.4 Au temps t, le temps Br avant le prochain 6.
Exercice 4 - Duel
Trois personne A,B et C s’affrontent en duel. A atteint sa cible avec probabilité 32 , B atteint sa cible avec probabilité 12 et c atteint sa cible avec probabilité
1
3 . Chacun des duellistes vise son adversaire le plus fort.
4.1 Décrire une chaîne de Markov représentant le duel. Classifier les états.
4.2 Sur la survie de quel joueur seriez vous prêt à parier?
B. Barbot
2
E.N.S. de Cachan