06 - equations et inequations

Cours 3ème – Chapitre IV
2014
EQUATIONS ET INEQUATIONS
I Rappels
POLY RAPPELS 4ème
II Equation-produit
On veut résoudre des équations de la forme : (ax + b) (cx + d) = 0.
Propriété 1: Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Remarque :
La réciproque est vraie : si A = 0 ou B = 0, alors A × B = 0 (vu depuis la 6ème).
Exemple 1 :
On veut résoudre (3x – 2) (4 x + 8) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc : 3 x – 2 = 0
ou
4x+8=0
3x=2
ou
4 x = -8
2
-8
x=
ou
x = = -2
3
4
2
Conclusion : Les deux solutions de l’équation sont et -2.
3
Exemple 2 :
On veut résoudre (2x + 4) (x + 7) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc : 2 x + 4 = 0
ou
x+ 7=0
2 x = -4
-4
x = = -2
2
ou
x=- 7
Conclusion : Les deux solutions de l’équation sont -2 et - 7.
Exemple 3 :
On veut résoudre 4x (x² – 7) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc : 4x = 0 ou x² – 7 = 0
x=0
x² = 7
x = - 7 ou x = 7
Conclusion : Les solutions de l’équation sont 0, - 7 et 7.
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-En-Der
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III Inéquations
1°) Définitions
Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus
souvent par une lettre.
Exemple :
3x – 7 < 5 est une inéquation d’inconnue x.
Résoudre une inéquation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs possibles du nombre x telles
que l’inégalité soit vraie.
Les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l’inéquation.
Exemple :
Les nombres strictement inférieurs à 4 sont les solutions de l’inéquation 3x – 7 < 5.
2°) Résolution d’une inéquation
La méthode consiste à « isoler x » dans un membre à l’aide des 3 règles suivantes :
Règle 1 :
Ordre et addition
L’ordre est conservé quand on ajoute (ou quand on retranche) un même nombre aux
deux membres d’une inégalité .
Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c et a – c ≤ b – c.
Exemples :
x–7<5
x–7+7<5+7
Donc : x < 12
x+3<1
x+3–3<1–3
Donc : x < – 2
Règle 2 :
Ordre et multiplication par un nombre positif
L’ordre est conservé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même
nombre positif non nul les deux membres d’une inégalité.
a b
Si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc et ≤ .
c c
Exemple :
4x > -6
-6
x>
4
Donc : x >
-3
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Règle 3 :
Ordre et multiplication par un nombre négatif
L’ordre est inversé quand on multiplie (ou quand on divise) par un même
nombre négatif non nul les deux membres d’une inégalité.
a b
Si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc et ≥ .
c c
Exemple :
-5x ≤ 10
10
x≥
-5
Donc : x ≥ -2
Maintenant, mélangeons un peu le tout, et regardons ce qui se passe :
• 3x–7<5
3 x < 12
règle 1 (on a ajouter 7 aux deux membres)
12
x<
règle 2 (on divise par 3 les deux membres)
3
Donc : x < 4
Conclusion : Les nombres strictement inférieurs à 4 sont solutions de l’inéquation 3x – 7 < 5.
• 3–2x≤9
-2 x ≤ 6
-6
x≥
2
règle 1 (on retranche 3 aux deux membres)
règle 3 (on divise par -2 les deux membres, donc on
n’oublie pas de changer le SENS de l’inégalité)
Donc : x ≥ -3
Conclusion : Les nombres supérieurs à -3 sont solutions de l’inéquation 3 – 2 x ≤ 9.
• 9x+8>5x+2
9x–5x > 2–8
4 x > -6
-6
x>
4
-3
Donc : x >
2
règle 1
règle 2
Conclusion : Les nombres strictement supérieurs à
-3
sont solutions de l’inéquation 9 x + 8 > 5 x + 2.
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3°) Représentation graphique des solutions d’une inéquation
Exemple 1 :
L’inéquation 3 x – 7 < 5 a pour solutions les nombres : x < 4
0
4
On repasse en couleur
la partie de la droite
graduée qui vérifie les
solutions
Exemple 2 :
L’inéquation 3 – 2x ≤ 9 a pour solutions les nombres : x ≥ -3
-3
Exemple 3 :
On indique par un crochet
si le nombre 4 fait partie
des solutions ou non
0
L’inéquation 9x + 8 > 5x + 2 a pour solutions les nombres : x >
-3
2
0
-3
2
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4°) Mise en inéquation et résolution d’un problème
4 étapes :
(1)
(2)
(3)
(4)
Choix de l’inconnue
Mise en inéquation du problème
Résolution de l’inéquation
Interprétation du résultat.
Exemple :
Un rectangle a un côté qui mesure 7 cm.
Quelle doit être la longueur de l’autre côté pour que le périmètre soit inférieur
ou égal à 32 cm ?
(1) Soit x la longueur de l’autre côté.
Attention, x représente une longueur, il doit donc être un nombre strictement positif.
(2) Le périmètre du rectangle s’exprime par : 2 (x + 7).
D’où l’inéquation : 2 (x + 7) ≤ 32.
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(3) 2 (x + 7) ≤ 32
2x + 14 ≤ 32
2x ≤ 32 – 14
2x ≤ 18
x≤9
(4) La longueur de l’autre côté doit donc être inférieure ou égale à 9 cm.
On doit répondre par un encadrement des solutions : 0 < x ≤ 9.
Représentation graphique des résultats :
0
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