cours - Alain Camanes

Notations.
I, J R
x0I
a, b a < b
f I R
Définition 1 (Composée)
f:I→Rg:J→Rf(I)⊂J g f g ◦f
g◦f:I→R
x7→ g(f(x)) .
Exercice 1. f g f ◦g g◦f f ◦g6=g◦f
Définition 2 (Paire, Impaire)
IR0
(i)f∀x∈I, f(x) = f(−x)
(ii)f∀x∈I, f(x) = −f(−x)
Exercice 2.
Définition 3 (Fonctions périodiques)
T∈R?f∈F(R,R)f T x f(x+T) =
f(x)
Définition 4 (Lipschitzien)
k∈R?
+f k I
∀x, y ∈I, |f(x)−f(y)|6k|x−y|.
Lip(I, R)I
Exercice 3. f: [0,1] →[0,1], x 7→ x2
f: [0,1] →[0,1], x 7→ √x
Propriété 1
a < b < c I f ∈Lip([a, b],R)f∈Lip([b, c],R)
f∈Lip([a, c],R)
Définition 5 (Continuité)
(i)f x0f x0f(x0)
(ii)f x0f x0f(x0)
(iii)f x0f x0

(iv)f I I
Exercice 4. f x0ε
∗ ∀ x∈I, f(x) = f(x0) + ε(x−x0)
∗lim
x→0ε(x)=0
Propriété 2 (Lipschitzien & Continuité)
Exercice 5.
Définition 6 (Dérivée)
(i)f x0lim
h→0+
f(x0+h)−f(x0)
hR
x0f0
d(x0)
(ii)f x0lim
h→0−
f(x0+h)−f(x0)
hR
x0f0
g(x0)
(iii)f x0x0f0
d(x0) = f0
g(x0)
f x0f0(x0)
(iv)f I f0:I→R, x 7→ f0(x)
Notation.
D(I, R)I
Exercice 6.
1. f1:R→R, x 7→ x
2. f2:R→R, x 7→ |x|
3. f3:R+→R, x 7→ √x
4. f4:R?
+→R, x 7→ xcos 1
x
Propriété 3 (Continuité & Dérivabilité)
f x0f
x0
Exercice 7.
Propriété 4 (Dérivée & Opérations)
f, g x0λ∈R
(i)Linéarité. λf +g x0(λf +g)0(x0) = λf0(x0) + g0(x0)
(ii)fg x0(fg)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0)
(iii)f x01
fx01 f0(x0) = −f0(x0)
f(x0)2
Propriété 5 (Dérivation & Composition)
f∈F(I, R), g ∈F(J, R)f(I)⊂J f x0g
f(x0)g◦f x0(g◦f)0(x0) = f0(x0)·g0(f(x0))

Propriété 6 (Dérivation & Bijection)
f I J =f(I)f x0
(i)f0(x0)6= 0 f−1f(x0) (f−1)0(f(x0)) = 1
f0(x0)
(ii)f0(x0) = 0 f−1
(f(x0), x0)
Théorème 1 (Régularité)
]−1; 1[
∀x∈]−1; 1[,arcsin0(x) = 1
√1−x2,arccos0(x) = −1 √1−x2.
R
∀x∈R,arctan0(x) = 1
1 + x2.
Exercice 8.
1. arcsin + arccos
2. x∈R?arctan x+ arctan 1
x
Cn(I)
Notation.
n
Définition 7 (Dérivée n-ème)
f(0) =f n f I f(n)
f(n−1)
Exercice 9. k∈Nn
1. exp
2. cos
3. x7→ xk
4. ln
Théorème 2 (Formule de Leibniz)
x0∈I f, g n x0fg n
x0
(fg)(n)(x0) =
n
X
k=0 n
kf(k)(x0)g(n−k)(x0).
Définition 8 (Classe Cn)
f:I→RCnI n f(n)
Cn(I)CnI
n∈NfCnIC∞
IC∞(I)C∞I

Exercice 10.
1. x7→ 1
x
2. x7→ |x|
3. x7→ x3sin 1
xx6= 0 0 7→ 0
4. R→R, x 7→ e−1/x x > 0x7→ 0
Théorème 3 (Exrtremum local)
f x0f x0f0(x0)=0
Exercice 11.
Théorème 4 (Caractérisation des fonctions monotones, P. A.)
f∈D(I, R)
(i)f I f0(x)>0,∀x∈I
(ii)f I f0(x)60,∀x∈I
Corollaire 5
f∈D(I, R)f I f0(x)=0,∀x∈I
Théorème 6 (Caractérisation de la stricte monotonie)
f∈D(I, R)f I f0I
I f0
Notation.
C(I)I
a, b I a < b f, g I
Propriétés 7 (Propriétés élémentaires)
(i)Linéarité. I:C([a, b]) →R, f 7→ Zb
a
f(t)dt
(ii)Croissance. f6gZb
a
f(t)dt 6Zb
a
g(t)dt
(iii)Inégalité triangulaire. Zb
a
f(t)dt6Zb
a|f(t)|dt
(iv)Relation de Chasles.c∈]a, b[Zb
a
f(t)dt =Zc
a
f(t)dt +Zb
c
f(t)dt
Théorème 7 (Dérivation des bornes)
JRf∈C(I)α, β ∈D(J, I)
ϕ:J→R, x 7→ Zβ(x)
α(x)
f(t)dt J
ϕ0(x) = β0(x)f(β(x)) −α0(x)f(α(x)).

Théorème 8 (Intégration Par Parties)
u, v ∈C1([a, b])
Zb
a
u(t)v0(t)dt =u(b)v(b)−u(a)v(a)−Zb
a
u0(t)v(t)dt.
Exercice 12.
1. ln arctan
x7→ P(x)exP
2. n Wn=Zπ
2
0
sinnt dt
n2nWn= (n−1)Wn−2
Théorème 9 (Formule de Changement de Variables)
ϕ∈C1([α, β],R)ϕ([α, β]) ⊂I
Zϕ(β)
ϕ(α)
f(t)dt =Zβ
α
f(ϕ(u))ϕ0(u)du.
Exercice 13. 1< α < β
1. Za
0
cos2t dt a = 0,π
4,π 2, π, 2π
2. nZπ
2
0
sinnt dt =Zπ
2
0
cosnt dt
3. Z1
0p1−t2dt 4. Z3 2
dt
t√t2−1
Propriété 8
(i)a∈I[−a, a]⊂I f [−a, a]Za
−a
f(t)dt = 2 Za
0
f(t)dt
(ii)a∈I[−a, a]⊂I f [−a, a]Za
−a
f(t)dt = 0
(iii)I=Rf T Za+T
a
f(t)dt =ZT
0
f(t)dt
Propriété 9
(f, g)∈C([a, b],R)2K∈R+x|f(x)|6K
Zb
a
f(t)g(t)dt6KZb
a|g(t)|dt.
Exercice 14. R
Théorème 10 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
f, g ∈C([a, b])
Z[a,b]
fg!2 6Z[a,b] f2·Z[a,b] g2.