cours - Alain Camanes

Chapitre 3 Calcul Analytique
Notations.
I, J désignent des intervalles de R non vides et non réduits à un point.
x0 désigne un point intérieur de I .
a, b désignent deux réels tels que a < b.
f désigne une fonction de I dans R.
I - Préliminaires
Définition 1 (Composée).
Soit f : I → R et g : J → R telles que f (I) ⊂ J . La
composée de g par f , notée g ◦ f est
g◦f : I → R
.
x 7→ g(f (x))
Exercice 1. Déterminer deux fonctions f et g telles que f ◦g , g ◦f soient dénies mais f ◦g 6= g ◦f .
I.1 - Fonctions particulières
Définition 2 (Paire, Impaire).
On suppose que I est un intervalle de R centré en 0.
paire si ∀ x ∈ I, f (x) = f (−x).
(ii). f est impaire si ∀ x ∈ I, f (x) = −f (−x).
(i). f est
Exercice 2. Montrer que toute fonction se décompose de manière unique comme somme d'une
fonction paire et d'une fonction impaire.
Définition 3 (Fonctions périodiques).
Soient T ∈ R? et f ∈ F (R, R). La fonction f est T -périodique si pour tout réel x, f (x + T ) =
f (x).
Définition 4 (Lipschitzien).
Soit k ∈ R?+ . La fonction f est k -lipschitzienne sur I si
∀ x, y ∈ I, |f (x) − f (y)| 6 k|x − y|.
On notera Lip(I, R) l'ensemble des fonctions lipschitziennes sur I .
Exercice 3. Montrer que la fonction f : [0, 1] → [0, 1], x 7→ x2 est une fonction lipschitzienne.
√
Montrer que la fonction f : [0, 1] → [0, 1], x 7→ x n'est pas lipschitzienne.
Propriété 1.
Soient a < b < c trois réels de I . On suppose que f ∈ Lip([a, b], R) et f ∈ Lip([b, c], R). Alors,
f ∈ Lip([a, c], R).
I.2 - Continuité
Définition 5 (Continuité).
(i). f est continue à droite en x0 si f admet une limite à droite en x0 qui vaut f (x0 ).
(ii). f est continue à gauche en x0 si f admet une limite à gauche en x0 qui vaut f (x0 ).
(iii). f est continue en x0 si f est continue à droite et à gauche en x0 .
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 3. Calcul Analytique
MPSI 1
(iv). f est continue sur I si elle est continue en tout point de I .
Exercice 4. Montrer que f est continue en x0 si et seulement s'il existe une fonction ε telle que
∗ ∀ x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + ε(x − x0 ),
∗ lim ε(x) = 0.
x→0
Propriété 2 (Lipschitzien & Continuité).
Toute fonction lipschitzienne est continue.
Exercice 5. Montrer que la réciproque est fausse.
II - Calcul diérentiel
Définition 6 (Dérivée).
(i). f est
(x0 )
dérivable à droite en x0 si lim+ f (x0 +h)−f
existe dans R.
h
h→0
Cette limite est la dérivée à droite en x0 , notée fd0 (x0 ).
(ii). f est
(x0 )
existe dans R.
dérivable à gauche en x0 si lim− f (x0 +h)−f
h
h→0
Cette limite est la dérivée à gauche en x0 , notée fg0 (x0 ).
(iii). f est dérivable en x0 si elle est dérivable à droite et à gauche en x0 et si fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ).
Cette valeur commune est la dérivée de f en x0 , notée f 0 (x0 ).
(iv). Si f est dérivable en tout point de I , La
fonction dérivée est f 0 : I → R, x 7→ f 0 (x).
Notation.
D(I, R) désigne l'ensemble des fonctions dérivables sur I .
Exercice 6. Étudier la dérivabilité en tout point des fonctions suivantes.
√
1. f1 : R → R, x 7→ x.
3. f3 : R+ → R, x 7→ x.
2. f2 : R → R, x 7→ |x|.
4. f4 : R?+ → R, x 7→ x cos x1 .
Propriété 3 (Continuité & Dérivabilité).
Si f est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) en x0 , alors f est continue
(resp. continue à droite, continue à gauche) en x0 .
Exercice 7. Que pensez-vous de la réciproque ?
II.1 - Opérations
Propriété 4 (Dérivée & Opérations).
Soient f, g deux fonctions dérivables en x0 et λ ∈ R.
(i). Linéarité. λf + g est dérivable en x0 et (λf + g)0 (x0 ) = λf 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
(ii). f g est dérivable en x0 et (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
(iii). Si f ne s'annule pas sur un voisinage de x0 ,
1
f
est dérivable en x0 et
0
1
f
0
(x0 ) = − ff(x(x00)2) .
Propriété 5 (Dérivation & Composition).
Soient f ∈ F (I, R), g ∈ F (J, R) telles que f (I) ⊂ J . Si f est dérivable en x0 et g est dérivable
en f (x0 ), alors g ◦ f est dérivable en x0 et (g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g 0 (f (x0 )).
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Propriété 6 (Dérivation & Bijection).
Soit f une bijection de I sur J = f (I) telle que f soit dérivable en x0 .
(i). f 0 (x0 ) 6= 0 si et seulement si f −1 est dérivable en f (x0 ) et (f −1 )0 (f (x0 )) =
1
f 0 (x0 ) .
(ii). Si f 0 (x0 ) = 0, la courbe représentative de f −1 admet une tangente verticale au point
(f (x0 ), x0 ).
Théorème 1 (Régularité).
Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont dérivables sur ] − 1; 1[ et
∀ x ∈] − 1; 1[, arcsin0 (x) = √
1
1
, arccos0 (x) = − √
.
2
1−x
1 − x2
La fonction Arc tangente est dérivable sur R et
∀ x ∈ R, arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
Exercice 8.
1. Simplier l'expression arcsin + arccos.
2. Pour tout x ∈ R? , calculer la valeur de la quantité arctan x + arctan x1 .
II.2 - Algèbre C n (I)
Notation.
n désigne un entier naturel.
Définition 7 (Dérivée n-ème).
On pose f (0) = f et on dénit par récurrence la dérivée n-ème de f sur I , notée f (n) , comme
la dérivée, si elle existe, de la fonction f (n−1) .
Exercice 9. Soit k ∈ N. Déterminer la dérivée n-ème des fonctions
1. exp.
3. x 7→ xk .
2. cos.
4. ln.
Théorème 2 (Formule de Leibniz).
Soient x0 ∈ I et f, g deux fonctions n fois dérivables en x0 . Alors f g est n fois dérivable en
x0 et
n X
n (k)
(n)
(f g) (x0 ) =
f (x0 )g (n−k) (x0 ).
k
k=0
Définition 8 (Classe C n ).
Une fonction f : I → R est de classe C n sur I si elle est n fois dérivable et si f (n) est continue.
C n (I) est l'ensemble des fonctions de classe C n sur I .
Si pour tout n ∈ N, f est de classe C n sur I , elle est indéniment dérivable , ou de classe C ∞
sur I . C ∞ (I) est l'ensemble des fonctions de classe C ∞ sur I .
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Exercice 10. Étudier la régularité des fonctions suivantes.
1. x 7→ x1 .
3. x 7→ x3 sin x1 si x 6= 0, 0 7→ 0.
2. x 7→ |x|.
4. R → R, x 7→ e−1/x si x > 0, x 7→ 0 sinon.
II.3 - Variations
Théorème 3 (Exrtremum local).
On suppose que f est dérivable en x0 . Si f possède un extremum local en x0 , alors f 0 (x0 ) = 0.
Exercice 11. Que pensez-vous de la réciproque ?
Théorème 4 (Caractérisation des fonctions monotones, P. A.).
Soit f ∈ D(I, R).
(i). f est croissante sur I si et seulement si f 0 (x) > 0, ∀ x ∈ I .
(ii). f est décroissante sur I si et seulement si f 0 (x) 6 0, ∀ x ∈ I .
Corollaire 5.
Soit f ∈ D(I, R). f est constante sur I si et seulement si f 0 (x) = 0, ∀ x ∈ I .
Théorème 6 (Caractérisation de la stricte monotonie).
Soit f ∈ D(I, R). f est strictement monotone sur I si f 0 est de signe constant sur I et s'il
n'existe pas d'intervalle (non réduit à un point) inclus dans I sur lequel f 0 est identiquement
nulle.
III - Calcul intégral
Notation.
C (I) désigne l'ensemble des fonctions continues sur I . Les fonctions sont à valeurs réelles ou
complexes.
a, b sont deux réels de l'intervalle I tels que a < b et f, g sont deux fonctions continues sur I .
Propriétés 7 (Propriétés élémentaires).
(i). Linéarité. L'application I : C ([a, b]) → R, f 7→
Z
b
f (t) dt est linéaire.
a
Z b
Z b
(ii). Croissance. Si f 6 g , alors
f (t) dt 6
g(t) dt.
a
a
Z b
Z b
|f (t)| dt.
(iii). Inégalité triangulaire. f (t) dt 6
a
a
Z b
Z b
Z c
(iv). Relation de Chasles. Pour tout c ∈]a, b[,
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt.
a
a
c
III.1 - Techniques de calculs
Théorème 7 (Dérivation des bornes).
Soient J un intervalle de R non réduit à un singleton, f ∈ C (I) et α, β ∈ D(J, I). La fonction
Z β(x)
ϕ : J → R, x 7→
f (t) dt est dérivable sur J et sa dérivée vaut
α(x)
ϕ0 (x) = β 0 (x)f (β(x)) − α0 (x)f (α(x)).
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A. Camanes
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Théorème 8 (Intégration Par Parties).
Soient u, v ∈ C 1 ([a, b]). Alors,
Z
b
u(t)v 0 (t) dt = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b
Z
a
u0 (t)v(t) dt.
a
Exercice 12.
1. Déterminer une primitive des fonctions ln et arctan ainsi que la forme des primitves des
fonctions x 7→ P (x)ex , où P est une fonction polynomiale.
Z π
2
2. Pour tout entier naturel n, on note Wn =
sinn t dt. Montrer que pour tout entier naturel
0
n supérieur à 2, nWn = (n − 1)Wn−2 .
Théorème 9 (Formule de Changement de Variables).
Soit ϕ ∈ C 1 ([α, β], R) telle que ϕ([α, β]) ⊂ I . Alors,
Z
ϕ(β)
β
Z
f (ϕ(u))ϕ0 (u) du.
f (t) dt =
ϕ(α)
α
Exercice 13. Soient 1 < α < β .
Z a
1. Calculer
cos2 t dt, lorsque a = 0,
0
π π
4, 2,
2. Montrer que pour tout entier naturel n,
π, 2π .
Z
π
2
Z
n
sin t dt =
0
Calculer
Z 1 p les intégrales suivantes.
3.
1 − t2 dt.
π
2
cosn t dt.
0
3
Z
4.
0
2
dt
√
.
t t2 − 1
Propriété 8.
(i). Soit a ∈ I . Si [−a, a] ⊂ I et f est paire sur [−a, a], alors
Z
a
Z
a
f (t) dt = 2
−a
(ii). Soit a ∈ I . Si [−a, a] ⊂ I et f est impaire sur [−a, a], alors
f (t) dt.
0
Z
a
f (t) dt = 0.
−a
(iii). Si I = R et f est T -périodique, alors
Z
a+T
Z
f (t) dt =
a
T
f (t) dt.
0
III.2 - Inégalités
Propriété 9.
Soient (f, g) ∈ C ([a, b], R)2 et K ∈ R+ tels que pour tout réel x, |f (x)| 6 K . Alors,
Z b
Z b
f (t)g(t) dt 6 K
|g(t)| dt.
a
a
Exercice 14. Monter que les fonctions cosinus et arctangente sont lipschitziennes sur R.
Théorème 10 (Inégalité de Cauchy-Schwarz).
Soient f, g ∈ C ([a, b]). Alors,
!2 Z
Z
fg
6
[a,b]
Stanislas
[a,b]
2
Z
f ·
g2.
[a,b]
A. Camanes
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III.3 - Formule de Taylor avec Reste Intégral
Théorème 11 (Formule de Taylor avec Reste Intégral).
Soit f ∈ C n+1 (I) et a ∈ I . Alors, pour tout x ∈ I ,
f (x) =
n
X
(x − a)k
k=0
k!
f
(k)
x
Z
(a) +
a
(x − t)n (n+1)
f
(t) dt.
n!
Exercice 15.
1. Soit x > 0. Montrer que la suite de terme général
n
P
k=0
xk
k!
converge.
2. Montrer que pour tout x ∈ [0, π2 ], sin x 6 x.
3. Montrer que pour tout x > 0,
x−
Stanislas
x2
x2 x3
6 ln(1 + x) 6 x −
+ .
2
2
3
A. Camanes