aléatoires probabilité conséquence

Résumé statistique
3.6 Le coefficient de corrélation
Corrélation entre deux composants: poid/taille d'un individu.
La valeur se situera entre -1 (corrélation
négative/inversée) et 1(corrélation positive).
Faire la différence entre corrélation (tendance à évoluer
de manière identique) et causalité (l'un influençant
l'autre).
3.7 La concentration
3.7.1.1 Milieu de classe (ou centre calculé)
2ii ba 
3.7.1.2.1 Masse absolue et masse relative d’une classe
i
k
iinm 1
MAT
i
k
iifm 1
MRT
3.7.2 La notion de concentration
Plein d'employés pour quelques entreprises. Pour la calculer on utilise:
 La courbe de Lorenz (graphique)
Si la courbe forme une diagonale parfaite, la
répartition est équilibrée.
Placer dans le plan les points
k iQF ii ,,2,1 ,),( 
ii fffF   21
: fréquence relative cumulée de ∆i
ii qqqQ   21
: part à la masse totale cumulée
3.7.3.5 Interpolation linéaire
Masse salairiale des x % gagnant
le moins.
La proportion de personnes de
salaire inférieur gagnant z % de
masse salariale.
 L'indice de Gini (mesure)
r=(xi-x)(yi-y)
i=1
n
å
(xi-x)2(yi-y)2
i=1
n
å
i=1
n
å
(0.1)
(1,1)
(0.0)
(1,0)
C.L.
(Fi, Qi)
z=(x-a)×(d-c)
b-a+c
x=(z-c)×(b-a)
d-c+a
c
z
d
a
b
x

Mesure du degré d'inégalité (ou concentration)
Il se calcule en divisant la surface de concentration par la surface du triangle inférieur.
1
1
ii
iii
ii
iii
fm
Ffm
fm
Ffm
Gini
Plus l'indice tend vers 0, plus c'est égalitaire.
Plasaasf
4. Coefficient binomiaux et binôme de Newton
4.1 Fonction factoricielle
241234!4 
4.2 Les coefficients binomiaux
Nombre de combinaisons (lorsque l’ordre ne compte pas) sans répétition
Cn
r=n!
(n-r)!r!
Exemple : n = 4, r = 3 (ABC, ABD, ACD, BCD)
4
!3!1 !4
3
4
C
Le "1!" dans l’exemple est la soustraction du 3 au 4.
4.3 Le binôme de Newton
rrn
n
r
r
n
nbaCba 
0
)(
4.3 Le triangle de Pascal
fdsaf fd fds df
<-- Si le triangle devient trop grand.
(Ouellet pp.158, 159)
4.4 Eléments d’analyse combinatoire
Manière de ranger des objets :
- Permutations : abc acb bac bca cab cba = 3! -> anagramme
Avec répetition : ex. Anagrammes du mot MISSISSIPPI.
34650
!2!4!4 !11 
- Arrangements : ensemble formé d'un certain nombre de chiffre
Cn
r+1=n-r
r+1Cn
r

60
)!35( !5
3
5
A
1,3,5,7,9, les chiffres doivent être disticts.
Avec remise :
R5
3=53=125
- Combinaisons : l'ordre du tirage ne nous interresse pas, mais combien de
combinaison peut-on faire.
Ex: 15 boules dans une jare, on en tire 5, combien de combinaisons ?
C15
5=15!
(15-5)!5! =3'003.
Avec remise :
.628'11
!5)!115()!1515(
5
15 
K
5. Probabilités et lois de probabilités
5. Probabilités
A et B se réalisent:
BA
(intersection)
A ou B se réalisent:
BA
(union)
A implique B:
BA 
(inclusion)
La probabilité d’un événement A lors d’une expérience aléatoire donnée :
possibles cas de nombre favorables cas de nombre
)( AP
La réponse s'écrira P(A) = ....
5.1.3.3 Définition de la probabilité par une mesure
de mesure de mesure
)( S
A
AP 
P(A) satisfait les trois rêgles suivantes:
1)(0  AP
-
1)( SP
- Si A et B sont incompatible:
)()()( BPAPBAP 
5.1.4 Propriétés des probabilités
Voir page 7-8 support de cours
5.1.5 La probabilité conditionnelle
La survenue d’un certain événement peut changer la probabilité que se produise un autre
événement.
)( )(
)( BP BAP BAP 
Probabilité que A arrive sachant que B c’est produit.
Exemple d'application page 10 du support de cours.
5.1.5 Théorème de multiplication
A utiliser si l'expérience peut être décomposée en plusieurs épreuves successives. Ex:
lancer un dé 2 fois.

)()()()()()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 
2 événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la probabilité
de la réalisation de l’autre.
)()( APBAP 
A = la hausse de la production de la damassine dans le Jura en 2004.
B = le résultat des présidentielles aux USA en 2004.
Voir conditions d'indépendance page 14.
5.1.6 Probabilités totales et formule de Bayes
A demander au prof, rien compris.
5.1.7 Probabilités et proportions
Utilisées pour le calcul de proportions dans une population.
Proportion de personnes ayant un fort taux d’absentéisme:
P(H) : proportion d’hommes dans la population,
P(A) : proportion d’absentéistes,
P(A|H)
P(H|A)
Indépendance entre « genre » et « absentéisme » si "P(A|H) = P(A)".
5.1.8 Probabilité personnelles
Concerne les événements ne se produisant qu’une seule fois dans les mêmes conditions.
Impossible à calculer, l’intuition du spécialiste remplace le calcul.
5.2 Introduction aux lois de probabilités
Correspond au début du chap. 6, pp.212-232 dans Ouellet
5.2.1 Variables aléatoires
Les réalisations peuvent avoir une forme non-numérique. Lancer un pièce de monnaie 2X --
> 1 fois pile(P), une fois face(F). Combien de réalisation face ?
Notation: s = (F,P) 1. Le "1" est appelé variable aléatoire X.
Une variable aléatoire X est une fonction définie sur l’ensemble fondamental S. Elle associe
à un événement simple (résultat) un nombre réel.
5.2.1.2 Fonctions de probabilités
S Réels
x1
A3
x2
x3
A1
A2
(Toujours en lien avec les variables aléatoires)
Pré-images des réalisations de X :
})(;{ 11 xsXSsA 
(pré-image de x1).
Les pré-images A1, A2 et A3 sont des sous-ensembles de S et sont donc des
événements --> une probabilité P est bel et bien définie sur eux.
)()( 11 APxXP 
)()( 11 xXPxf 
)()()(}),,{( 521521 xfxfxfxxxXP 
1)()()( 21  k xfxfxf 

5.2.1.3 Fonction de répartition
k
xx
xxx
xxx
xx
xfxf
xf
xF
32
21
1
21
1 si
1
)()(
)(
0
)(
Chapitres 1, 2 et 3
Chapitre 5
Variable statistique
Variable aléatoire
Réalisation ou modalité
Réalisation ou modalité
Fréquence relative
Probabilité
Distribution de fréquences
Distribution de probabilités
Polygone des fréquences
Polygone des probabilités
Ogive
Fonction de répartition
Moyenne
Espérance mathématique
5.2.1.4 Transformation d’une variable aléatoire X
Nombre hebdomadaire de voitures vendues :
X
Fonction de profit hebdomadaire non-linéaire :
5.2.1.5 Transformation linéaire d’une variable aléatoire X
Exemple: le lien entre le prix Y payé effectivement à la pompe par le client et le prix X (en $)
du baril (159 litres) de pétrole est une transformation linéaire :
XY  01056.075025.0
Transformation linéaire --> les réalisations changent, mais pas les probabilités f(xi) ni, en
conséquence, les probabilités cumulées F(xi). Page 30 du support de cours.
5.2.2 Les valeurs centrales
5.2.2.1 Mode, médiane et espérance mathématique (=moyenne)
Le mode d’une variable aléatoire X est la réalisation de X à laquelle correspond la plus
grande probabilité.
Distribution de X
Distribution de Y
i
x
)( i xf
4050 2 ii xy
)()( ii xfyf 
0
0.01
-40
0.01
1
0.03
10
0.03
2
0.04
160
0.04
3
0.06
410
0.06
4
0.09
760
0.09
5
0.1
1210
0.1
6
0.11
1760
0.11
7
0.12
2410
0.12
8
0.34
3160
0.34
9
0.09
4010
0.09
10
0.01
4960
0.01
Σ
1
1
Y=50X2-40