Lecon numero 18: Équations du second degré à coefficients réels

Lecon numero 18: Équations du second degré à coefficients
réels ou complexes.
Prérequis : nombres complexes, équations du premier degré, identités remarquables
Niveau : première S, BTS
INTRODUCTION
Différents types de problèmes issus de domaines très diverses comme l'arithmétique
ou la géométrie nécessitent l'utilisation et la résolution d'équations du second degré.
Nous nous intéresserons donc aux différentes méthodes de résolutions
de ces équations à coefficients réels ou complexes pour ensuite les appliquer à des
exemples concrets.
1) Equations du second degré à coefficients réels
Def : Ce sont les équations de la forme
ax²+bx+c=0 avec a≠0 , a , b , c ∈ℝ
La première idée de résolution consiste à se ramener à un produit de
polynôme de degré 1.
a) Mise sous forme canonique
Soit P un polynôme de degré 2 a coefficients dans R tel que P (x) =
ax² + bx + c, a≠0 et a,b,c ϵ ℝ.
Il existe deux réels α et β tels que : P(x)=a((x- α) ² - β ).
Cette écriture est appelée la forme canonique.
Développement
Comme a est non nul, on peut tout d’abord factoriser par a :
P(x)=a(x²+
b
a
x+
c
a
)
d'où la forme canonique de P:
b
b²−4ac
) )²P(x)= a(x+ ( 2a
4a²
b)Discriminant
Def : Le discriminant de l'équation ax² + bx + c =0 est la valeur
∆=b²-4ac
Théorème :
On veut résoudre ax²+bx+c=0 ,
de l'équation
a≠b
et on note ∆ le discriminant
-Si ∆>0 l’ équation
́
admet deux solutions x1 et x2 données par les
formules suivantes :
√Δ
−b+ √ Δ
x1= −b−
et
x2=
2a
2a
-Si ∆=0 l'équation admet une racine double
x0= −b
2a
-Si ∆<0 l'équation admet deux racines distinctes complexes
conjuguées
√∣Δ∣
−b+ i √∣Δ∣
x1= −b−i
et
x2=
2a
2a
Développement
La forme canonique de P(x) est
b
) )²- Δ
P(x)= a(x+ ( 2a
4a²
Pour résoudre P(x)=0, on résout (A-B)(A+B)=0 avec A=x+
et B= x+
b− √Δ
2a
b+ √ Δ
2a
ainsi le nombre de solutions de P(x)=0 dépend du signe de
∆.
exemple1 : Résoudre
x²-4x+3=0
x²+x+1=0
d) résolution géométrique
La résolution géométrique fut la première utilisée par les grecs au
6e siècle avant JC. On peut citer cet exemple
Quelle est la longueur du coté d'un carré x qui associé à deux
rectangles adjacents d'aire 5x, forme une aire totale de 39 ?
La solution consiste à ajouter un carré de côté 5( figure), pour que
l'ensemble forme un grand carré( soit x²+10x+25=64)
On pourra détailler la résolution dans le développement.
voir géogébra
2)Equations à coefficient complexe
a)Résolution de l'équation z²=w
Soit z et w appartenant à ∈ℂ .
On veut résoudre z²=w :
Si w=0 l'équation z²=0 admet la solution z=0
Si w w≠0
-Si l'argument de w est facile à calculer
on pose z=r∗eix et w=ρ∗ei Θ on obtient z²=w⇔ r²∗e 2ix =ρei Θ ⇔
{
r² =ρ
2x=Θ+ 2k π
{
r= √ ρ
⇔ x= Θ
2
i∗Θ
2
i(¿ Θ +π)
2
avec z1=-z2
-Si l'argument de w est difficile à trouver on utilise la
méthode algébrique :
On pose z= x+iy, on a donc :
D'où les solutions
z²=w
∣z²∣=√ a² +b²
z 1=√ ρ∗e
⇔
et z 2= √ ρ∗e
{
x² − y²=a
2xy=b
x² + y² =√ a²+ b²
et on résout le système.
On obtient :
√
x= ( √
√
a² +b²+ a
a²+ b²−a
) et y= ( √
)
2
2
b) résolution de l'équation
az²+bz+c=0 où a,b,c sont trois
complexes donnés (a différent de zéro)
On calcule le discriminant ∆=b²-4ac. On sait qu'il existe deux
complexes γ et−γ tels que γ ²=Δ=b²−4ac et on a toujours deux solutions
à l'équation qui sont :
z 1=
−b−γ
−b+ γ
et z 2=
2a
2a
exemple :
Résoudre dans
ℂ
l'équation : z²+2(1+i)z-5(1+2i)=0
c)Relations entre coefficients et racines
Soit (E) l'équation du second degré : ax²+bx+c=0 avec a,b,c  ℂ, a
≠ 0 , et ∆ son discriminant.
Si ∆≠0 On dispose des deux relations suivantes :
Développement
Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles
soient distinctes ou doubles, on dispose de deux manières
différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle
réduite. On obtient si x1 et x2 sont les deux racines :
Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une
nouvelle expression de la forme réduite :
En identifiant les coefficients, on en déduit des relations entre les
coefficients de l'équation et ses solutions
RreRemarque :
Ces relations permettent ( si le discriminant est non nul) de
trouver rapidement la deuxième racine d'une équation du second
degré si on connait déjà la première.
exemple 2 : Résoudre
2x²-3x+1=0
3)Problèmes conduisant à la résolution d'une équation
du second degré
a)Périmètre et Aire
Un champ rectangulaire a pour périmètre 338m et pour aire 6328m²
Déterminer les dimensions du champ.
b)Déterminer 2 nombres entiers relatifs consécutifs
dont la somme des carrés est égale à 221.
c)
1)Résoudre : u²+u-1=0
2)En déduire les solutions z , 1≤i❑≤4 dans ℂ de :
(E) z⁴+z³+z²+z+1=0
3)Dans le plan complexe, quelle figure
géométrique forme les points d'affixes z , 1≤i≤4
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