DS 6 TS3 - Case des Maths

D EVOIR SURVEILLÉ N◦ VI : Exponentielle, probabilités
TS3
Vendredi 20 décembre 2013
Probabilités...
Exercice 1
Les résultats seront arrondis à 10−2 près.
On s’intéresse à la mise en bocal de carottes. L’étiquette indique une masse de 500 grammes.
On considère qu’un bocal est mal rempli s’il pèse moins de 485 grammes.
Partie A
Le service qualité est parvenu à ce que le pourcentage de bocaux mal remplis soit de 2%.
On teste un lot de 200 bocaux prélevés sur la production. (on considère qu’il s’agit de tirages avec remise indépendants).
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de bocaux mal remplis dans le lot.
1. Quelle loi suit Y ?
L’expérience qui consiste à tester un bocal est une épreuve de Bernoulli. On appelle S l’événement « Le bocal est mal
rempli ». Alors p(S) = 0,02. Les tests sont indépendants, donc constituent un schéma de Bernoulli.
Y suit donc la loi binomiale B(200; 0,02).
2. Donner l’espérance et l’écart-type de Y.
Théorème
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres npet p.
Pour tout 0 ≤ k ≤ n, P(X = k) = nk pk (1 − p)n−k . Et : E(X) = np et σ(X) = np(1 − p)
√
Ici n = 200 et p = 0,02, donc E(Y) = 200 × 0,02 = 4 et σ(Y) = 200 × 0,02 × 0,98 ≃ 1,98
E(Y) = 4 et σ(Y) ≃ 1,98
3. Calculer P(Y = 4).
Y suit donc la loi binomiale B(200,0,02) alors
p(Y = 4) =
!
200
(0,02)4 (0,98)196 ≃ 0,197
4
p(Y = 4) ≃ 0,197
Partie B
Les bocaux sont remplis sur deux chaînes de travail A et B.
La chaîne A fournit 80% des bocaux, la chaîne B le reste.
On sait que les bocaux produit par la chaîne A sont 1% à être mal remplis.
On note A l’événement « le bocal est produit par la chaîne A » et M l’événement « le bocal est mal rempli ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
0,01
A∩M
b
A
b
0,8
A∩M
b
0,99
b
0,2
A
x
A∩M
b
b
A∩M
2. On sait que P(M) = 0,02. Quelle est la probabilité qu’un bocal fourni par B soit mal rempli ?
1−x
M = (A ∩ M) ∪ A ∩ M .
b
La formule des probabilités totales donne p(M) = p (A ∩ M) + p A ∩ M = p(A) × pA (M) + p(A) × pA (M)
soit p(M) = 0,8 × 0,01 + 0,2 × x
p(M) = 0,02 ⇐⇒ 0,2x + 0,008 = 0,02 ⇐⇒ 0,2x = 0,012 ⇐⇒ x = 0,06
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la probabilité qu’un bocal fourni par B soit mal rempli est donc pA (M) = 0,06
Exercice 2
Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous
pour arriver à l’un des points D, E, F et G.
A
8
9
1
9
C (10 pts)
B (0 pt)
8
9
D (0 pt)X = 0
1
9
8
9
E (10 pts)X = 10
1
9
F (0 pt)X = 10
G (10 pts)X = 20
On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passé par un nœud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable
aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D,
E, F ou G.
1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
xi
pi
0
10
20
64
81
16
81
1
81
Par exemple p(X = 10) = p(BEou CF) = p(AB − BE) + p(AC − CF) =
8 1 1 8 16
× + × =
9 9 9 9 81
b) Calculer l’espérance de X.
3
X
64
16
1
180 20
E(X) =
p i xi = 0 ×
+ 10 ×
+ 20 ×
=
=
81
81
81
81
9
i=1
E(X) = 20
9 .
c) Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.
Si on note E : l’événement : « Le joueur a obtenu exactement 10 points. » et F : l’événement : « La bille a suivi la
branche AC. »
1×8
p(F ∩ E)
8 81 1
= 9 9 =
×
=
On veut calculer la probabilité conditionnelle p(F/E) =
16
p(E)
81 16 2
81
1
La probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points vaut .
2
2. Le joueur effectue n parties et on suppose que ces parties sont indépendantes. On considère qu’une partie est gagnée si
le joueur obtient 20 points à cette partie.
a) On suppose que n = 8. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties.
On donnera le résultat arrondi au millième.
L’expérience qui consiste à faire une partie est une épreuve de Bernoulli. On appelle S l’événement « Le joueur a
1
. Les parties sont indépendantes, donc constituent un schéma de Bernoulli.
gagné la partie. » Alors p(S) =
81
Si on note Y la variable aléatoire comptabilisant le nombres de partes gagnées, alors
1
Y suit donc la loi binomiale B 8;
.
81
On veut
8
p(Y = 2) =
2
!
1 4 80 6
≃ 0,004
81
81
p(Y = 2) ≃ 0,004
Lycée l’Oiselet
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b) On suppose que n est un entier naturel non nul.
80 )n Si on note Y la variable aléatoire
Montrer que la probabilité qu’il gagne au moins une partie est pn = 1 − ( 81
comptabilisant le nombres de partes gagnées, alors
1
Y suit donc la loi binomiale B n;
.
81
Si on note G l’événement : « il gagne au moins une partie . »
G = (Y ≥ 1) ainsi!G = (Y = 0)
n
n 1 0 80 n
80
Or p(Y = 0) =
=
.
0 81
81
81
n
80
Donc p(G) = p(Y ≥ 1) = 1 − p(Y = 0) = 1 −
81
c) Déterminer le nombre minimal n de parties à partir duquel la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure à 0,99. On cherche alors le plus petit entier n tel que p(G) ≥ 0,99
n
80
p(G)≥ 0,99 ⇐⇒ 1 −
≥ 0,99 (1)
81
n
80
(1) ⇐⇒
≤ 0,01
81
n !
80
≤ ln (0,01) (⋆)
(1) ⇐⇒ ln
81
80
≤ ln (0,01) (⋆⋆)
(1) ⇐⇒ n ln
81
ln (0,01)
(1) ⇐⇒ n ≥
(⋆ ⋆ ⋆)
80
ln
81
⋆ car ln est strictement croissante sur ]0; +∞[
⋆ ⋆ car ln(an ) = n ln a
80
80
< 1 et donc ln
<0
⋆ ⋆ ⋆ car
81
81
ln (0,01)
Comme
≈ 370,7
80
ln
81
Il faut jouer au moins 371 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,99.
Lycée l’Oiselet
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