DS 6 TS3 - Case des Maths

DEVOIR SURVEILLÉ N◦VI : Exponentielle, probabilités
TS3 Vendredi 20 décembre 2013
Probabilités...
Exercice 1
Les résultats seront arrondis à 10−2près.
On s’intéresse à la mise en bocal de carottes. L’étiquette indique une masse de 500 grammes.
On considère qu’un bocal est mal rempli s’il pèse moins de 485 grammes.
Partie A
Le service qualité est parvenu à ce que le pourcentage de bocaux mal remplis soit de 2%.
On teste un lot de 200 bocaux prélevés sur la production. (on considère qu’il s’agit de tirages avec remise indépendants).
On note Yla variable aléatoire égale au nombre de bocaux mal remplis dans le lot.
1. Quelle loi suit Y?
L’expérience qui consiste à tester un bocal est une épreuve de Bernoulli. On appelle Sl’événement « Le bocal est mal
rempli ». Alors p(S) = 0,02. Les tests sont indépendants, donc constituent un schéma de Bernoulli.
Ysuit donc la loi binomiale B(200;0,02).
2. Donner l’espérance et l’écart-type de Y.
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres net p.
Pour tout 0≤k≤n, P(X = k) = n
kpk(1 −p)n−k. Et : E(X) = np et σ(X) = pnp(1 −p)
Théorème
Ici n= 200 et p= 0,02, donc E(Y) = 200 ×0,02 = 4 et σ(Y) = √200 ×0,02 ×0,98 ≃1,98
E(Y) = 4 et σ(Y) ≃1,98
3. Calculer P(Y = 4).
Ysuit donc la loi binomiale B(200,0,02) alors
p(Y = 4) = 200
4!(0,02)4(0,98)196 ≃0,197
p(Y = 4) ≃0,197
Partie B
Les bocaux sont remplis sur deux chaînes de travail Aet B.
La chaîne Afournit 80% des bocaux, la chaîne Ble reste.
On sait que les bocaux produit par la chaîne Asont 1% à être mal remplis.
On note Al’événement « le bocal est produit par la chaîne A» et Ml’événement « le bocal est mal rempli ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
A
0,8
A∩M
0,01
A∩M
0,99
A
0,2
A∩M
x
A∩M
1−x
2. On sait que P(M) = 0,02. Quelle est la probabilité qu’un bocal fourni par Bsoit mal rempli ?
M = (A ∩M) ∪A∩M.
La formule des probabilités totales donne p(M) = p(A ∩M) + pA∩M=p(A) ×pA(M) + p(A) ×pA(M)
soit p(M) = 0,8×0,01 + 0,2×x
p(M) = 0,02 ⇐⇒ 0,2x+ 0,008 = 0,02 ⇐⇒ 0,2x= 0,012 ⇐⇒ x= 0,06

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la probabilité qu’un bocal fourni par Bsoit mal rempli est donc pA(M) = 0,06
Exercice 2
Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous
pour arriver à l’un des points D, E, F et G.
A
B (0 pt)
8
9
D (0 pt)X = 0
8
9
E (10 pts)X = 10
1
9
C (10 pts)
1
9
F (0 pt)X = 10
8
9
G (10 pts)X = 20
1
9
On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passé par un nœud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable
aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D,
E, F ou G.
1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
xi0 10 20
pi64
81 16 81 1 81
Par exemple p(X = 10) = p(BEou CF) = p(AB −BE) + p(AC −CF) = 8
9×1 9+1 9×8 9=16 81
b) Calculer l’espérance de X.
E(X) =
3
X
i=1
pixi= 0 ×64
81 + 10 ×16 81 + 20 ×1 81 =180 81 =20 9
E(X) = 20
9.
c) Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.
Si on note E: l’événement : « Le joueur a obtenu exactement 10 points. » et F: l’événement : « La bille a suivi la
branche AC. »
On veut calculer la probabilité conditionnelle p(F/E) = p(F ∩E)
p(E) =
1
9×8 9
16
81
=8
81 ×81 16 =1 2
La probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points vaut 1
2.
2. Le joueur effectue nparties et on suppose que ces parties sont indépendantes. On considère qu’une partie est gagnée si
le joueur obtient 20 points à cette partie.
a) On suppose que n= 8. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties.
On donnera le résultat arrondi au millième.
L’expérience qui consiste à faire une partie est une épreuve de Bernoulli. On appelle Sl’événement « Le joueur a
gagné la partie. » Alors p(S) = 1
81 . Les parties sont indépendantes, donc constituent un schéma de Bernoulli.
Si on note Yla variable aléatoire comptabilisant le nombres de partes gagnées, alors
Ysuit donc la loi binomiale B8; 1
81 .
On veut
p(Y = 2) = 8
2!1
81 480 81 6
≃0,004
p(Y = 2) ≃0,004
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b) On suppose que nest un entier naturel non nul.
Montrer que la probabilité qu’il gagne au moins une partie est pn= 1 −(80
81 )nSi on note Yla variable aléatoire
comptabilisant le nombres de partes gagnées, alors
Ysuit donc la loi binomiale Bn;1
81 .
Si on note Gl’événement : « il gagne au moins une partie . »
G = (Y ≥1) ainsi G = (Y = 0)
Or p(Y = 0) = n
0!1
81 080 81 n
=80
81 n.
Donc p(G) = p(Y ≥1) = 1 −p(Y = 0) = 1 −80
81 n
c) Déterminer le nombre minimal nde parties à partir duquel la probabilité de gagner au moins une partie est supé-
rieure à 0,99. On cherche alors le plus petit entier ntel que p(G) ≥0,99
p(G)≥0,99 ⇐⇒ 1−80
81 n
≥0,99 (1)
(1) ⇐⇒ 80
81 n
≤0,01
(1) ⇐⇒ ln 80
81 n!≤ln(0,01)(⋆)
(1) ⇐⇒ nln80
81 ≤ln(0,01)(⋆⋆)
(1) ⇐⇒ n≥ln(0,01)
ln80
81 (⋆⋆⋆)
⋆car ln est strictement croissante sur ]0;+∞[
⋆ ⋆ car ln(an) = nlna
⋆⋆⋆car 80
81 <1et donc ln80 81 <0
Comme ln(0,01)
ln80
81 ≈370,7
Il faut jouer au moins 371 parties pour que la probabilité de gagner au moins une partie soit supérieure à 0,99.
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