t( ) - ambition

Terminale S
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Ch.17
I. Rappels„définitions et formules
Définition
! !
Le plan est muni d'un repère O ; i ; j .
(
)
À tout nombre t , on associe un point unique M du cercle trigonométrique
de centre O. Le point M a pour coordonnées ( cos ( t ) ; sin ( t ) )
● la fonction qui à tout nombre t , associe le nombre cos (t ) est appelée
fonction cosinus :
cos : t ! cos t
()
● la fonction qui à tout nombre t , associe le nombre sin (t ) est appelée fonction sinus :
sin : t ! sin ( t )
Remarques
● les fonctions sinus et cosinus sont définies sur ! .
● Pour tout nombre t , −1 ≤ cos (t ) ≤ 1 ; −1 ≤ sin (t ) ≤ 1 ; cos 2 t + sin 2 t = 1
Formulaire
„ Valeurs particulières
π
π
π
π
6
4
3
2
0
1
2
2
2
3
2
1
0
1
3
2
2
2
1
2
0
−1
t
0
sin (t )
cos (t )
π
„ Cosinus et sinus d'angles associés
Pour tout nombre réel t , on a :
sin ( −t ) = sin ( t )
sin ( t + π ) = − sin ( t )
sin (π − t ) = sin ( t )
et
et
et
cos ( −t ) = − cos ( t )
cos ( t + π ) = − cos ( t )
„ Formules d'addition
cos ( a + b ) = cos a ⋅ cos b − sin a ⋅ sin b
cos ( a − b ) = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b
sin ( a + b ) = sin a ⋅ cos b + sin b ⋅ cos a
sin ( a − b ) = sin a ⋅ cos b − sin b ⋅ cos a
cos (π − t ) = − cos ( t )
„ Formules de duplication
sin 2a = 2sin a ⋅ cos a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
cos 2a = 2cos 2 a − 1
cos 2a = 1 − 2sin 2 a
II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus
⎛π
⎞
sin ⎜ − t ⎟ = cos ( t )
2
⎝
⎠
et
⎛π
⎞
cos ⎜ − t ⎟ = sin ( t )
⎝2 ⎠
„ Formules de linéarisation
1 − cos 2a
2
1 + cos 2a
cos 2 a =
2
sin 2 a =
Étude de la parité
● Pour tout nombre t , cos ( −t ) = cos (t ) : la fonction cosinus est paire ;
● Pour tout nombre t , sin ( −t ) = − sin (t ) : la fonction sinus est impaire.
Interprétation graphique
● la courbe représentative de la fonction cosinus est
!
symétrique par rapport à l'axe O ; j
(
)
● la courbe représentative de la fonction sinus est
symétrique par rapport à l'origine O
Périodicité
Pour tout nombre t , cos (t + 2π ) = cos (t ) et sin (t + 2π ) = sin (t )
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2π .
Conséquence graphique
!!!!"
"
Les points M ( t ; cos ( t ) ) et M' ( t + 2π ; cos ( t + 2π ) ) sont tels que MM ′ = 2π i .
!!!!"
"
De même, les points N ( t ; sin ( t ) ) et N' ( t + 2π ; sin ( t + 2π ) ) sont tels que NN ′ = 2π i
Il suffit donc d'étudier les fonctions sinus et cosinus sur l' intervalle [−π ; π ] . On obtient les courbes sur ! par
!
translation de vecteur 2kπ i , k ∈! .
III. Étude des fonctions cosinus et sinus
Dérivées
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ! et pour tout nombre t :
cos′ (t ) = − sin (t ) et sin′ (t ) = cos (t )
Étude des variations et représentation graphique: fonction cosinus
● signe de cos′ (t ) = − sin (t ) :
sin (t ) ≥ 0 pour 0 ≤ t ≤ π . On en déduit que cos′ (t ) ≤ 0 pour 0 ≤ t ≤ π et cos′ (t ) > 0 pour −π < t < 0
t
cos′ (t ) = − sin (t )
−π
0
+
0
−
π
()
1
t ! cos t
-1
-1
Étude des variations et représentation graphique: fonction sinus
● signe de sin′ (t ) = cos (t ) :
cos (t ) ≥ 0 pour −
π
2
≤t ≤
π
2
.
π ⎡ ⎤π
⎡ π π⎤
⎡
⎤
On en déduit que sin′ (t ) ≥ 0 pour t ∈ ⎢ − ; ⎥ et sin′ (t ) < 0 pour t ∈ ⎢ −π ; − ⎢ U ⎥ ; π ⎥
2
2
2
2
⎣
⎦
⎣
⎣ ⎦
⎦
−π
t
cos′ (t ) = − sin (t )
()
t ! cos t
π
π
2
0
2
0
−
−
+
π
−
1
0
-1
0
IV. Application : résolution d’une inéquation
● deux points d'un cercle trigonométrique d'abscisse
cos ( a ) (avec a ≠ kπ ) définissent deux arcs représentant
les solutions de cos (t ) ≥ cos ( a ) et cos (t ) ≤ cos ( a )
● deux points d'un cercle trigonométrique d'ordonnée
sin ( a ) (avec a ≠
π
+ kπ ) définissent deux arcs
2
représentant les solutions de sin (t ) ≥ sin ( a ) et
sin (t ) ≤ sin ( a )
π⎞ 1
⎛
Énoncé„ résoudre dans [0 ; 2π [ , l'inéquation cos ⎜ 2t + ⎟ ≥ et tracer les solutions sur le cercle trigonométrique
6⎠ 2
⎝