t( ) - ambition

Terminale S
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Ch.17
I. Rappels!définitions et formules
Définition
Le plan est muni d'un repère
O;
!
i;
!
j
( )
.
À tout nombre
t
, on associe un point unique M du cercle trigonométrique
de centre O. Le point M a pour coordonnées
( ) ( )
( )
cos ; sintt
● la fonction qui à tout nombre
t
, associe le nombre
( )
cos t
est appelée
fonction cosinus :
cos
:
t!cos t
( )
● la fonction qui à tout nombre
t
, associe le nombre
( )
sin t
est appelée fonction sinus :
sin
:
t!sin t
( )
Remarques
● les fonctions sinus et cosinus sont définies sur
!
.
● Pour tout nombre
t
,
( )
cos11t−≤ ≤
;
( )
sin11t−≤ ≤
;
cos sin
22
1tt+=
Formulaire
! Valeurs particulières
! Cosinus et sinus d'angles associés
Pour tout nombre réel
t
, on a :
( ) ( )
( ) ( )
sin sin
cos cos
tt
et
tt
−=
−=−
( ) ( )
( ) ( )
sin sin
cos cos
tt
et
tt
π
π
+=−
+=−
( ) ( )
( ) ( )
sin sin
cos cos
tt
et
tt
π
π
−=
−=−
( )
( )
sin cos
2
cos sin
2
tt
et
tt
π
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
! Formules d'addition ! Formules de duplication ! Formules de linéarisation
( )
( )
( )
( )
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos sin cos
sin sin cos sin cos
ab a b a b
ab a b a b
ab a b b a
ab a b b a
+= ⋅ − ⋅
−=⋅+⋅
+= ⋅+⋅
−=⋅ − ⋅
22
2
2
sin 2 2sin cos
cos 2 cos sin
cos 2 2 cos 1
cos 2 1 2sin
aaa
aaa
aa
aa
=⋅
=−
=−
=−
2
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
a
a
a
a
−
=
+
=
II. Propriétés des fonctions sinus et cosinus
t
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
( )
sin t
0
1
2
2
2
3
2
1
0
( )
cos t
1
3
2
2
2
1
2
0
1−

Étude de la parité
● Pour tout nombre
t
,
( ) ( )
cos costt−=
: la fonction cosinus est paire ;
● Pour tout nombre
t
,
( ) ( )
sin sintt−=−
: la fonction sinus est impaire.
Interprétation graphique
● la courbe représentative de la fonction cosinus est
symétrique par rapport à l'axe
O;
!
j
( )
● la courbe représentative de la fonction sinus est
symétrique par rapport à l'origine
O
Périodicité
Pour tout nombre
t
,
( ) ( )
cos cos2tt π +=
et
( ) ( )
sin sin2tt π +=
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période
2 π
.
Conséquence graphique
Les points M
( )
( )
; costt
et M'
( )
( )
; cos22tt ππ ++
sont tels que
M′ M
! "!!!
=2 π
"
i
.
De même, les points N
( )
( )
; sintt
et N'
( )
( )
; sin22tt ππ ++
sont tels que
N′ N
! "!!!
=2 π
"
i
Il suffit donc d'étudier les fonctions sinus et cosinus sur l' intervalle
[ ]
; ππ −
. On obtient les courbes sur
!
par
translation de vecteur
2k π
!
i
,
k∈!
.
III. Étude des fonctions cosinus et sinus
Dérivées
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur
!
et pour tout nombre
t
:
( ) ( )
cos sintt
′=−
et
( ) ( )
sin costt
′=
Étude des variations et représentation graphique: fonction cosinus
● signe de
( ) ( )
cos sintt
′=−
:
( )
sin 0t≥
pour
0t π ≤≤
. On en déduit que
( )
cos 0t
′≤
pour
0t π ≤≤
et
( )
cos 0t
′>
pour
0t π −<<
t
π −
0
π
( ) ( )
cos sintt
′=−
+
0
−

t!cos t
( )
Étude des variations et représentation graphique: fonction sinus
● signe de
( ) ( )
sin costt
′=
:
( )
cos 0t≥
pour
22
t
ππ
−≤≤
.
On en déduit que
( )
sin 0t
′≥
pour
;
22
t
ππ
⎡⎤
∈−
⎢⎥
⎣⎦
et
( )
sin 0t
′<
pour
;;
22
t
ππ
ππ
⎡⎡⎤⎤
∈− −
⎢⎢⎥⎥
⎣⎣⎦⎦
U
t
π −
2
π
−
2
π
π
( ) ( )
cos sintt
′=−
−
0
+
0
−
t!cos t
( )
IV. Application : résolution d’une inéquation
● deux points d'un cercle trigonométrique d'abscisse
( )
cos a
(avec
ak π ≠
) définissent deux arcs représentant
les solutions de
( ) ( )
cos costa≥
et
( ) ( )
cos costa≤
● deux points d'un cercle trigonométrique d'ordonnée
( )
sin a
(avec
2
ak
ππ
≠+
) définissent deux arcs
représentant les solutions de
( ) ( )
sin sinta≥
et
( ) ( )
sin sinta≤
Énoncé! résoudre dans
[ [
;02 π
, l'inéquation
cos 1 2
62
t
π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎝⎠
et tracer les solutions sur le cercle trigonométrique
-1
1
-1
0
-1
1
0