DM n°1 - No Math Error à Mourenx

Nom :
Classe : 2nde 1
A rendre pour le : 03 / 11 / 16
Devoir maison n°1
Raisonnement par l'absurde
p
et irrationalité de 2
Note :
… / 10
Avis de l’élève
Je sais :
Mettre en forme un raisonnement.
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de
Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires.
Oui
p
Non
Avis du
professeur
Oui
Non
2.
Définitions :
• Un nombre n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k .
• Un nombre n est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
n2 = (………)2 = … + … + … = 2 (………) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre …………
p
Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
p
Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel.
p
p
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la
p
fraction q est ……………
2) a) Démontrer que p2 = 2q 2 .
b) Que peut-on en déduire sur p2 ?
c) Nous allons montrer que p est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde).
Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur p .
3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 .
a) Démontre que q 2 = 2k02 .
c) Que peut-on en déduire sur q 2 puis sur q ?
4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
Nom :
Classe : 2nde 1
le : 03 / 11 / 16
Devoir maison n°1 – Test
Raisonnement par l'absurde
p
et irrationalité de 2
Note :
… / 10
Avis de l’élève
Je sais :
Mettre en forme un raisonnement.
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de
Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires.
Oui
p
Non
Avis du
professeur
Oui
Non
2.
Définitions :
• Un nombre n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k .
• Un nombre n est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
n2 = (………)2 = … + … + … = 2 (………) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre …………
p
Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
p
Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel.
p
p
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la
p
fraction q est ……………
2) b) En supposant démontré que p2 = 2q 2 , que peut-on en déduire sur p2 ?
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c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur p .
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3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 .
a) Démontre que q 2 = 2k02 .
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4) Les questions 2 et 3 ont permis de déduire que p et q étaient tous deux des nombres pairs.
En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
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Correction du DM n°1
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre impair.
p
Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
p
Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel.
p
p
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
p
PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul diviseur commun des entiers p et q , autrement dit que la fraction q
est irréductible.
2) a) Démontrer que p2 = 2q 2 .
p
p
p
En supposant que 2 soit un nombre rationnel, il peut s'écrire sous la forme : 2 = q
p
Dans ce cas, en utilisant le produit en croix, on obtient : p = 2q
p
En élevant au carré chaque membre de cette égalité, on obtient : p2 = ( 2q )2 = 2q 2
b) Que peut-on en déduire sur p2 ?
Si p2 = 2q 2 alors il existe un entier k = q 2 tel que p2 = 2k . On en déduit que p2 est un nombre pair.
c) Nous allons montrer que p est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde).
Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur p .
D'après la démonstration préliminaire, le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair.
Ainsi, si p était un nombre impair alors p2 serait lui aussi un nombre impair.
Or, on a montré à la question précédente que p2 était un nombre pair.
Il est donc absurde de supposer que p puisse être un nombre impair.
On peut donc en conclure que p est nécessairement un nombre pair.
3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 .
a) Démontre que q 2 = 2k02 .
On sait que p2 = 2q 2 et qu'il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 .
On en déduit : (2k 0 )2 = 2q 2
4k 02 = 2q 2
En divisant par 2 chaque membre de l'égalité, on obtient : 2k02 = q 2
Ainsi : q 2 = 2k02 .
c) Que peut-on en déduire sur q 2 puis sur q ?
Puisqu'il existe un entier k 0 tel que q 2 = 2k02 alors q 2 est un nombre pair et par conséquent q aussi.
4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
p
L'hypothèse depdépart était de supposer que 2 était un nombre rationnel et qu'il existait deux entiers
p
p et q tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1. Or, on vient de montrer que si tel était le cas, alors p et
q seraient nécessairement tous les deux des nombres pairs. Autrement dit, p et q seraient tous les
deux divisibles par 2. C'est absurde car en contradiction avec
p l'hypothèse de départ : PGCD( p , q ) = 1.
Ainsi, l'hypothèse de départ est fausse. On en déduit que 2 est forcément un nombre irrationnel.