Nom : Classe : 2nde 1 A rendre pour le : 03 / 11 / 16 Devoir maison n°1 Raisonnement par l'absurde p et irrationalité de 2 Note : … / 10 Avis de l’élève Je sais : Mettre en forme un raisonnement. L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires. Oui p Non Avis du professeur Oui Non 2. Définitions : • Un nombre n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k . • Un nombre n est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1. 1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante. Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que ………… n2 = (………)2 = … + … + … = 2 (………) + 1 On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre ………… p Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde. Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et remettre en cause l'hypothèse de départ. p Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel. p p Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1. Complète ce rappel de la classe de 3ème : PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la p fraction q est …………… 2) a) Démontrer que p2 = 2q 2 . b) Que peut-on en déduire sur p2 ? c) Nous allons montrer que p est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde). Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité. Que peut-on alors en conclure sur p . 3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 . a) Démontre que q 2 = 2k02 . c) Que peut-on en déduire sur q 2 puis sur q ? 4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure. Nom : Classe : 2nde 1 le : 03 / 11 / 16 Devoir maison n°1 – Test Raisonnement par l'absurde p et irrationalité de 2 Note : … / 10 Avis de l’élève Je sais : Mettre en forme un raisonnement. L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires. Oui p Non Avis du professeur Oui Non 2. Définitions : • Un nombre n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k . • Un nombre n est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1. 1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante. Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que ………… n2 = (………)2 = … + … + … = 2 (………) + 1 On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre ………… p Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde. Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et remettre en cause l'hypothèse de départ. p Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel. p p Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1. Complète ce rappel de la classe de 3ème : PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la p fraction q est …………… 2) b) En supposant démontré que p2 = 2q 2 , que peut-on en déduire sur p2 ? …………………………………………………………………………………………………………………… c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité. Que peut-on alors en conclure sur p . …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 . a) Démontre que q 2 = 2k02 . …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… 4) Les questions 2 et 3 ont permis de déduire que p et q étaient tous deux des nombres pairs. En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure. …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… Correction du DM n°1 1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante. Soit n un nombre entier impair. Alors, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1 On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre impair. p Pour démontrer que 2 est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde. Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et remettre en cause l'hypothèse de départ. p Hypothèse de départ : Supposons que 2 soit un nombre rationnel. p p Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1. Complète ce rappel de la classe de 3ème : p PGCD( p , q ) = 1 signifie que 1 est le seul diviseur commun des entiers p et q , autrement dit que la fraction q est irréductible. 2) a) Démontrer que p2 = 2q 2 . p p p En supposant que 2 soit un nombre rationnel, il peut s'écrire sous la forme : 2 = q p Dans ce cas, en utilisant le produit en croix, on obtient : p = 2q p En élevant au carré chaque membre de cette égalité, on obtient : p2 = ( 2q )2 = 2q 2 b) Que peut-on en déduire sur p2 ? Si p2 = 2q 2 alors il existe un entier k = q 2 tel que p2 = 2k . On en déduit que p2 est un nombre pair. c) Nous allons montrer que p est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde). Expliquer pourquoi le fait de supposer que p est un nombre impair conduit à une absurdité. Que peut-on alors en conclure sur p . D'après la démonstration préliminaire, le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair. Ainsi, si p était un nombre impair alors p2 serait lui aussi un nombre impair. Or, on a montré à la question précédente que p2 était un nombre pair. Il est donc absurde de supposer que p puisse être un nombre impair. On peut donc en conclure que p est nécessairement un nombre pair. 3) On rappelle que p2 = 2q 2 . p étant un nombre pair, il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 . a) Démontre que q 2 = 2k02 . On sait que p2 = 2q 2 et qu'il existe un entier k 0 tel que p = 2k 0 . On en déduit : (2k 0 )2 = 2q 2 4k 02 = 2q 2 En divisant par 2 chaque membre de l'égalité, on obtient : 2k02 = q 2 Ainsi : q 2 = 2k02 . c) Que peut-on en déduire sur q 2 puis sur q ? Puisqu'il existe un entier k 0 tel que q 2 = 2k02 alors q 2 est un nombre pair et par conséquent q aussi. 4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure. p L'hypothèse depdépart était de supposer que 2 était un nombre rationnel et qu'il existait deux entiers p p et q tels que 2 = q avec PGCD( p , q ) = 1. Or, on vient de montrer que si tel était le cas, alors p et q seraient nécessairement tous les deux des nombres pairs. Autrement dit, p et q seraient tous les deux divisibles par 2. C'est absurde car en contradiction avec p l'hypothèse de départ : PGCD( p , q ) = 1. Ainsi, l'hypothèse de départ est fausse. On en déduit que 2 est forcément un nombre irrationnel.