DM n°1 - No Math Error à Mourenx

Nom :
Classe : 2nde 1
A rendre pour le : 03 / 11 / 16
Devoir maison n°1
Raisonnement par l'absurde
et irrationalité de
Note :
… / 10
Avis de l’élève Avis du
professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Mettre en forme un raisonnement.
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de .
Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires.
Définitions :
•Un nombre est pair s'il existe un entier tel que = .
•Un nombre est impair s'il existe un entier tel que = .
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
= (………) = … + … + … = 2 (………) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre …………
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = avec PGCD( , ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
PGCD( , ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la
fraction est ……………
2) a) Démontrer que = .
b) Que peut-on en déduire sur ?
c) Nous allons montrer que est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde).
Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
3) On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = .
a) Démontre que = .
c) Que peut-on en déduire sur puis sur ?
4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
p2
k
n
n
2k
n
k
n
2k+ 1
p2
p2
p2
p2
p
p
q
q
q
p
q
p
q
p
q
p
2
2q
2
p
2
p
n
n
2
2
p
p
k
0
2k
0
q
2
2k
02
q
2
q
p
2
2q
2
p
p

Nom :
Classe : 2nde 1
le : 03 / 11 / 16
Devoir maison n°1 – Test
Raisonnement par l'absurde
et irrationalité de
Note :
… / 10
Avis de l’élève Avis du
professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Mettre en forme un raisonnement.
L'objectif de ce devoir maison est de démontrer l’irrationalité de .
Pour cela, les définitions suivantes seront nécessaires.
Définitions :
•Un nombre est pair s'il existe un entier tel que = .
•Un nombre est impair s'il existe un entier tel que = .
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier … tel que …………
= (………) = … + … + … = 2 (………) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre …………
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = avec PGCD( , ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
PGCD( , ) = 1 signifie que 1 est le seul …………… commun des entiers … et …, autrement dit que la
fraction est ……………
2) b) En supposant démontré que = , que peut-on en déduire sur ?
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c) Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
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3) On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = .
a) Démontre que = .
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4) Les questions 2 et 3 ont permis de déduire que et étaient tous deux des nombres pairs.
En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
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p2
p2
n
k
n
2k
n
k
n
2k+ 1
n
n
2
2
p2
p2
p
q
q
p2
p
q
p
q
p
q
p
q
p
2
2q
2
p
p
p
2
2q
2
p
k
0
p
2k
0
q
2
2k
02
p
2
p
q

Correction du DM n°1
1) Démonstration préliminaire : Compléter la démonstration suivante.
Soit un nombre entier impair. Alors, il existe un entier tel que = .
= ( ) = + + 1 = 2 ( ) + 1
On en déduit que le carré d'un nombre impair toujours un nombre impair.
Pour démontrer que est irrationnel nous allons effectuer ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Cela consiste à supposer le contraire de ce que l'on veut prouver pour aboutir à une absurdité et
remettre en cause l'hypothèse de départ.
Hypothèse de départ : Supposons que soit un nombre rationnel.
Cela revient à supposer qu'il existe deux entiers et (avec ≠ 0) tels que = avec PGCD( , ) = 1.
Complète ce rappel de la classe de 3ème :
PGCD( , ) = 1 signifie que 1 est le seul diviseur commun des entiers et , autrement dit que la fraction
est irréductible.
2) a) Démontrer que = .
En supposant que soit un nombre rationnel, il peut s'écrire sous la forme : =
Dans ce cas, en utilisant le produit en croix, on obtient : =
En élevant au carré chaque membre de cette égalité, on obtient : = ( ) =
b) Que peut-on en déduire sur ?
Si = alors il existe un entier = tel que = . On en déduit que est un nombre pair.
c) Nous allons montrer que est pair en supposant le contraire (raisonnement par l'absurde).
Expliquer pourquoi le fait de supposer que est un nombre impair conduit à une absurdité.
Que peut-on alors en conclure sur .
D'après la démonstration préliminaire, le carré d'un nombre impair est toujours un nombre impair.
Ainsi, si était un nombre impair alors serait lui aussi un nombre impair.
Or, on a montré à la question précédente que était un nombre pair.
Il est donc absurde de supposer que puisse être un nombre impair.
On peut donc en conclure que est nécessairement un nombre pair.
3) On rappelle que = . étant un nombre pair, il existe un entier tel que = .
a) Démontre que = .
On sait que = et qu'il existe un entier tel que = .
On en déduit : ( ) =
=
En divisant par 2 chaque membre de l'égalité, on obtient : =
Ainsi : = .
c) Que peut-on en déduire sur puis sur ?
Puisqu'il existe un entier tel que = alors est un nombre pair et par conséquent aussi.
4) En quoi aboutit-on à une absurdité ? Conclure.
L'hypothèse de départ était de supposer que était un nombre rationnel et qu'il existait deux entiers
et tels que = avec PGCD( , ) = 1. Or, on vient de montrer que si tel était le cas, alors et
seraient nécessairement tous les deux des nombres pairs. Autrement dit, et seraient tous les
deux divisibles par 2. C'est absurde car en contradiction avec l'hypothèse de départ : PGCD( , ) = 1.
Ainsi, l'hypothèse de départ est fausse. On en déduit que est forcément un nombre irrationnel.
n
n
2
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p2
p2
p
q
q
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p
q
p
q
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2
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k
0
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2k
0
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02
q
2
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2k+ 1
2k+ 1
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4k
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q
p2
p2
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p
p
2
p
2
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p
p
2
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k
0
p
2k
0
2q
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4k
02
2q
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q
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02
q
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q
p2
p2
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p
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