Page 1/12 MT25 - ch5 Séries numériques, séries de Fourier I Généralités sur les séries Dans ce paragraphe, u = (un )n∈N désigne une suite de nombres réels. I.1 Série associée à une suite Dénition 1 On appelle série de terme général un , et on note par X un , la suite (Sn )n∈N dénie Sn = Sn s'appelle la somme partielle de rang n de la série X un . On dit que la série un converge ssi la suite (Sn )n∈N est convergente. La limite de cette suite est alors appelée somme de la série de terme général un et on la note X Si la série ne converge pas, on dit qu'elle diverge. Si la série X un converge on appelle Rn = +∞ X uk − k=0 reste d'ordre n le réel : n X uk = X k=0 Déterminer la nature d'une série signie qu'il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. Exemple : une somme télescopique. On pose ∀ n ∈ N∗ , u n = 1 = n(n + 1) I.2 Condition nécessaire de convergence Proposition 1 Pour que la série X un converge, il faut que la suite (un )n∈N . . . . . . Page 2/12 MT25 - ch5 Application : Cette propriété est très utile pour prouver qu'une série diverge. Lorsque le terme général de la série ne converge pas vers 0, on dit que la série associée diverge grossièrement. La réciproque de cette propriété est fausse. Ce n'est pas parce que le terme général tend vers 0 que la série associée converge : I.3 Quelques propriétés générales Proposition 2 (opérations sur les séries) Soit X un et X vn deux séries. (i) Pour tout réel λ 6= 0, les séries convergent, on a : X +∞ X λun et X un sont de même nature et si les séries λun = n=0 (ii) Si les deux séries convergente et : X un et X vn sont convergentes alors la série X (un + vn ) est Attention la réciproque de la deuxième propriété est fausse, on doit s'assurer de la convergence de toutes les séries avant d'écrire +∞ +∞ +∞ X X X (un + vn ) = un + vn . n=0 • On remarque que n X (uk − uk−1 ) = n=0 n=0 , on donc peut en déduire la propriété suivante k=1 Proposition 3 (lien entre suite et série) La suite u est convergente ssi la série de terme général un − un−1 converge. En cas de convergence, on a : +∞ X (un − un−1 ) = lim n=1 Preuve : • ⇒ Supposons que la suite u converge. La somme partielle de rang n de la série de terme Page 3/12 MT25 - ch5 général un − un−1 est une somme télescopique et on a : Sn = n X (uk − uk−1 ) = un − u0 (1) k=1 Comme la suite u converge, on voit que la suite des sommes partielles converge et on a bien l'égalité demandée. • ⇐ La relation (1) étant toujours vraie on voit que si la série converge alors la suite u converge et on a bien l'égalité demandée. I.4 Lien série-intégrale Proposition 4 Soit a ∈ N. Si f est une fonction continue, positive et décroissante sur l'intervalle [a , +∞[ et si on pose pour tout entier k > a, uk = f (k), alors pour tout entier n > a, 6 n X uk 6 k=a Cet encadrement peut donner la limite ou même un équivalent de la suite des sommes partielles (à condition de savoir calculer les intégrales en jeu dans cet encadrement). Preuve : comme la fonction f est décroissante sur [a , +∞[, on a : Page 4/12 MT25 - ch5 II Séries de référence II.1 Série géométrique et sa dérivée Proposition 5 Soit q ∈ R. La série q n s'appelle la série géométrique de raison q . Cette série est convergente si, et seulement si, et on a alors : X +∞ X qn = n=0 La série n q n−1 s'appelle la série dérivée de la série géométrique de raison q. Cette série converge si, et seulement si, |q| < 1 et on a alors : X +∞ X n q n−1 = n=1 Preuve : supposons |q| < 1. On sait que n X qk = k=0 Or, comme |q| < 1, on a lim q n+1 = 0 donc les sommes partielles convergent vers n→+∞ est convergente et sa somme vaut 1 . 1−q II.2 Séries de Riemann Théorème 6 Soit α un réel. La série X 1 converge ssi nα Ces séries sont appelées les séries de Riemann. 1 et donc la série 1−q Page 5/12 MT25 - ch5 Preuve : on suppose que α > 0. II.3 Série exponentielle Théorème 7 Pour tout réel x, la série X xn n! converge et on a : +∞ n X x n=0 n! = Cette série est appelée série exponentielle. III Critères de convergence pour les séries à termes positifs Dans toute cette partie, u = (un )n∈N désigne une suite de nombres réels positifs, c'est-à-dire que pour tout n ∈ N, un > 0. III.1 Monotonie de la suite des sommes partielles La suite (Sn ) des sommes partielles est une suite croissante car ∀ n ∈ N∗ , Sn − Sn−1 = un > 0. Théorème 8 Une série partielles est . . . X un à termes réels positifs est convergente ssi la suite (Sn ) de ses sommes Page 6/12 MT25 - ch5 III.2 Critères de comparaison Proposition 9 Soit X un et X vn deux séries telles que Si la série X Si la série X Corollaire : soit ∀ n ∈ N, 0 6 un 6 vn . vn converge alors diverge alors vn deux séries à termes positifs telles que un X - Si la série vn converge alors un . . . X X - Si la série un diverge alors vn . . . X un et X = (n−→+∞) o(vn ). X Théorème 10 Soit vn deux séries à termes positifs telles que un X X Alors les séries un et vn sont de même nature. Preuve : X un et X on suppose que un ∼ (n−→+∞) ∼ (n−→+∞) vn . vn . Alors il existe Pour utiliser ces critères, il faut vérier que la suite est bien à termes positifs. L'idée est ensuite de se ramener par équivalent, négligeabilité ou inégalité à des séries de références, le plus souvent à une série géométrique ou une série de Riemann. Page 7/12 MT25 - ch5 Exemple 1 : déterminer la nature de la série de terme général un = n 1 exp −1 n III.3 Règle de d'Alembert Proposition 11 Soit X un une série à termes strictement positifs (∀ n ∈ N, un > 0). Soit ` = lim n→+∞ un+1 , un ` ∈ R+ ∪ {+∞} . Si ` > 1, alors la série de terme général un diverge. . Si ` < 1, alors la série Preuve : X un converge. supposons ` < 1 et choisissons un réel q tel que ` < q < 1. Exemple : étudier la nature de la série X n! . nn Page 8/12 MT25 - ch5 IV L'espace préhilbertien IV.1 Norme et produit scalaire CT (R) Dénition 2 Soit f ∈ F(R, R) et T ∈ R+∗ . On dit que f est une fonction T −périodique ssi On note CT (R) l'ensemble des fonctions R −→ R, continues sur R et T -périodiques. Soit f : R −→ R une fonction. On dit que f est continue par morceaux sur R ssi la restriction de f à tout segment de R est Proposition 12 1 L'espace CT (R) muni de l'application ϕ : (f, g) 7−→ hf | gi = T est un espace préhilbertien. La norme associée est Preuve : kf k = posons E = CT (R). (i) Montrons que E est un sous-espace vectoriel de F(R , R). Z T /2 −T /2 f (t)g(t) dt Page 9/12 MT25 - ch5 IV.2 Famille orthogonale Proposition 13 La famille ((un )n∈N , (vn )n∈N∗ ) où les fonctions un et vn sont dénies par : - un ∈ CT (R), un : t 7−→ cos(nωt) - vn ∈ CT (R), vn : t 7−→ est une famille orthogonale de CT (R) pour le produit scalaire ϕ. Preuve : on vérie que ces fonctions sont deux à deux orthogonales. Soit n et p deux entiers naturels distincts, p > 1. hun | up i = IV.3 Projection orthogonale d'une fonction f ∈ C (R) T Soit n ∈ N∗ . Notons En = Vect (u0 , u1 , u2 , . . . , un , v1 , v2 , . . . , vn ). Alors En est un sous-espace vectoriel de dimension nie de CT (R) dont une base orthonormale est Soit f une fonction continue sur R et T -périodique. Le projeté orthogonal de f sur En est la fonction : pEn (f ) = hf | u0 i u0 + n X k=1 On note ak (f ) le coecient réel de uk dans pEn (f ) et bk (f ) celui de vk . Ce qui donne : a0 (f ) = hf | u0 i = D √ D √ ak (f ) = f | bk (f ) = f | 2 uk 2 vk E√ E√ 2= 2= Page 10/12 MT25 - ch5 V Série de Fourier d'une fonction T -périodique V.1 Coecients de Fourier Dénition 3 Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. On appelle coecients de Fourier de f les réels dénis par : ∗ ∀n ∈ N , ∗ ∀n ∈ N , 1 a0 (f ) = T Z 2 an (f ) = T Z 2 bn (f ) = T Z T /2 f (t) dt −T /2 T /2 f (t) cos(nωt) dt où ω = 2π T f (t) sin(nωt) dt où ω = 2π T −T /2 T /2 −T /2 Proposition 14 Si f est paire alors ∀ n ∈ N∗ , bn (f ) = 0 et 4 an (f ) = T T 2 Z f (t) cos(nωt) dt 0 Si f est impaire alors ∀ n ∈ N, an (f ) = 0 et 4 bn (f ) = T Z T 2 f (t) sin(nωt) dt 0 supposons f est paire. Alors t 7−→ f (t) sin(nωt) est impaire. Son intégrale est donc nulle sur une période. f étant paire, t 7−→ f (t) cos(nωt) est paire. Son intégrale est donc le double de celle obtenue sur une demi-période. Preuve : Exemple : on considère la fonction créneau f , 2π−périodique, impaire, dénie par : ∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1 Calculer les coecients de Fourier de f et f (0) = f (π) = 0 Page 11/12 MT25 - ch5 V.2 Série de Fourier associée à une fonction Dénition 4 Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. On appelle série de Fourier de f en t la série S(f )(t) = a0 (f ) + +∞ X [an (f ) cos(nωt) + bn (f ) sin(nωt)] n=1 La somme partielle de la série de Fourier de f dénie par : Sn (f )(t) = a0 (f ) + n X [ak (f ) cos(kωt) + bk (f ) sin(kωt)] k=1 vérie la relation suivante : Sn (f ) = pEn (f ) où pEn (f ) est le projeté orthogonal de f sur En . Exemple : donner la série de Fourier associée à la fonction f , 2π−périodique, impaire, dénie par : ∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1 et f (0) = f (π) = 0 V.3 Théorèmes de convergence V.3.1 Théorème de Parseval Lemme (inégalité de Bessel ) Soit f ∈ CT (R). Alors n 1 X 1 ∀ n ∈ N , a0 (f ) + ak (f )2 + bk (f )2 6 2 k=1 T ∗ Preuve : 2 Z soit n ∈ N∗ . La norme du projeté orthogonal de f sur En est T /2 −T /2 f 2 (t) dt Page 12/12 MT25 - ch5 Théorème 15 (formule de Parseval) Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. Alors les séries X an (f )2 et X bn (f )2 convergent et 1 = T Z T /2 |f (t)|2 dt −T /2 V.3.2 Convergence ponctuelle Théorème 16 (théorème de Dirichlet, admis) Soit f : R −→ R une fonction T −périodique et de classe C 1 par morceaux sur R. Alors la série de Fourier de f converge en tout point t0 ∈ R et S(f )(t) = lim Sn (f )(t0 ) = n→+∞ 1 − f (t+ 0 ) + f (t0 ) 2 + avec f (t− 0 ) = lim f (x) et f (t0 ) = x−→t0 x<t0 Remarque : si f est une fonction continue sur R, de classe C 1 par morceaux sur R et T −périodique, alors sa série de Fourier converge en tout point et ∀ t ∈ R, a0 (f ) + +∞ X [an (f ) cos(nωt) + bn (f ) sin(nωt)] = n=1 Exemple : f est la fonction 2π−périodique, impaire, dénie par : ∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1 et f (0) = f (π) = 0