Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 3. Solutions.

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 3. Solutions.
Solution (Loi uniforme).1. On jette une pièce équilibrée, On appelle Xla variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face
et 1 si on obtient Pile. On considère Ω={Pile,Face},A=P(Ω)et l’équiprobabilité définie par
P(Pile) = P(Face) = 1
2.
On en déduit au passage la loi de X:
P(X=0) = P(Face) = 1
2
et
P(X=1) = P(Pile) = 1
2.
La fonction de répartition de Xest
0 si x<0
1/2 si 0 ≤x<1
1 si x≥1
.
L’espérance de Xest
E(x) = 0.P(X=0) + 1P(X=1) = 1
2.
2. On jette un dé équilibré et on appelle Xle résultat du lancer. On considère Ω={1,...,6},A=P(Ω)et l’équiproba-
bilité définie par
P(k) = 1
6.
On note Xla valeur du dé obtenue. Par conséquent, la loi de Xest donnée par
P(X=k) = P(k) = 1
6.
La fonction de répartition de Xest
0 si x<1
1/6 si 1 ≤x<2
2/6 si 2 ≤x<3
3/6 si 3 ≤x<4
4/6 si 4 ≤x<5
5/6 si 5 ≤x<6
1 si 6 ≤x
.
L’espérance de Xest
E(X) = 1
6(1+··· +6) = 1 6
6.7
2=7 2.
3. L’espérance d’une loi uniforme de paramètre nest
E(X) = 1
n(1+··· +n) = 1 n
n(n+1)
2=n+1 2.
1

Solution (Loi de Bernouilli).1. On jette une pièce dont la probabilité d’apparition d’un Pile est 2/3. On appelle Xla
variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face et 1 si on obtient Pile. La loi de Xest
P(X=0) = 1/3,P(X=1) = 2/3.
La fonction de répartition de Xest
0 si x<0
1/3 si 0 ≤x<1
1 si x≥1
L’espérance de Xest E(X) = 2/3.
2. De manière générale, si Xsuit une loi de Bernouilli de paramètre p, la loi de Xest
P(X=0) = 1−pet P(X=1) = p,
la fonction de répartition de Xest
0 si x<0
1−psi 0 ≤x<1
1 si x≥1
.
L’espérance de Xest E(X) = p.
3. Dans une urne on considère Bboules blanches, Nboules noires et 1 boule rouge. On tire simultanément nboules avec
n≤B+N+1. On appelle Xla variable aléatoire égale à 1 si la boule rouge est tirée et 0 sinon. Calculons la loi de X.
(a) Si l’on a pas de boule rouge on a tiré nboules parmis les boules noires et blanches, il y a donc Cn
B+Npossibilités
et donc
P(X=0) = Cn
B+N
Cn
B+N+1
.
(b) Si l’on tire la boule rouge on aura donc choisi n−1 boules parmis les boules noires et blanches, il y a donc Cn−1
B+N
possibilités et donc
P(X=1) = Cn−1
B+N
Cn
B+N+1
.
On vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1, en utilisant la formule du triangle de Pascal. Par conséquent,
la variable Xsuit la loi de Bernouilli de paramètre p=Cn−1
B+N
Cn
B+N+1. L’espérance de Xest donc Cn−1
B+N
Cn
B+N+1.
Solution (Loi binomiale).1. On lance nfois de suite une pièce équilibrée et on note Xla somme des résultats obtenus
avec la convention 0 pour Face et 1 pour Pile. La variable Xest à valeurs dans {0,1,...,n}. Fixons kentre 0 et net
cherchons P(X=k). Chaque n-uplet ayant la même probabilité 2nd’apparaître, il suffit de compter combien de ces
n-uplets comptent exactement k“1” et n−k“0”, ce qui revient à choisir une combinaison de kindices parmis n, il y
en a donc Ck
n. Par conséquent la loi de Xest
∀k∈ {0,...,n}P(X=k) = Ck
n
2n.
On vérifie que l’on a bien une loi de probabilité par application de la formule du binôme. L’espérance de Xest donnée
par la formule
E(X) =
n
∑
k=0
kP(X=k) =
n
∑
k=0
kCk
n
2n=
n
∑
k=1
nCk−1
n−1
2n=n 2.
2. Supposons que Xsuive la loi binomiale B(n,p)avec
pk=P(X=k) = Ck
npk(1−p)n−k.
Pour vérifier que que nous avons bien une loi de probabilité, il suffit d’utiliser la formule du binôme :
n
∑
k=0
pk=
n
∑
k=0
Ck
npk(1−p)n−k= (p+ (1−p))n=1.
2

Nous remarquons que l’expérience faîte ci-dessus consiste en nexpériences de type Bernouilli indépendantes avec
même paramètre.
Par conséquent nous allons vérifier qu’une loi binomiale est la somme de nvariables aléatoires indépendantes avec
même paramètre. Notons X1,...,Xnnos variables aléatoires de paramètre pet X=X1+···+Xn. Soit kcompris entre 0
et n. Pour avoir X=k, il faut et il suffit que kparmis les variables X1,...,Xnprennent la valeur 1 et les autres prennent
la valeur 0. Par conséquent :
P(X=k) = ∑
(i1,...,in)|i1+···+in=k
P(X1=i1,...Xn=in).
Par indépendance des variables aléatoires
P(X1=i1,...Xn=in) = P(X1=i1)...P(Xn=in) = pk(1−p)n−k
Le cardinal de l’ensemble des suites (ik)dont les termes valent 0 ou 1 et dont la somme vaut kest Ck
n. Par conséquent
nous avons
P(X=k) = Ck
npk(1−p)n−k,
ce qui montre bien le résultat voulu. L’espérance étant linéaire nous obtenons que E(X) = np.
3. On associe à chacun des nclients une variable Xiqui vaut 1 si le client choisit la caisse numéro 1 et 0. Nous avons donc
mloi de Bernouilli de paramètre 1/mindépendantes. Par ce qui précède la loi cherchée Xest la somme X1+··· +Xn.
On en déduit donc que Xsuit une loi binomiale B(n,1/m), son espérance est n/m.
3