Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 3. Solutions. Solution (Loi uniforme). 1. On jette une pièce équilibrée, On appelle X la variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face et 1 si on obtient Pile. On considère Ω = {Pile, Face}, A = P (Ω) et l’équiprobabilité définie par 1 P(Pile) = P(Face) = . 2 On en déduit au passage la loi de X : P(X = 0) = P(Face) = et 1 2 1 P(X = 1) = P(Pile) = . 2 La fonction de répartition de X est x<0 0 si 1/2 si 0 ≤ x < 1 . 1 si x≥1 L’espérance de X est 1 E(x) = 0.P(X = 0) + 1P(X = 1) = . 2 2. On jette un dé équilibré et on appelle X le résultat du lancer. On considère Ω = {1, . . . , 6}, A = P (Ω) et l’équiprobabilité définie par 1 P(k) = . 6 On note X la valeur du dé obtenue. Par conséquent, la loi de X est donnée par 1 P(X = k) = P(k) = . 6 La fonction de répartition de X est 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 si si si si si si si x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 . 4≤x<5 5≤x<6 6≤x L’espérance de X est 1 1 6.7 7 E(X) = (1 + · · · + 6) = = . 6 6 2 2 3. L’espérance d’une loi uniforme de paramètre n est 1 1 n(n + 1) n + 1 E(X) = (1 + · · · + n) = = . n n 2 2 1 Solution (Loi de Bernouilli). 1. On jette une pièce dont la probabilité d’apparition d’un Pile est 2/3. On appelle X la variable aléatoire qui vaut 0 si on obtient Face et 1 si on obtient Pile. La loi de X est P(X = 0) = 1/3, P(X = 1) = 2/3. La fonction de répartition de X est x<0 0 si 1/3 si 0 ≤ x < 1 1 si x≥1 L’espérance de X est E(X) = 2/3. 2. De manière générale, si X suit une loi de Bernouilli de paramètre p, la loi de X est P(X = 0) = 1 − p et P(X = 1) = p, la fonction de répartition de X est 0 si x<0 1 − p si 0 ≤ x < 1 . 1 si x≥1 L’espérance de X est E(X) = p. 3. Dans une urne on considère B boules blanches, N boules noires et 1 boule rouge. On tire simultanément n boules avec n ≤ B + N + 1. On appelle X la variable aléatoire égale à 1 si la boule rouge est tirée et 0 sinon. Calculons la loi de X. n (a) Si l’on a pas de boule rouge on a tiré n boules parmis les boules noires et blanches, il y a donc CB+N possibilités et donc Cn P(X = 0) = n B+N . CB+N+1 n−1 (b) Si l’on tire la boule rouge on aura donc choisi n − 1 boules parmis les boules noires et blanches, il y a donc CB+N possibilités et donc Cn−1 P(X = 1) = n B+N . CB+N+1 On vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1, en utilisant la formule du triangle de Pascal. Par conséquent, Cn−1 la variable X suit la loi de Bernouilli de paramètre p = Cn B+N . L’espérance de X est donc B+N+1 n−1 CB+N n CB+N+1 . Solution (Loi binomiale). 1. On lance n fois de suite une pièce équilibrée et on note X la somme des résultats obtenus avec la convention 0 pour Face et 1 pour Pile. La variable X est à valeurs dans {0, 1, . . . , n}. Fixons k entre 0 et n et cherchons P(X = k). Chaque n-uplet ayant la même probabilité 2n d’apparaître, il suffit de compter combien de ces n-uplets comptent exactement k “1” et n − k “0”, ce qui revient à choisir une combinaison de k indices parmis n, il y en a donc Cnk . Par conséquent la loi de X est ∀k ∈ {0, . . . , n} P(X = k) = Cnk . 2n On vérifie que l’on a bien une loi de probabilité par application de la formule du binôme. L’espérance de X est donnée par la formule n n n Ck−1 n Ck E(X) = ∑ kP(X = k) = ∑ k nn = ∑ n n−1 = . 2n 2 k=0 k=0 2 k=1 2. Supposons que X suive la loi binomiale B (n, p) avec pk = P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k . Pour vérifier que que nous avons bien une loi de probabilité, il suffit d’utiliser la formule du binôme : n ∑ k=0 n pk = ∑ Cnk pk (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1. k=0 2 Nous remarquons que l’expérience faîte ci-dessus consiste en n expériences de type Bernouilli indépendantes avec même paramètre. Par conséquent nous allons vérifier qu’une loi binomiale est la somme de n variables aléatoires indépendantes avec même paramètre. Notons X1 , . . . , Xn nos variables aléatoires de paramètre p et X = X1 + · · · + Xn . Soit k compris entre 0 et n. Pour avoir X = k, il faut et il suffit que k parmis les variables X1 , . . . , Xn prennent la valeur 1 et les autres prennent la valeur 0. Par conséquent : P(X = k) = P(X1 = i1 , . . . Xn = in ). ∑ (i1 ,...,in )|i1 +···+in =k Par indépendance des variables aléatoires P(X1 = i1 , . . . Xn = in ) = P(X1 = i1 ) . . . P(Xn = in ) = pk (1 − p)n−k Le cardinal de l’ensemble des suites (ik ) dont les termes valent 0 ou 1 et dont la somme vaut k est Cnk . Par conséquent nous avons P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k , ce qui montre bien le résultat voulu. L’espérance étant linéaire nous obtenons que E(X) = np. 3. On associe à chacun des n clients une variable Xi qui vaut 1 si le client choisit la caisse numéro 1 et 0. Nous avons donc m loi de Bernouilli de paramètre 1/m indépendantes. Par ce qui précède la loi cherchée X est la somme X1 + · · · + Xn . On en déduit donc que X suit une loi binomiale B (n, 1/m), son espérance est n/m. 3