Exercice 1 - LAMA

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 4 : Variables aléatoires dicrètes (Univers infini dénombrable)
Exercice 1. (Loi géométrique)
1. On lance une pièce équilibrée jusqu’à l’apparition de Pile.
(a) Donner un modèle probabiliste.
(b) Quelle est la probabilité que Pile n’apparaisse jamais (on pourra appeler Enl’évènement “Pile n’apparaît pas
durant les npremiers lancers” et appliquer la continuité monotone décroissante).
(c) On exclut le cas précédent et on appelle Xla variable aléatoire correspondant à la première apparition de Pile.
Donner la loi de Xet représenter sa fontion de répartition. Calculer l’espérance.
2. On lance un dé équilibré et on appelle Xla variable correspondant à la première apparition du numéro 1 (avec la même
hypothèse que dans la question précédente). Donner la loi de Xet représenter sa fonction de répartition. Calculer
l’espérance.
3. On dit que Xsuit une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[et on note X∼G(p)si Xest à valeurs dans N∗={1,2, ..}
avec pour tout n∈N∗:
pn=P(X=n) = p(1−p)n−1.
Vérifier que c’est bien une loi de probabilité. Calculer l’espérance.
Quel lien peut on faire entre la loi G(p)et la loi de Bernouilli ?
Exercice 2. (Loi de Poisson)
1. On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ∈R∗
+et on note X∼P(λ)si Xest à valeurs
dans Navec
∀n∈N,pn=P(X=n) = e−λλn
n!.
Montrer que c’est bien une loi de probabilité. Représenter sa fonction de répartition.
2. Représenter la suite des (pn)pour λ=2 puis pour λ=20.
3. Soit λ>0 fixé. On lance nfois une pièce amenant Pile avec la probabilité pn=λ/n.
Soit Xnle nombre de fois où Pile apparaît durant ces nlancers. Donner un modèle probabiliste.
(a) Quelle est la loi de Xn?
(b) Pour kfixé entre 0 et nmontrer que limn→+∞P(Xn=k) = e−λλk
k!.
Autrement dit, lorsque ndevient grand, la loi binomiale tend vers la loi de Poisson.
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