chapitre 2 : triangle rectangle

CHAPITRE 2 : TRIANGLE RECTANGLE
Présentation Géoplan : cosinus
1. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu :
a) Vocabulaire :
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
[BC] est l’hypoténuse de ABC
[AB] est le côté adjacent à l’angle B
[AC] est le côté opposé à l’angle B
C
Hypoténuse
Côté opposé à l’angle B
B
A
Côté adjacent à l’angle B
b) Formules trigonométriques :
Dans le triangle ABC rectangle en A,
cosinus B =
sinus B =
côté adjacent à B
hypoténuse
côté opposé à B
hypoténuse
tangente B =
ou encore cos B =
ou encore
côté opposé à B
côté adjacent à B
sin B =
ou encore
AB
BC
AC
BC
tan B =
AC
AB
Remarque :
Il faut toujours préciser qu’on a un triangle rectangle !
Exercices n°2, 4, 7 page 183
Fiche 1 : Trigonométrie
c) Utilisation de la calculatrice :
La calculatrice donne le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle dont on connaît la mesure.
Exemple :
Pour calculer sin 47° , je tape : SIN 4 7 EXE
La calculatrice affiche : 0.731353701
Attention : Mettre la calculatrice en mode DEGRE !
La calculatrice permet aussi de déterminer l’angle dont on connaît le cosinus, le sinus ou la
tangente.
Exemple :
Je sais que sin B = 0,8. Je peux connaître la mesure de l’angle B en tapant : SIN -1 0 . 8 EXE
La calculatrice affiche : 53.13010235
Je donne une valeur approchée : B≈ 53,1° (arrondi à 0,1)
Exercices n° 9, 10, 11, 12 page 184
d) Applications :
Méthode et exemple pour calculer un côté :
Soit ABC rectangle en A tel que B = 20° et BC = 5 cm.
Question : Calculer AC arrondi au dixième de centimètre.
a) On cherche une relation entre les données (B et BC) et l’inconnu (AC):
AC
sin B =
BC
b) On remplace les valeurs connues :
sin 20° AC
AC
( c'est-à-dire
=
)
sin 20° =
1
5
5
c) On calcule la quatrième proportionnelle (grâce au produit en croix) :
sin 20° × 5
AC =
1
d) On utilise la calculatrice et on conclut :
AC ≈ 1,7 cm (arrondi à 0,1)
Exercices n°13, 14, 18, 19 page 184
Exercices n°21, 22, 23 page 185
Méthode et exemple pour calculer un angle :
Soit ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 3 cm.
Question : Calculer l’angle B (donner une valeur arrondie à 0,1)
a) On cherche une relation entre les données (AB et AC) et l’inconnu (B):
AC
tan B =
AB
b) On remplace les valeurs connues :
3
tan B =
6
c) On utilise la calculatrice et on conclut :
On en déduit que B ≈ 26,6° (arrondi à 0,1) (on a tapé TAN–1 ( 3 /
Exercices n°24, 25, 26, 27, 29 page 185
Exercice n°31 page 186
Exercice n°45, 47 page 188
6
)
)
2. Le théorème de Pythagore :
a) Enoncé du théorème :
C
Théorème :
Soit ABC un triangle rectangle en A. On peut alors écrire :
AB ² + AC ² = BC ²
COTES DE
L’ANGLE DROIT
HYPOTENUSE
(le plus grand est tout seul)
COTE DE
L’ANGLE
DROIT
A
HYPOTENUSE
B
COTE DE L’ANGLE
DROIT
Exemple :
Soit ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm.
On peut déterminer grâce au théorème de Pythagore la longueur BC :
Comme ABC est rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d’écrire :
BC² = AB² + AC²
donc BC² = 3² + 4²
BC² = 25
alors BC = 25
BC = 5 (cm)
Fiche 2 : Théorème de Pythagore et sa réciproque (E1 à E5)
b) Réciproque du théorème de Pythagore :
Exemple :
MNO est tel que MN = 9 cm, NO = 12 cm et OM = 15 cm.
On peut montrer que MNO est un triangle rectangle.
Résolution (modèle):
D’une part :
OM² = 15² = 225
(on choisit le plus grand et on calcule son carré)
D’autre part :
MN² + NO² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 (on additionne les carrés des deux plus petits côtés)
Puisque MN² + NO² = OM² alors la réciproque du théorème de Pythagore permet d’affirmer
que MNO est rectangle en N.
Exercice n°28page 185
Fiche 2 : Théorème de Pythagore et sa réciproque (E6 à E7)
Fiche 3 : Relations en cosinus, sinus et tangente
Présentation flash (DEMO)
c) Relations entre cosinus, sinus et tangente :
Propriété :
Dans un triangle rectangle, si x est la mesure d’un angle aigu alors :
(cos x)² + (sin x)² = 1
sin x
tan x =
cos x
Démonstration :
On se place dans un triangle ABC rectangle en B. On note x l’angle de sommet A.
Calculons (cos x)² + (sin x)² :
E = (cos x)² + (sin x)²
C
AB2  BC2

E=  + 
AC AC
AB² BC²
+
E=
AC² AC²
x
AB²+BC²
A
B
E=
AC²
or AB² + BC² = AC² d’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC !
AC²
E=
AC²
E=1
On conclut donc que (cos x)² + (sin x)² = 1.
Exemple :
On donne cos B = 0,8.
Retrouver sin B et tan B sans calculer B.
Comme (cos B)² + (sin B )² = 1
Alors 0,8² + (sin B)² = 1
0,64 + (sin B)² = 1
(sin B)² = 1 – 0,64
(sin B)² = 0,36
sin B = 0,36
donc sin B = 0,6
sin B 0,6
De plus, tan B =
=
= 0,75
cos B 0,8